基于Piecewise直方圖均衡化的圖像增強方法

陳文飛，廖斌，許雪峰，黃志勇，董文永

（1. 武漢大學 計算機學院，湖北 武漢 430072；

2. 湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062；

3．成都東軟信息技術職業學院 計算機科學與技術系，四川 成都 611844）

1 引言

圖像增強是低級圖像處理中最重要的問題之一。直方圖均衡化是一種增強圖像對比度的標準技術[1]，其目的是為了改善低對比度圖像的質量，以便于圖像和視頻等內容的后期處理。直方圖均衡化的基本思想是通過對輸入圖像的亮度值的概率盡可能進行均勻分布，以擴展圖像的動態顯示范圍和增強圖像對比度。由于缺乏通用的統一理論和有效的圖像質量的評價標準，所以圖像增強任務非常復雜[2]。

到目前為止，基于直方圖的圖像增強方法主要包括以下 3 類：全局方法[3～10]、局部方法[11～15]和混合方法[16,17]。全局方法或是利用圖像全局直方圖的多個波峰段分別進行均衡化[3]，或是利用平均亮度或等面積對直方圖分段均衡化[4～9]，或是利用圖像非線性映射因子對直方圖進行轉換后再累積分布進行均衡化[10]。但是，這種方法在對比度比較大的情況下有時不能獲得好的處理結果。局部方法或將圖像分塊或分層后進行均衡化處理[11～14]，或在均衡化時利用圖像的局部特征（例如局部均值、標準差或邊緣）來修改局部直方圖[15]（例如局部直方圖均衡化、局部直方圖拉伸和非線性映射等）。局部方法最大局限是亮度飽和和邊緣效應等問題，因此為了解決局部方法這一問題，出現了大量平滑局部直方圖的方法[18～21]。例如Yoon等[21]提出了基于固定大小的滑動窗口在整幅圖像上移動，在滑動窗口內利用均值對直方圖進行平滑，以達到圖像增強的目的，但是需要手工調整參數。混合方法則結合上述2種方法的特點，同時使用全局直方圖和圖像的局部信息（例如梯度或邊緣）達到改善圖像的目的。朱立新等[17]對圖像梯度場進行直方圖均衡化，使圖像陰影或高亮區域中的細節能夠在梯度域內得到增強，但是有時圖像會失真。

鑒于直方圖均衡化方法本身的離散化特點[1]，現有直方圖均衡化方法不可避免地存在不同程度的灰度“吞噬”現象，特別是當原始圖像的質量比較差、灰度動態范圍小和直方圖分布極不均勻時，變換后圖像的灰度范圍一般很難達到圖像格式所允許的最大灰度變化范圍，圖像的層次感表現得不好。因此，對一幅圖像進行傳統的直方圖均衡化處理的過程就是一個熵減小的過程，這表明丟失了原圖像某些信息。

本文針對上述“吞噬”現象和亮度飽和等問題，提出了一種 Piecewise 直方圖均衡化方法以保證圖像在直方圖均衡化處理后保持熵不變。同時，結合了圖像亮度全局拉伸和直方圖均衡化2種方法的優點，使得圖像具有自然和諧的視覺效果。

2 直方圖均衡化性質

傳統的直方圖對圖像亮度值進行排序，描述的是圖像中該灰度級別的像素個數。在歸一化之后，該離散函數可以看成是圖像中具有相同灰度值的像素出現的概率密度函數。直方圖均衡化的過程就是重新分配像素的亮度值，使得圖像直方圖中所有亮度分布盡可能擴展。

假設輸入圖像被歸一化，那么直方圖均衡化的過程[1]描述如下：

其中，y表示結果圖像的亮度，x表示輸入圖像的亮度，r表示積分變量， px(r)表示輸入圖像的亮度的密度分布函數，T表示直方圖均衡化函數。x和y的范圍位于[0,1]之間。

直方圖均衡化在增強對比度低的圖像時簡單而有效，尤其在只包含單一物體或背景和前景物體沒有明顯對比度變化時。但是當上述條件不滿足時，該方法存在亮度增強不足或飽和的問題。盡管自適應直方圖或局部直方圖均衡化在一定程度上可以解決該問題，但是仍然有上述缺陷，而且也無法保證圖像信息的熵不變性。歸根到底，原圖像在直方圖均衡化處理后丟失了一部分原圖的信息，丟失的信息一般是數量很少的像素[1,16,22]，這種現象本文稱之為“吞噬”現象（如圖1所示）。

圖1(a)的直方圖像素值為 r0的bin因均衡化在圖1(b)中被 s1、 s2、 s3吞噬。

圖1 “吞噬”現象

定理 1 當直方圖均衡化時如果相關（不一定相鄰）的灰度級發生了“吞噬”，則圖像的信息量（即熵值）是減少的。

證明 假設原圖像I直方圖中相鄰的灰度級 rk和 rk+1出現的概率分別為 prk和 prk+1。

這里灰度級 rk的熵為 e(rk)= - prklog prk，灰度級 rk+1的熵為 e (rk+1) = - prk+1log(prk+1)。

則原圖像的熵值為

不失一般性，假設當直方圖均衡化時，相鄰的灰度級 rk和 rk+1之間發生了“吞噬”，并且在增強后圖像J的灰度級s發生了“合并”。I的總像素個數。在直方圖均衡化后，增強后圖像J

反證法。假設 e (rk)+e (rk+1)≤e (s)，則與結論矛盾。

因此假設不成立。故當直方圖均衡化時如果相關（不一定相鄰）的灰度級發生了“吞噬”，則E(I) ＞ E(J)。證畢。

根據定理 1，在進行直方圖均衡化時，只要發生了“吞噬”現象熵值必然減小。這也正是提出在直方圖均衡化的過程中盡量避免“吞噬”的原因。

3 Piecewise直方圖均衡化

3.1 理論基礎

因為直方圖均衡化只能改變原圖像中同一灰度層上所有像素的灰度，卻不能改變單個像素點在直方圖上的分布。從信息的角度來看，原圖中同一灰度層上的像素點代表了相同的信息，不能通過變換使原本帶有相同信息的像素點變成帶有不同信息的像素點。因此造成了在對灰度呈現兩端分布或者在低灰度區域有較多像素點的圖像進行直方圖均衡處理后，得不到滿意的效果，常常表現為處理后圖像的亮度過度提升或細節消失，而整幅圖像的灰度動態范圍沒有有效提升，達不到突出圖像細節的目的。

定義 對于一幅具有L灰度級的圖像I而言，通過直方圖均衡化變換后得到輸出圖像J。如果在I上灰度級 rk的像素點個數 H (rk)非零，那么在J中對應的灰度級 sk與相鄰的灰度級 sk-1之間的距離Δsk定義為

這里 sk表示均衡化后的灰度級，T表示直方圖均衡化變換，L表示最大的灰度級。

由式(2)可知：當0 ＜ Δsk＜ 1 時，則輸入圖像I中的灰度級 rk表示的像素點在輸出圖像J中被灰度級T(rk)吞噬。

本文的目的是為了防止輸入圖像I在直方圖均衡化變換后，造成輸出圖像J中發生灰度級“吞噬”或相鄰灰度級之間的距離過大等問題。所以在直方圖均衡化變換的基礎上，引入了一個新的變換T′(s)：

其中，t表示結果圖像的灰度級，s表示中間結果的灰度級，r表示輸入圖像的灰度級。

這里要求T變換滿足：T(r)在區間0≤r≤1中為單值且單調遞增（嚴格）；當0≤r≤1時，0 ≤ T(r )≤1[1]。同時要求T′變換滿足：T′(s)在區間0≤s≤1中為單值且單調遞增（嚴格）；當0≤s≤1時，0≤ T′ (s)≤1；當H(r)≠ 0 ，Δsk≥1,k∈ ［0, L-1］。

為此定義T′變換如下，令 t0= s0= T (r0)：

其中，t表示結果圖像的灰度級，s表示中間結果的灰度級，H表示輸入圖像的直方圖，T表示直方圖均衡化變換，α1和α2表示距離控制參數。

μ和σ分別表示輸入圖像的直方圖的均值和標準差，定義如下：

式(4)中的未知數α1和α2容易求解，假設0 ＜ H(rk) ＜μ的灰度級個數為λ1，μ≤H(rk)≤μ+σ的灰度級個數為λ2，H(rk)＞μ+σ的灰度級個數為λ3。根據式(4)，可以得到距離控制公式：

這里 Di( H(rk) )表示不同情況下直方圖中 Bin的距離之和，α1和α2是距離控制參數。

所以可以得到：

為了保證式(6)中當0 ＜H (rk) ＜ μ 時，?α1Δsk≥ 1，由此可以得到：

結合式(6)～式(8)，易得α2。

定理2 在原圖像I直方圖中如果?r,s.t.HI(r ) ≠0 ,在映射 s=f(r)后增強圖像J直方圖中對應的灰度級s滿足 HJ(s)=HI(r)關系，那么在相關的灰度級之間不存在“吞噬”。這里對映射 f的要求是其定義域和值域為[0,255]，且單調遞增。

證明 反證法。假設相關的灰度級之間存在“吞噬”，根據定理1可知，則圖像的信息量（即熵值）是減少的。

已知原圖像I和增強圖像J的總像素個數N不變，并且在原圖像中假設存在一個灰度級r， HI(r) ≠0 ，則其熵值為

∵ HJ(s)=HI(r)∴e(s)= e(r)

因為在原圖像I中任意一個 HI(r) ≠0 的灰度級r，都可以在映射f后的增強圖像J中找到一個且僅一個灰度級s，并且兩者的熵值相等。

所以 E (I)=E (J)，這與假設矛盾。

故定理2成立，證畢。

通過定理 2，可以推論出在直方圖均衡化過程中發生“吞噬”現象的必要條件。但是這個條件在處理過程中很少滿足，因此在處理中盡量保持熵值不變這一條件。

3.2 參數選取

一般情況下，例如原圖亮度分配平均或原圖較暗時，可以同時保證α1＞1且0＜α2＜1。但是在特殊情況下，例如當整幅圖像過亮時利用式(6)～式(8)計算可能出現α2＜0。所以不能簡單地使用上式來計算α1和α2。

這時，假設當0 ＜ H(rk) ≤ μ +σ時灰度級的個數為 λ =λ1+λ2，則式(6)變形為

這里 Di( H(rk))表示不同情況下直方圖中 Bin的距離之和，α是一個新的距離控制參數。

所以可以得到：

這里λ已知，根據式(9)和式(10)只需求解α即可。

同理，式(4)將變形為

定理 3 如果原圖像I在直方圖均衡化過程中滿足式(4)或式(11)，那么增強圖像J的熵值是不變的。

證明 根據式(4)可知α1＞1且0＜α2＜1，并且

假設當H(rk)≠ 0 時，tk= T′ (sk) =tk-1+a,a≥ 1 。

不失一般性，當 H (rk+1) ≠0 時， tk+1=T ′ (sk+1)= tk+ b=tk-1+ a+b ,b≥1。

易知 tk+1＞ tk。同理不論 H (rk-1)是否等于 0，tk＞tk-1。

所以可以得到當 H (rk) ≠0 時， tk= T ′(T(rk))是一一對應的，故 H (rk)=H (tk)。

根據定理2得到 E (J )=E (I)。

同理，在特殊情況下，當α1＞1且α2＜0時，根據式(11)易證 α Δsk≥ 1，滿足定理2。證畢。

從定理3可以看出，在滿足條件式(4)或式(11)的前提下。可以做到在直方圖均衡化過程中滿足熵值不變這一條件。

3.3 算法實現

1) 對于給定大小m×n的輸入圖像I，計算出該圖像的直方圖 H (r)；

2) 根據式(5)計算輸入圖像的直方圖的均值μ與標準差σ；

3) 根據傳統的直方圖均衡化算法得到映射表s =T (r)；

4) 根據式(6)～式(8)計算距離控制參數α1和α2；

5) 判斷α2的取值范圍，如果大于0，則轉到步驟7)；

6) 根據式(9)和式(10)計算新的距離控制參數α，轉到步驟8)；

7) 根據式(4)計算新的映射關系t= T ′(s)，轉到步驟9)；

8) 根據式(11)計算新的映射關系t= T ′(s)；

9) 根據上一步中的映射關系函數將輸入圖像I中所有像素灰度值映射到輸出圖像。

4 實驗結果與分析

本文提出的保持熵不變的直方圖均衡化算法是一種全局均衡化方法，處理結果具有自然和諧的視覺效果。

圖2 灰度圖的處理效果

圖2 (a)是原圖couple，一幅256×256的低灰度級的待增強圖像，整幅圖像偏暗，其原圖直方圖表明該圖亮度較低且動態范圍不大。圖2(c)是采用傳統直方圖均衡化[1]處理后的結果，其直方圖得到一定程度的拉伸，并且整體右移，造成圖像亮度飽和現象。圖2(e)是采用CLAHE算法[12]后的子塊處理結果，直方圖整體形狀沒有發生大的變化，圖像與原圖比較效果沒有顯著增加。圖 2(g)是采用multi-peak GHE算法[15]處理后的結果，因為利用了梯度信息，所以其圖像明顯帶有塊效應，尤其是邊緣部分效果欠佳。圖2(i)是采用了使用bilateral grid的LHE算法[14]后的處理效果，空間采樣率是100，范圍采樣率是 256，圖像本身效果類似于傳統直方圖均衡化處理的效果，也存在嚴重的亮度飽和及塊效應。圖2(k)是本文的算法，圖像顯得自然柔和，均衡化處理后不存在亮度飽和等問題。

直方圖均衡化在處理類似X射線和CT等高動態范圍的醫療圖像時，很難做到在均衡化的同時保留那些具有很小亮度范圍的細節部分。圖3(a)是原圖skeleton，一幅1 024×842的低對比度的X射線醫療圖像，整幅圖像偏亮，其直方圖表明整幅圖像亮度偏亮，并且細節部分亮度接近。圖3(c)是采用傳統直方圖均衡化[1]處理后的結果，其直方圖得到一定程度的拉伸，但是圖像中細節部分不清楚。圖3(e)是采用 CLAHE算法[12]后的子塊處理結果，直方圖整體形狀沒有發生大的變化，直方圖中概率值過大的部分都經過受限處理，可以清楚看到軟組織、骨骼（包括胸椎）、縱隔、氣管和支氣、胸膜等組織。圖3(g)是采用multi-peak GHE算法[15]處理后的結果，其圖像明顯帶有處理后新出現的紋理，并且引入了新的噪聲，影響了視覺效果。圖 3(i)是采用了使用bilateral grid的LHE算法[14]后的處理效果，空間采樣率是243.75，范圍采樣率是0.003 9，處理后圖像本身效果類似于CLAHE效果。圖3(k)是本文的算法，圖像顯得自然柔和，均衡化處理后不存在亮度飽和等問題。

為了將本文方法推廣到彩色圖像的處理，通過實驗發現：為了保留圖像的亮度和避免色調偏移，可以只將本文算法應用到圖像的亮度部分。步驟如下：先將彩色圖像轉換到色彩成分相關性較低的Lab彩色空間，然后僅對亮度通道L進行直方圖均衡化處理并保持a和b成分不變，最后通過反變換得到彩色圖像。

圖3 CT醫療圖像的處理效果

圖4 彩色圖的處理效果

表1 各圖像的熵

實驗結果如下：圖 4(a)是原圖 monk，一幅 696×448的彩色圖像，整幅圖像色調偏暗。圖4(b)是采用傳統直方圖均衡化[1]處理后的結果，整幅圖像亮度飽和，影響了圖像中的色調部分乃至紋理，造成圖像中的細節部分不清楚。圖4(c)是采用CLAHE算法[12]后的子塊處理結果，保留了圖像的大部分特征，但是亮度的增強影響了菩薩的紋理，不符合人眼的要求。圖4(d)是采用multi-peak GHE算法[15]處理后的結果，其圖像明顯帶有處理后新出現的紋理，并且引入了新的噪聲，影響了視覺效果。圖 4(e)是采用了使用bilateral grid的LHE算法[14]后的處理效果，空間和范圍采樣率采用缺省參數，處理后圖像中廊柱邊緣出現了黑邊。圖4(f)是本文算法，圖像顯得自然柔和，保留了原圖像的特征，更加符合人眼要求。

為了避免直方圖均衡化處理時發生亮度飽和及像素“吞噬”現象，本文方法在保持圖像特征和熵不變的情況下，可以使得圖像具有自然柔和的視覺效果。從表1可知：對于低對比度的灰度圖圖像而言，傳統方法因為存在“吞噬”現象，熵值減小；而CLAHE/MPGHE/BGLHE的熵值都有所增加，這說明了這3種方法生成了概率分布更加均勻圖像，但是這3種方法都使用了插值方法，方法復雜并且未必可以保證解決亮度飽和等問題，尤其是MPGHE使用了圖像梯度信息，造成圖像添加了新的邊緣和噪聲（這里。本文算法在灰度圖中可以很好地保持圖像的動態范圍和熵不變下取得較好的視覺效果。在彩色圖情況下，本文圖像同樣可以在盡量保持圖像的熵不變（這里的熵值等于RGB3個平面的熵值之和）的情況下，取得自然的視覺效果。

5 結束語

本文針對直方圖均衡化過程中像素“吞噬”和亮度飽和等現象，提出了一種新的圖像對比度增強新算法。該算法是基于傳統直方圖均衡化的思想，提出了一種自動的距離控制方法以防止出現像素“吞噬”。實驗證明本文算法在保留圖像細節的同時，有效地克服了圖像過亮或像素“吞噬”等現象，可以很好地保持原圖像的特征和自然的視覺效果。為了提高該算法的通用性，后續的研究工作主要是：如何更好地利用圖像的梯度或顯著性等信息，使圖像在對比度增強的同時，更好地凸顯其特征。

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