對(duì)中國(guó)古代算數(shù)中體積計(jì)算的討論

齊玉才

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

對(duì)中國(guó)古代算數(shù)中體積計(jì)算的討論

齊玉才

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

體積計(jì)算是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，有著獨(dú)特的命名法、數(shù)學(xué)模型與計(jì)算方法，如果用現(xiàn)在數(shù)學(xué)的圖形與步驟進(jìn)行模擬計(jì)算，將會(huì)對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的知識(shí)與技巧有深入理解。

體積計(jì)算；中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型

體積是算數(shù)中最難求的內(nèi)容之一，中國(guó)在長(zhǎng)期的建筑實(shí)踐中，逐漸形成如方內(nèi)容圓、圓內(nèi)求方、球體、商功率之體積計(jì)算，都是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中最具代表性的成果之一，其基本形狀為陽(yáng)馬、塹堵、鱉臑等、李籍音義、邪解立方得二塹堵、邪解塹堵、得一陽(yáng)馬一鱉臑一立方邪解、得三陽(yáng)馬或六鱉臑、其邪解憂兩種形式。

圖1

如上圖，（1）、（2）、（3）、（4）是一組的解法，（5）、（6）、（7）、（8）又是一組的解法。（1）、（2）合成一立方形、（7）、（8）合成（6），形式不同，理論一致，（2）、（8）都是陽(yáng)馬、（4）、（7）都是鱉臑。劉徽注“未聞所以名塹堵之說(shuō)”。《說(shuō)文》：“塹阬也”。堵即陡，古時(shí)木匠用兩木交作十字，而穿其中，橫臥于地上，以支大板，名之曰馬，即陽(yáng)馬。作用如馬，承檐以接陽(yáng)光。塹堵術(shù)曰：“廣衰相乘，以高乘之，二而一”，長(zhǎng)寬相承是立方體，塹堵為二分之一，故二而一，陽(yáng)馬為三分之一，鱉臑是六分之一。

如果用現(xiàn)今數(shù)學(xué)模型與計(jì)算方法將古代的計(jì)算過(guò)程表示出來(lái)，將會(huì)有很好的收獲。如“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈，問(wèn)積幾何？”術(shù)曰：“上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一”。劉徽注“中央立方一，四面塹堵，四角陽(yáng)馬也”。方亭是正方棱臺(tái)，把方錐削去上半的。

圖2

設(shè)上方邊為a，下方邊為b，截高為h，分解為四塹四陽(yáng)馬時(shí)，加中央正方形，則其體積為：

再以芻甍、芻童計(jì)算為例。劉注“舊說(shuō)云，凡積芻甍有上下廣西童甍，謂其屋蓋之苫也。是故甍之下廣衰，與童之上下廣衰等。正解方亭兩邊，合之即芻甍之形也”。甍為屋極，通作屋脊。芻是草藁。童今作幢，為屋一所，《詩(shī)·衛(wèi)風(fēng)氓》注“帷裳童客”。芻童上下底都是長(zhǎng)方形都是長(zhǎng)方形棱臺(tái)體。

不妨設(shè)上下底面為a1×b1與a2×b2，高為h，則體積同樣可分為四塹堵四陽(yáng)馬，不過(guò)中央為長(zhǎng)方體，塹堵陽(yáng)馬之底，亦皆為長(zhǎng)方而已。不須另作圖，其體積為：

有羨除，劉注“燧道也。其所穿地，上平下斜，似兩鱉臑夾一塹堵”。兩鱉臑合成一陽(yáng)馬，為一楔形，共分成一塹堵，四鱉臑。塹堵ABCDGE得體積是鱉臑ABGE的體積是

圖3

羨字亦作埏，《史記·衛(wèi)世家》“共伯入厘候羨自殺”。索引“羨，墓道也”。除邪聲近。商功章“除邪通也”。圜亭術(shù)曰“上下周期相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一”。圓錐術(shù)曰“下周自乘，以高乘之，三十六而一”。與現(xiàn)代公式相同，唯 作為 3太簡(jiǎn)略了。方錐術(shù)曰“下方自乘，以高乘之，三而一”。則完全與現(xiàn)代相同。總之，求體積公式，若 用劉徽密率，則與現(xiàn)代公式都相同，理論都是精密的。

古代算數(shù)中體積的解法很多，也可以從不同的角度進(jìn)行解決，此處不贅。

[1]李迪.中華傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)精選導(dǎo)讀[M].武漢:湖北教育出版社,1997.

[2]沈康身.歷史數(shù)學(xué)名題賞析[M].上海:上海教育出版社,2002.

[3]董杰,王偉東.前清中算家對(duì)理分中末線的研究[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(4).

[4]董杰.清初出入相補(bǔ)原理在正五邊、十邊形研究中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009(5).

O119

A

1008-1151(2011)04-0037-01

2011-01-20

齊玉才（1978－），男，內(nèi)蒙古赤峰人，內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院研究生，從事數(shù)學(xué)史研究。