淺談二次函數在高中階段的應用

◆劉 蒙

(海拉爾第二中學)

淺談二次函數在高中階段的應用

◆劉 蒙

(海拉爾第二中學)

函數是中學中最重要的內容之一，二次函數在高中教材中是很重要的一個內容。在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究。由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后對二次函數還需再深入學習。

二次函數 高中階段 應用

在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，學生感覺函數變幻莫測，做起題來方法很多，很難掌握，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質(圖象以及單調性、奇偶性、有界性)靈活應用，對二次函數還需再深入學習。函數是歷年高考命題的重點，集合、函數的定義域、值域、圖象、奇偶性、單調性、周期性、最值、反函數以及具體函數的圖象及性質在高考試題中屢見不鮮。

集合是近代數學中最基本的概念之一，集合觀點滲透于中學數學內容的各個方面，所以我們應弄懂集合的概念，掌握集合元素的性質，熟練地進行集合的交、并、補運算。同時，應準確地理解以集合形式出現的數學語言和符號。

函數是中學中最重要的內容之一，主要從定義、圖象、性質三方面加以研究。在復習時要全面掌握、透徹理解每一個知識點。為了提高復習質量，我們提出下述幾個問題:理解函數的概念;求函數的最值是一種重要的題型。要掌握函數最值的求法，特別注意二次函數在定區間上的最值問題以及有些問題可能隱藏范圍，因此范圍問題是二次函數最值的關鍵。另外二次分式函數的最值亦應引起注意，它的基本解法是“△”法，當然有一部分可以轉化為函數f(x)=ax(a，b＞0)的形式，而后與基本不等式相聯系，或用函數的單調性求解。學會解簡單的函數方程，認真對待指數或對數中含參數問題的求解方法，特別注意對數的真數必須“＞0”，注意方程求解時的等價性。

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題:

例1:已知 f(x)=2x2+x+2，求 f(x+1)

這里不能把(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

通過這幾個例題我們應該從本質上理解二次函數的定義，它是掌握二次函數的基礎。

二、二次函數的單調性，最值與圖象

對于含有絕對值(或分段)函數，若函數圖象比較易作出，則利用函數圖象能較快的求出其值域。

三、二次函數和指數函數，對數函數等知識的密切結合

指數函數和對數函數是學生步入高中后新學習的函數，學生掌握的不是很好，在學習的過程中很難達到靈活應用，那么指數函數和對數函數都有哪些聯系呢?

評析:例2是一組具有一些綜合性的指數、對數問題，問題的解答涉及指數、對數函數，二次函數、參數討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數、對數問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經驗。

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。二次函數的內容涉及很廣，還有很多其他的性質如:單調性、周期性、奇偶性等很多的知識點值得我們去探討研究，本文只對定義和值域的求法以及和指數函數。對數函數的聯系做了簡單的討論，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。

［1］李書恒．河北重點中學教程高考調研．河北教育出版社，2007．

［2］任志鴻．志鴻優化系列叢書贏在課堂．北京西苑出版社，2006．

［3］任志鴻．十年高考分類解析與應試策略．南方出版社:南海出版公司．