適用于非常模信號的常數模新算法

饒偉，孫輝, 郭業才, 鄧承志, 汪勝前, 田偉

(1. 南昌工程學院 信息工程學院，江西 南昌 330099;

2. 南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044)

1 引言

在現代數字傳輸系統中，自適應均衡器是接收機的一個非常重要的組成部分，它能有效地抵消由多徑傳輸和有限信道帶寬引起的碼間干擾。與傳統的自適應均衡相比，盲均衡不需要使用訓練序列，能有效提高信道帶寬利用率，其中由 Godard提出的常數模盲均衡算法[1](CMA, constant modulus algorithm)因其強魯棒性和易于實現性，在數字傳輸系統中應用廣泛[2]。

CMA通過梯度搜索法[1]不斷更新均衡器抽頭系數，以最小化代價函數，其目的是使均衡器輸出信號的幅度模值都等于一個固定的統計模值。CMA不但適用于信源字符占據同一個幅度模值的常模信號（如8-PSK），而且還適用于信源字符占據多個幅度模值的非常模信號（如16-QAM）[2]，如圖1所示。在一些理想環境中，對于常模信號CMA可以實現理想（迫零）均衡，但是對于非常模信號CMA穩態均方誤差(MSE, mean square error)無法至零[2,3]。

徐金標等[4]提出了停止與前進的 SAG-CMA，當均衡器輸出數據可靠時，用信源的多幅度模值代替統計模值對抽頭系數進行迭代更新，降低 CMA穩態MSE，但是這樣一種方式使大量可用于抽頭系數迭代的數據被排除，致使算法收斂速度比 CMA慢；文獻[5]對Sign-CMA進行了改進，當接收信號落入判決域內時，使用多模CMA對非常模信號進行均衡，從而減小穩態MSE，提高收斂速度，但是其判決域是通過手動設置的經驗值來確定的。文獻[6,7]對不同的 QAM 信號使用匹配的模值進行均衡，提升了均衡效果，但是算法卻受到某些參數或條件的限制。文獻[8,9]利用坐標變換將16-QAM變換成了4-QAM常模信號，從而減小了穩態MSE。文獻[10]提出了一種修正多模CMA，稱為MCMA，該算法將 CMA代價函數分為實部和虛部兩個部分，用2個統計模值對接收信號進行均衡，該算法性能優于傳統CMA[10,11]。可見，使非常模信號的幅度模值與統計模值相匹配是降低算法穩態MSE的有效途徑，但上述方法都需要借助輔助的參數或條件，且算法穩態MSE的大小均沒有提供理論證明。

圖1 常模信號與非常模信號星庫圖

本文通過研究4-PAM和16-QAM非常模信源星座的特點，定義了一種幅度模值變換方式，可將非常模信源的多個幅度模值變換成單一幅度模值。將該變換方式應用于CMA代價函數中，得到適用于上述兩種非常模信號的新 CMA，新算法的目的是使均衡器的輸出信號幅度模值經過相同的變換方式后，其新幅度模值與統計模值相等，從而減小了穩態MSE，并且減少均衡器誤操作從而提高了收斂速度。理論證明和仿真實驗均表明新算法在無噪聲環境下，其穩態MSE近似為零；在實際有噪水聲信道中，新算法同樣具有比CMA更優的均衡性能。

2 CMA

CMA2-2是CMA中的特例[2]，具有良好的收斂性能，因此本文只討論CMA2-2，為表示方便，將CMA2-2簡稱為CMA。CMA基帶等效模型如圖2所示。

圖2 CMA基帶等效模型

其中，s(k)是信源序列；c是信道的沖激響應；n(k)是信道高斯白噪聲序列； x(k)是均衡器的輸入序列； fk-1是均衡器抽頭系數向量且長度為N； y(k)是均衡器的輸出序列。

令x= [ x(k ) ,x(k-1 ),…,x(k-N+1)]T， f =kk-1，“T”表示轉置，則均衡器的輸出為

CMA的代價函數定義為

式中，R為信源的統計模值，定義為

可見，R由信源的幅度模值|s(k ) |決定。

利用瞬時梯度下降法對f進行更新，以最小化代價函數，則更新公式為

式中，?kJCM(f )表示對代價函數求瞬時梯度，μ為步長，*表示復數共軛操作，且定義 eo(k )= y(k)為CMA誤差函數項。

由代價函數式(2)可知，CMA的目的是期望每個輸出信號的幅度模值的平方能與R相等或此時代價函數被最小化為零，均衡器抽頭系數穩定。對于常模信源，如8-PSK，其星座坐標為則|s(k)|= 1 ；又根據式(3)得 R = 1 ，因此當均衡器輸出信號滿足成立，均衡器實現了理想均衡，且代價函數為零，均衡器抽頭系數穩定。但是對于非常模信源，如16-QAM，其星座坐標為s(k) = {±1 ±j,±3 ±j,±1 ±3 j,±3 ±3 j}，其對應3個不同的幅度模值：；又根據式(3)得，所以即使均衡器輸出信號與信源完全重合（理想均衡），也無法滿足，此時對應的CMA代價函數值并不為零，致使均衡器抽頭系數一直保持（不為零的）微幅調整狀態，從而改變了原本理想的均衡器輸出。因此，CMA非常適合用于常模信號，而對于非常模信號CMA雖然能夠完成均衡，但穩態誤差大，收斂速度慢。

3 基于幅度模值變換的CMA

通過上述分析可知，對于非常模信號，信源的多幅度模值與 CMA統計模值不匹配是造成 CMA性能下降的主要原因之一。因此本文針對4-PAM和16-QAM 2種非常模信號，定義了一種幅度模值變換方法，可將多幅度模值變換成單一幅度模值，并將其應用于CMA代價函數中，從而提升CMA對非常模信號的均衡性能。

為分析簡便，先考慮4-PAM非常模實信號，其信源星座坐標為，對應的幅度模值為，統計模值為，此時。定義信源幅度模值變換方式

式中，|s′(k)|為信源新模值，將|s(k)|= { 1,3}帶入上式得|s′(k)|=1，且信源新模值對應的新統計模值R′為

可見，利用式（5）可以將4-PAM非常模實信源的多幅度模值|s(k)|= { 1,3}，變換成單一幅度模值|s′(k)|=1，并且

因此定義CMA新代價函數

均衡器抽頭系數更新公式為

將基于新代價函數式(7)和均衡器抽頭系數更新式(8)的新常數模算法記為 MT-CMA（Modulus Transformation-based CMA），且定義式(8)中為MT-CMA誤差函數項。MT-CMA的目的是使均衡器輸出信號的幅度模值經過變換后，其新幅度模值與新統計模值相等。當 MT-CMA理想均衡時，有代入式(7)得JNEW(f )= 0，代入式(8)得 fk=fk-1。

文獻[10]提出了一種修正的 CMA，稱為MCMA，該算法將CMA代價函數分為實部和虛部兩個部分，該算法性能優于傳統 CMA[10,11]。考慮到如果將 4-PAM信源坐標 s(k)={±1,±3}進行虛部擴展：{±1,±3} +j{±1,±3}，則變成16-QAM信源坐標 s (k) = {±1 ±j,±3 ±j,±1 ±3 j,±3 ±3 j}。因此利用MCMA中的實部和虛部分開的方法得到適用于16-QAM非常模復信號的MT-CMA：

1) 代價函數定義為

式中， yr(k)、 yi(k)分別為輸出信號的實部、虛部，Rr′、 Ri′分別定義為

式中， sr(k)、 si(k)分別為信源的實部、虛部。

2) 均衡器抽頭系數更新公式為

4 穩態MSE性能分析

Mai和Sayed在無信道噪聲的環境下，提出了一種反饋式性能評估方法[3]，能夠較為精確地對均衡器的穩態MSE進行評估[12,13]。因此本文也采用該方法，在信源信號分別為 4-PAM 實信號和16-QAM復信時，對MT-CMA的穩態MSE進行評估。

考慮權向量迭代公式

用迫零均衡器抽頭系數向量 fZF同時減上式兩邊得

式中， f?k=fZF-fk。定義先驗和后驗誤差分別為

對等式兩邊取模的平方并求期望得

這里并不討論算法是否能夠收斂，只討論算法收斂后的均方誤差，所以有下式成立

代入式(15)得

結合式(14)得

為表示方便，省略式中的k，并展開等式右邊得

可見，式中T1和T2相等。通過該等式，可以得到算法的穩態MSE:E[|ea|2]。

對于MT-CMA的穩態MSE分析是建立在文獻[3]中的合理假設之上：s與 ea相互獨立，與y相互獨立。此外，在分析中假設μ足夠小，并且穩態時 | ea|2也足夠小。

4.1 信源信號為4-PAM時

1) 計算T1

因為μ和 ea2足夠小，因此可以忽略包含有μ2和 ea的2次或更高次冪項[3]，此外s與 ea相互獨立，故

2) 計算T2

因為s與 ea相互獨立，并且當μ和 ea2足夠小時可以忽略包含有 μ ea4項[3]，所以

令T1= T2，得到MT-CMA的穩態MSE

對于4-PAM，由于其信源坐標為 s ={±1,±3}，即有，所以此時MT-CMA的穩態誤差為

而CMA在對非常模實信號進行均衡時的穩態MSE為[3]

因為對于 4-PAM 信源有 R ≠|s|2，所以此時CMA穩態MSE，

顯然，對于4-PAM非常模實信號，在無信道噪聲情況下MT-CMA的穩態MSE遠小于CMA。

4.2 信源信號為16-QAM時

同理，對于16-QAM復信號可得MT-CMA的穩態MSE

由于 16-QAM其信源坐標為 s ={±1 ±j,±3 ± j,±1 ±3 j,±3 ±3 j}，即有sr={±1,±3}以及si={±1,±3}，從而有以及所以此時MT-CMA的穩態誤差為

而CMA在對非常模復信號進行均衡時的穩態MSE為[3]

對于16-QAM 信源有 R ≠|s|2，所以此時CMA穩態MSE， E

顯然，對于16-QAM非常模實信號，在無信道噪聲情況下 MT-CMA的穩態 MSE同樣遠小于CMA。

5 計算機仿真分析

5.1 無噪聲實信道環境仿真實驗

利用計算機仿真，來驗證上述理論分析的正確性。仿真實信道的沖激響應為 c =[-0.0901,0.6853,0.7170,0.0901][3]，無信道噪聲；信源為4-PAM；CMA和MT-CMA均采用T/2分數間隔均衡器結構[2]，均衡器抽頭個數均為 4，步長分別為 0.000 06和0.000 8。仿真結果如圖3所示，當兩算法收斂后，MT-CMA輸出穩態 MSE約為-300dB，即MSE ≈ 1 0-30近似為0，遠遠小于CMA穩態MSE；且MT-CMA收斂速度比CMA快。

圖3 4-PAM仿真學習曲線圖

5.2 有噪聲水聲信道環境仿真實驗

為了進一步檢驗 MT-CMA的有效性，采用文獻[14]中的淺海水聲信道模型進行仿真實驗，該模型已經通過了海上實驗具有很高的精度。信道模型參數為：海深20m，風速為每小時20海里，聲速為1 500m/s，載波頻率為10kHz，信道帶寬為2kHz，聲源和接收點布放深度均為10m且相距5 000m，信息傳輸率為4k字符/s，選用聲壓幅度較大的10條本征聲線，聲線參數如表1所示。信道的脈沖響應由式(26)計算[15]

式中，αi為聲壓幅度，τi為相對延時，p(t)為滾降系數為20%的升余弦脈沖。計算求得信道沖激響應為 c =[0.5850 - 0 .5671 - 1 .0000 -0.3571 0.2608 0.1605- 0 .1336 - 0 .0874]。

表1 信道本征聲線參數

信源為 16-QAM 且能量歸一化，信噪比為18dB；由于在復信源情況下 MT-CMA借助了MCMA實、虛部分開處理的方法，因此將MT-CMA與CMA和MCMA進行對比，三者均采用T/2分數間隔均衡器結構，均衡器抽頭個數均為 4，其步長分別為 0.03、0.004、0.06。各均衡器的 MSE曲線如圖4所示，MT-CMA穩態MSE最小約-19.5dB，比CMA、MCMA分別小了約4.5dB、4dB。圖5～圖7分別是各均衡器的輸出星座圖，MT-CMA輸出星座比其他均衡器輸出星座更加清晰。

圖4 不同信噪比下算法穩態MSE

圖5 CMA輸出星座

圖6 MCMA輸出星座

6 結束語

非常模信號的多幅度模值與CMA統計模值不匹配，是CMA在對非常模信號進行均衡時，穩態MSE無法收斂至零的主要原因之一。本文定義的新代價函數能將4-PAM和16-QAM這2種非常模信號的多個幅度模值變換成單一幅度模值，從而使算法的穩態MSE收斂至零。理論證明和仿真實驗均表明，新算法均衡效果較其他類似算法有顯著的提高。

[1] GODARD D. Self-recovering equalization and carrier tracking in two dimensional data communication systems [J]. IEEE Transactions on Communications, 1980, 28(11): 1867-1875.

[2] JOHNSON C R, SCHNITER J P. Blind equalization using the constant modulus criterion: a review[J]. Proceedings of the IEEE, 1998, 86(10):1927-1950.

[3] MAI J, SAYED A H. A feedback approach to the steady-state performance of fractionally spaced blind adaptive equalizers[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2000, 48(1): 80-91.

[4] 徐金標，葛建華. 一種新的盲均衡算法[J]. 通信學報, 1995, 16(5):78-81.XU J B, GE J H. A new blind equalization algorithm[J]. Journal of China Institute of Communications, 1995, 16(5): 78-81.

[5] 鄭應強, 李平, 張振仁. 用于MQAM調制的雙模式Sign-CMA盲均衡算法[J]. 通信學報, 2004, 25(5): 155-159.ZHENG Y Q, LI P, ZHANG Z R. Dual-mode blind equalization algorithm for multi-level QAM modulation based on Sign-CMA [J]. Journal on Communications, 2004, 25(5): 155-159.

[6] BARBAROSSA S, SCAGLIONE A. Blind equalization using cost function matched to signal constellation[A]. Proceedings of the 31th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers[C]. USA:IEEE Comput Soc, 1997. 550-554.

[7] GUO Y C, RAO W. A new dual-mode algorithm for multi-modulus blind equalization suitable for higher-order QAM signals[A]. Processings of the First International Symposium on Test Automation and Instrumentation[C]. Beijing: World Publishing Corporation, 2006.529-533.

[8] RAO W, YUAN K M. A simple constant modulus algorithm for blind equalization suitable for 16-QAM signal[A]. 9th International Conference on Signal Processing[C]. USA: Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., 2008. 1963-1966.

[9] GUO Y, ZHAO X. A modified T/2 fractionally spaced coordinate transformation blind equalization algorithm [J]. Int J Communications,Network and System Sciences, 2010, 3(2): 183-189.

[10] OH K N, CHIN Y O. New blind equalization techniques based on constant modulus algorithm[A]. IEEE Global Telecommunications Conference[C]. GLOBECOM '95, 1995, 2: 865-869.

[11] LIN J C, LEE L S. A modified blind equalization technique based on a constant modulus algorithm[A]. IEEE International Conference on Communications[C]. ICC 98, 1998, 1: 344-348.

[12] THAIUPATHUMP T, HE L, KASSAM S A. Square contour algorithm for blind equalization of QAM signals[J]. Signal Processing, 2006,86(11): 3357-3370.

[13] MAGNO T, SILVA M, VITOR H. Nascimento. Improving the tracking capability of adaptive filters via convex combination[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(7): 3137-3149.

[14] ZIELINSKI A, YOON Y H, WU L X. Performance analysis of digital acoustic communication in a shallow water channel[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 1995, 20(4): 293-299.

[15] TONG L. Blind sequence estimation[J]. IEEE Trans Communication,1995, 43(12): 2986 -2994.