金融時間序列的短期相依性研究

易文德

(重慶文理學院 數學與統計學院,重慶 402160)

●財經透視

金融時間序列的短期相依性研究

易文德

(重慶文理學院 數學與統計學院,重慶 402160)

金融資產相依結構的研究在金融風險分析中有著重要的意義。金融資產的相依結構主要有兩類:一類是單個金融資產自身時間前后交易價格波動的相依關系,稱為短期相依關系,另一類是金融資產間的價格波動相依結構,稱為同期相依關系。針對前一種相依關系,我們應用混合相依結構M-Copula函數模型對上海綜合指數、香港恒生指數和美國道瓊斯指數三種金融時間序列前后一個交易日的價格波動相依關系進行了分析。應用兩步驟法對模型的參數進行估計,并對邊緣分布和M-Copula模型進行了擬合優度檢驗。結果表明:混合M-Copula模型能夠捕捉金融資產時間序列的短期相依關系的變化規律。

短期相依;Copula函數;時間序列;尾部相關

相關性在金融分析中非常重要。線性相關系數、Granger因果分析方法是常用的相關性分析方法,但它們都存在一定的局限性[1,2]。金融時間序列通常表現為高峰、厚尾分布,它們的方差有時并不存在。因此線性相關系數不能用來反映其相關性,而且對非線性相關關系更是無能為力。Granger因果關系檢驗通常只能給出定性的結論而不能給出定量描述。

Copula函數是一個具有均勻邊緣分布的多元分布函數,由 Sklar定理[3]可知,當模擬多元分布函數時,可以通過分別模擬其邊緣分布和 Copula函數來實現,而 Copula函數能捕捉到多元分布所有的相依關系。由于 Copula函數在捕捉時間序列相依結構時表現出來的優越性和靈活性,在金融和保險等領域得到廣泛應用。Frees andValdez(1998)[4]和 Embrechts等 (2002)[5]研究了時間序列間相依結構的模擬和估計。

在時間序列相關性的 Copula函數方法模擬中,Copula函數確定了時間序列間的多維分布函數,基于 Copula函數的時間序列模型能夠捕捉邊緣分布和相依結構的多種特性 (如邊緣的偏度性和厚尾性,相依結構的集聚性、上下尾相依性)。

Darsow等(1992)[6]給出了馬爾科夫序列的充分必要條件,Joe(1997)[7]提出了一類基于參數 Copula函數和參數邊緣的參數平穩馬爾科夫模型,并應用于空氣質量的度量。YI和Liao(2010)[8]結合短期相依和同時相依關系建立了時間序列相依結構模型并提出了三個階段參數極大似然估計方法。

模擬單個時間序列的時間短期相依性與模擬多個時間序列間的相依性同樣重要,在不能確定線性相關系數能否正確度量單個序列的時間短期相依關系時,采用更靈活和穩健的相依分析技術——Copula函數方法分析序列的時間短期相依結構更為可靠[9]。近年來,Copula函數被廣泛用來研究隨機變量間的相依關系,易文德 (2010)[10]應用 Copula函數研究了股市交易量與股價的相依關系。本文結合一元半參數馬爾科夫時間序列建立基于 Copula函數的時間短期相依模型,并以上證 A股綜合指數 (SH)、香港恒生指數 (HK)、美國道瓊斯指數 (DJ)為研究對象,分析各金融資產時間序列的時間短期相依關系。

一、基于 Copula函數的風險相依性分析

由 Sklar定理[3]:Copula函數是把兩個或多個隨機變量ξ1,…,ξn的聯合分布 F(x1,…,xn)與它們的邊緣分布 Fξ1(x1),…,Fξn(xn)相連接 ,它使 F(x1,…,xn)=C(Fξ1(x1),Fξ2(x2),…,Fξn(xn))等式成立,其中 Copula函數從概率的角度描述了變量間的相依結構。這里對邊緣分布和聯合分布沒有限制,而且對變量作單調增變換,相應的 Copula函數以及由它導出的一致性和相關性測度 (如由 Copula函數導出的Kendall的τ、Spear man的ρ以及 Gini系數)不會改變,這與線性相關系數相比,應用范圍更廣,實用性更強[3]。應用Copula函數模型研究復雜的金融時間序列的相依性和風險具有很大的優越性,可以更廣泛、更準確的捕捉各種金融資產的相依信息,它既可以捕捉到變量間靜態的相依關系還可以捕捉到動態的、非對稱的以及分布尾部的相依結構。

在金融風險分析中度量組合資產的相依性風險時,由于計量方法的局限性,通常假設各金融資產的風險因子的聯合分布服從多元正態分布,但大量實證表明,這種假設與客觀事實相違背,金融資產時間序列通常都呈尖峰厚尾性。因此,在正態分布假設下進行的組合資產相依性風險分析與實際情況有較大的偏差。通過 Copula函數模型可以將風險分解成單個資產的風險和資產組合風險兩部分,單個資產風險由其邊緣分布完全描述,而資產組合產生的風險完全由連接各資產的 Copula函數來刻畫。這樣可以簡化建模過程和有利于相依風險問題的分析理解。假設 X和 Y表示兩種金融資產損失的時間序列,單個資產的風險由邊緣分布 u=F(x)和 v=G(y)完全描述,而組合資產投資風險由 Copula函數 C(u,v)來刻畫,其相依性不變的測度 Kendall的τ、Spear man的ρ可分別表示為:上下尾部相依系數刻畫了組合資產典型事件等極端情況的相依程度。運用 Copula函數理論研究組合投資風險可以提高風險度量的準確性和有效性,達到預測、控制和防范風險的目的。

二、馬爾科夫 (Markov)時間序列 M-Copula函數模型的構建

設 {Xt,t=1,2,…}由 (F(·;θ),C(·,·;δ))生成的一階平穩馬爾科夫時間序列,其中 F(·;θ)是連續的邊緣分布函數,密度函數 f(·;θ)是實數域上的 Lebesgue測度;C(·,·;δ)是關于 (Xt-1,Xt)的連續的 Copula函數,密度函數 c(·,·;δ)是 (0,1)2上的 Lebesgue測度 ,θ,δ分別是邊緣分布和 Copula函數的有限維參數。由 Sklar定理[3]:H(x,y;θ,δ)=C(F(x;θ),F(y;θ);δ)是一個具有邊緣分布為 F(·;θ)的聯合分布函數。Joe(1997)[7]應用 Copula函數模擬了馬爾科夫時間序列的相依關系。聯合分布為 H的平穩馬爾科夫時間序列的轉移概率密度函數可表示為:

上式可以等價表示為:

由 (1)式可知,平穩馬爾科夫時間序列完全由邊緣分布和Copula函數確定。

Fentaw Abegaz[11]研究了兩階段極大似然估計及其估計的一致性和近似正態性。Chen[9]研究了兩階段半參數極大似然估計及其估計的一致性和近似正態性。

運用 Copula函數技術構建金融時間序列模型,主要解決三個關鍵問題:(1)確定邊緣分布;(2)選取能很好描述邊緣分布相依結構的 Copula函數;(3)模型參數的估計和對模型的擬合優度檢驗。

由于金融時間序列具有尖峰、厚尾現象,不服從正態分布。邊緣分布用 t分布刻畫:

其中μ、σ和 v分別是 t分布的位置參數、形狀參數和自由度參數。

為了刻畫金融時間序列短期相依的尾相依及其非對稱性,用混合 Copula模型描述金融時間序列的短期相依結構。其表達式為:

叫 Gumble Copula函數,其相依結構呈非對稱性,表現出上尾厚下尾薄的特點。參數δ1值越大,表明金融時間序列短期相依程度越高。當δ1→1時,CG(u,v;δ1)=uv,表示金融時間序列短期相互獨立。

稱為 Frank Copula函數,當δ3大于零,表示上尾相關;當δ3小于零,表示下尾相關;當δ3趨于零時,表示兩變量獨立。因此,Frank Copula函數能捕捉金融時間序列的上尾相依和下尾相依性。

對金融時間序列短期相依模型的擬合優度檢驗,采用χ2檢驗方法。構造χ2統計量:把區域 [0,1]×[0,1]分成 m ×m個單元格,記第 i行第 j列的單元格記為 Aij,i,j=1,…,m。設Oij,Eij(^δ)分別是數據點落在單元格Aij中的觀察點數和由模型 (4)計算預測的數據落在單元格 Aij中的頻數。

三、三個股票市場短期相依結構的實證分析

中國股票市場是一個新興的發展中的資本市場,交易規則和監管制度有待規范。為考察中國股票市場與成熟的股票市場的各自身短期的相依結構,我們選擇上證綜合指數(SH)、香港恒生指數 (HK)和道瓊斯工業指數 (DJ)的每日收盤價為樣本。將價格 {Pt}取為各股票市場的第 t日的指數收盤價,將收益率 {Rt}定義為 Rt=100·(lnPtlnPt-1),t=1,…,T。樣本區間從 1997年 1月 2日到 2008年12月 31日,由于各市場的假日不同,經處理后各市場的數據個數是不同的,上證綜合指數收益率序列樣本數為 2887個,香港恒生指數收益率序列樣本數為 2956個,道瓊斯工業指數收益率序列樣本數為 3016個。表 1是三個序列的描述性統計特征。從表 1中的 Jarque-Bera值可知三個序列都拒絕正態分布假設;從偏度 (Skewness)和峰度 (Kurtosis)來看,三個序列均存在尖峰、厚尾特征;對三個收益率序列進行Ljung-Box(20)測試,發現三個序列均拒絕無自相關性;對三個序列進行單位根檢驗發現它們拒絕有單位根,因此都是平穩時間序列。

表1 三個股票市場指數收益率統計描述

(一)邊緣分布模型的估計

模型的參數估計采用二步極大似然估計法,在建立MCopula模型之前,首先對邊緣分布中的參數進行估計。由于對模型的擬合優度檢驗是采用χ2檢驗方法,因此,模型的半參數估計方法 (即邊緣用非參數方法而 Copula函數用參數方法)將會使χ2檢驗方法失效[12]。在我們的分析中,邊緣的估計用極大似然估計方法而不能采用經驗分布。表 2為邊緣分布模型的參數估計值,然后將參數值代入 (3)式中,得到邊緣分布模型。圖 1是邊緣分布模型概率積分變換后與(0,1)均勻分布的 QQ圖,對變換后的序列進行序列相關檢驗接受無序列相關假設,圖形表明邊緣分布能夠反映三個序列的分布特征。

表2 邊緣分布的參數估計

(二)暫時性混合相依結構M-Copula模型的估計

前面已經估計了收益率 {Rt},t=1,…,T的邊緣分布,在此基礎上再研究 {Rt-1,Rt}的相依結構。在用暫時性混合相依結構M-Copula模型擬合實際數據之前,可以算得三個金融時間序列的暫時性線性相關系數分別為ρSH=-0.0099、ρHK=-0.0071和ρDJ=-0.0597;可以看出各金融時間序列的暫時性相關都較小,而且呈現為負相關的特點。在混合M-Copula模型中,有 5個參數需要估計,首先用邊緣分布式對各收益率 {Rt}進行概率積分變換,得到三個新序列 {u1t},t=1,…,2887、 {u2t},t=1,…,2956和 {u3t},t=1,…,3016。用每個序列的一階馬爾科夫序列向量 (ut-1,ut),圖 2給出了三個序列的一階馬爾科夫序列向量的散點圖。

用極大似然估計方法對混合M-Copula模型中的相關參數及權重參數進行估計,估計結果在表 3列出。

圖2 序列與其滯后一期的概率積分變換后的散點圖

表3 混合M-Copula模型的參數估計值

從表 3中可以看出,金融序列 SH和 HK的相依結構非常相近,權重系數和相依參數都非常接近,Gumbel Copula在混合相依結構模型中所占的比重較大,但其對應的相依參數非常接近于 1,雖然 Frank Copula在混合相依結構模型中所占的比重較小,但其對應的相依參數小于 0,表現為下尾相依性。金融序列DJ的相依結構明顯與前兩序列的相依結構有差別,Clayton Copula和 Frank Copula在混合相依結構模型中所占的比重比較接近且大于 Gumbel Copula在混合相依結構模型中所占的比重,明顯表現為下尾相依性。研究金融時間序列的暫時性相依結構時,應該綜合考慮混合相依結構模型中的權重系數和具有各種不同相依特征的 Copula的相依參數的值。圖 3給出了各金融時間序列暫時性相依結構的直觀圖形,為了便于對比,給出了各金融時間序列 (ut-1,ut)的經驗 Copula及M-Copula的概率密度分布圖,從圖形上可以觀察到各組圖形基本上是一致的,均出現下尾高、上尾低的非對稱的正負混合相依的特點。

從圖 3中可以看各金融時間暫時性相依結構是復雜的,當然形成這種復雜相依結構的原因也是多方面的,我們可以從投資者的角度對這種相依結構進行一定的解釋:三種金融時間序列的暫時性相依都表現為混有正相依和負相依的混合相依特征;正相依結構反映在證券交易時表現為今天下跌而明天也下跌、或今天上漲而明天也上漲的連續慣性,說明投資者有追漲殺跌的交易行為;而負相依結構反映在證券交易時今天下跌而明天上漲、或今天上漲而明天下跌的交替性,說明投資者有下跌補倉和獲利了結的投資行為,投資策略表現為波段操作的技術手段。但對于比較大的利空和利好消息,也反映出投資者跟風的心里。對較大的利空市場出現暴跌行情時,投資者會感到恐慌,會采取跟風殺跌的行動;而對于較大的利好消息市場出現暴漲行情時,投資者又會采取跟風追漲的投資行動,但殺跌和追漲的尾部相依性又表現出非對稱性,即對等量利空和利好,殺跌和追漲的程度不一樣。從各圖形的相依結構中我們基本能讀懂圖形反映的信息。

(三)暫時性相依結構 M-Copula模型的擬合優度檢驗

根據上面介紹的擬合優度檢驗的方法,χ2檢驗的基本原理,構造單元格表格,對表格的構造我們選取了 8×8、10×10、12×12、16×16和 20×20五種情況。對每種情況計算出落在每個單元格內的實際觀測頻數以及由模型預測的落在單元格內的預測頻數,并把單元格觀測頻數小于 5的單元格合并。表 4列出了各種情況算得的χ2統計量,臨界值是在顯著性水平為 1%下的值。從χ2統計量的值可以看出,三個金融時間的暫時性相依結構M-Copual模型在各種不同單元格的劃分情況下通過顯著性水平檢驗,認為模型以刻畫金融時間序列的暫時性相依結構。

由暫時性相依結構M-Copula模型作概率積分變換得條件分布 F(xt|xt-1)序列,并對其進行序列相關性檢驗,不能拒絕無自相關性,其對 (0,1)上的均勻分布的 QQ圖如圖 4,認為服從均勻分布。從這方面認為模型能刻畫各金融時間序列的暫時性相依結構。

表4 χ2檢驗統計量

四、結 論

金融資產時間序列的相依結構研究是風險分析研究的重要內容。時間序列的相依關系主要有兩類:一類是單個金融資產本身時間前后交易形成的相依關系,即本文研究的暫時性相依關系;另一類是一個金融資產與另一個金融資產之間的同期相依關系。近幾年對資產間相關結構的研究吸引了許多學者廣泛的興趣,對金融資產時間序列自身的相依結構的研究為數不多。

本文提出了一個基于 Copula函數方法M-copula模型研究金融時間序列暫時性相依結構,旨在反映金融資產自身的相依模式和相依程度。混合M-copula模型能克服對金融資產相依結構描述的單一性,既能捕捉上尾相依及下尾相依的非對稱的尾部變化規律,又能捕捉正相依或負相依的中部變化結構。我們對上海綜合指數、恒生指數和道瓊斯指數三個股票市場進行實證研究表明,三個股票市場的暫時性相依結構大體上類似而程度上存在一些差異,都表現為正相依和負相依兩種相依結構的混合以及上尾高下尾低的非對稱的尾部相依關系。正相依和負相依的相依結構反映了投資者不同的投資行為。

金融市場風云莫測,變化多端,受國內國際以宏觀和微觀等諸多因素的影響,這造成了金融市場相依變化的復雜性和不確定性。函數 Copula的性質給研究相依性關系帶來了極大的靈活性,不象傳統的多維分布對邊緣分布有嚴格的限制,Copula函數可以靈活選擇邊緣分布的形式,函數本身種類繁多,變化多樣,可以通過選取適當 Copula函數和邊緣分布進行組合建立模型以捕捉金融資產時間序列復雜的相依結構和相依程度。

圖3 經驗分布和M-Copula模型的概率密度圖

圖4 條件分布序列對 (0,1)均勻分布的 QQ圖

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[責任編輯:張 青]

Study on the TemporalDependence of Financial T ime Series

YIWen-de
(School of Mathematics&Statistics,Chongqing University of A rts and Sciences,Chongqing402160,China)

It is greatly interesting to investigate the dependence structure of financial assets in financial risk analysis.There are two types of dependence structures of financial assets:one is the dependence relationship of individual financial asset itself in different timewhich is called temporal dependence relationship and the other is the dependence structure between different financial assets which is defined as contemporaneous dependence.In this paper,we focus on the former and propose aM-Copula model to investigate the temporal dependence for three stockmarkets:the ShanghaiComposite Index(SH),the Hang Seng Index(HK)andDow-Jones Index(DJ).The twostage max imum likelihood estimation is employed to est imate the parameters of model and the goodness of fit of margins and M-Copula model are tested.The results show that theM-Copula modelmay capture the temporal dependence structure of financial time series.

temporal dependence;copula function;time series;tail dependence

F830

A

1007—5097(2011)03—0071—05

10.3969/j.issn.1007-5097.2011.03.017

2010—12—22

教育部人文社會科學研究項目 (08JA790142);重慶市教育委員會科學技術研究項目 (kj081214)

易文德 (1965—),男,江西宜春人,副教授,博士,研究方向:概率統計,經濟計量和金融風險。

圖1 三序列概率積分變換后的 QQ圖