對中國古代算數中體積計算的討論

齊玉才

（內蒙古師范大學，內蒙古 呼和浩特 010022）

對中國古代算數中體積計算的討論

齊玉才

（內蒙古師范大學，內蒙古 呼和浩特 010022）

體積計算是中國傳統數學中重要的內容，有著獨特的命名法、數學模型與計算方法，如果用現在數學的圖形與步驟進行模擬計算，將會對中國傳統數學所蘊含的知識與技巧有深入理解。

體積計算；中國傳統數學；數學模型

體積是算數中最難求的內容之一，中國在長期的建筑實踐中，逐漸形成如方內容圓、圓內求方、球體、商功率之體積計算，都是中國傳統數學中最具代表性的成果之一，其基本形狀為陽馬、塹堵、鱉臑等、李籍音義、邪解立方得二塹堵、邪解塹堵、得一陽馬一鱉臑一立方邪解、得三陽馬或六鱉臑、其邪解憂兩種形式。

圖1

如上圖，（1）、（2）、（3）、（4）是一組的解法，（5）、（6）、（7）、（8）又是一組的解法。（1）、（2）合成一立方形、（7）、（8）合成（6），形式不同，理論一致，（2）、（8）都是陽馬、（4）、（7）都是鱉臑。劉徽注“未聞所以名塹堵之說”。《說文》：“塹阬也”。堵即陡，古時木匠用兩木交作十字，而穿其中，橫臥于地上，以支大板，名之曰馬，即陽馬。作用如馬，承檐以接陽光。塹堵術曰：“廣衰相乘，以高乘之，二而一”，長寬相承是立方體，塹堵為二分之一，故二而一，陽馬為三分之一，鱉臑是六分之一。

如果用現今數學模型與計算方法將古代的計算過程表示出來，將會有很好的收獲。如“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈，問積幾何？”術曰：“上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一”。劉徽注“中央立方一，四面塹堵，四角陽馬也”。方亭是正方棱臺，把方錐削去上半的。

圖2

設上方邊為a，下方邊為b，截高為h，分解為四塹四陽馬時，加中央正方形，則其體積為：

再以芻甍、芻童計算為例。劉注“舊說云，凡積芻甍有上下廣西童甍，謂其屋蓋之苫也。是故甍之下廣衰，與童之上下廣衰等。正解方亭兩邊，合之即芻甍之形也”。甍為屋極，通作屋脊。芻是草藁。童今作幢，為屋一所，《詩·衛風氓》注“帷裳童客”。芻童上下底都是長方形都是長方形棱臺體。

不妨設上下底面為a1×b1與a2×b2，高為h，則體積同樣可分為四塹堵四陽馬，不過中央為長方體，塹堵陽馬之底，亦皆為長方而已。不須另作圖，其體積為：

有羨除，劉注“燧道也。其所穿地，上平下斜，似兩鱉臑夾一塹堵”。兩鱉臑合成一陽馬，為一楔形，共分成一塹堵，四鱉臑。塹堵ABCDGE得體積是鱉臑ABGE的體積是

圖3

羨字亦作埏，《史記·衛世家》“共伯入厘候羨自殺”。索引“羨，墓道也”。除邪聲近。商功章“除邪通也”。圜亭術曰“上下周期相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一”。圓錐術曰“下周自乘，以高乘之，三十六而一”。與現代公式相同，唯 作為 3太簡略了。方錐術曰“下方自乘，以高乘之，三而一”。則完全與現代相同。總之，求體積公式，若 用劉徽密率，則與現代公式都相同，理論都是精密的。

古代算數中體積的解法很多，也可以從不同的角度進行解決，此處不贅。

[1]李迪.中華傳統數學文獻精選導讀[M].武漢:湖北教育出版社,1997.

[2]沈康身.歷史數學名題賞析[M].上海:上海教育出版社,2002.

[3]董杰,王偉東.前清中算家對理分中末線的研究[J].內蒙古師范大學學報(自然科學版),2008(4).

[4]董杰.清初出入相補原理在正五邊、十邊形研究中的應用[J].內蒙古師范大學學報(自然科學版),2009(5).

O119

A

1008-1151(2011)04-0037-01

2011-01-20

齊玉才（1978－），男，內蒙古赤峰人，內蒙古師范大學科學技術史研究院研究生，從事數學史研究。