頻率選擇性高斯干擾信道中的時頻聯合干擾對齊方案

景振海，白寶明，馬嘯

(1. 西安電子科技大學 綜合業務網國家重點實驗室，陜西 西安 710071；

2. 中國電子科技集團公司第36研究所，浙江 嘉興314000；

3. 中山大學 信息科學與技術學院，廣東 廣州 510275)

1 引言

多用戶信息論中干擾信道容量的研究由香農提出[1]，但是迄今為止，即使是最簡單的二用戶干擾信道，其最大可達容量邊界[2]仍是一個未解決的問題。目前，干擾對齊(IA, interference alignment)作為一種有效提高干擾信道可達容量的傳輸方案，獲得了廣泛的研究[3～9]。

干擾對齊的工作機理是在干擾信道信號通過信道時，把干擾信號變成信道的一部分信息并且該部分信息和接收機期望的有用信號正交化。 也就是說干擾對齊把接收信號空間分成了兩部分，一部分是干擾信號子空間，另一部分是信號子空間。通過干擾對齊，接收機能夠方便地從信號子空間中獲得渴望的信號，而不受干擾信號的影響。文獻[4]的研究表明，一個K用戶的干擾信道通過使用干擾對齊技術后最多可以達到K/2的自由度。為了在接收時能把干擾信號對齊到干擾信號子空間，發射機必須利用波束成形矩陣加權發送信號并把信號擴展到多個時隙（或者頻率間隙）進行發射（稱為時域/頻域信號擴展），而接收機必須在接收到所有時隙（或者頻率間隙）上的信號后才能進行譯碼。

上述傳統的干擾對齊方案只考慮在一維域上對齊（時域或頻域）造成了如下缺點：當信號只在時域擴展時，會造成大的譯碼延時，當信號只在頻域擴展時，勢必占用更多的頻帶資源。為了克服上述缺點，本文引入了時頻聯合干擾對齊矩陣的概念，并提出了一種時頻聯合干擾對齊方案，并給出了計算時頻對齊矩陣的算法。時頻聯合干擾對齊方案同時利用時域和頻域資源，使信號在時域和頻域進行同時擴展。在確保干擾對齊性能的前提下，當需要小的譯碼延時，可以適當增加頻率域的擴展；當頻帶資源受限時，可以增加時域的擴展。利用時頻聯合干擾對齊方案可以很容易地在時域擴展和頻域擴展上作出折中。計算機仿真表明，在和傳統干擾對齊方案獲得相同對齊性能的情況下，使用時頻聯合干擾對齊方案，能夠極大地縮短譯碼延時或者顯著減少頻帶資源使用。

2 方案模型

本文假設頻率選擇性高斯干擾信道中的總用戶數為N，并用集合進行索引。每個用戶都采用單天線發射。通過離散多音技術，把頻率選擇性高斯干擾信道劃分成F個并行高斯干擾信道（頻隙），由集合 F = ｛ 1, 2 ,…,F｝表示。同時把總發射時間劃分成T個時隙，由集合 T = ｛ 1, 2 ,…,T｝表示。有了上述定義，那么在第 t(t∈T)個時隙和第f(f∈F)個頻隙下的N用戶高斯干擾信道（如圖1所示）可以由式(1)表示：

圖1 第t(t∈T)個時隙和第f(f∈F)個頻隙下的N用戶高斯干擾信道

為了方便討論時頻聯合干擾對齊方案，引入時頻聯合干擾對齊矩陣的概念。令 A（t,f）表示在第（t,f）個時頻間隙下的時頻聯合干擾對齊矩陣，它是一個N×N維的對角矩陣，對角線元素記為那么所有用戶在 t(t∈T)個時隙和第個頻隙中發射的信號 x（t,f）向量可以寫成

那么接收機收到的最終信號如下：

3 時頻聯合干擾對齊方案介紹

本節主要通過一個例子說明時頻聯合干擾對齊方案以及其工作原理。

考慮一個6用戶的頻率選擇性高斯干擾信道，設F=2，T=2，并且假設在第(t,f)(t=1 ,2; f= 1 ,2)個時頻間隙下有如下的信道矩陣：

定義時頻聯合干擾對齊矩陣如下：

其中，diag()表示對角矩陣。

在不采用時頻聯合干擾對齊方案的時候，顯然該信道只能提供的自由度[4]為1/4，也就是說在同一時刻只能提供1個用戶通信而互不干擾。通過采用時頻聯合干擾對齊方案，很容易驗證：，I表示n×n單位矩陣。n

也就是說能同時提供 6個用戶通信而互不干擾，所以該信道在時頻聯合干擾對齊方案下能提供的自由度為6/4=1.5。

通過上述例子可以知道，對于一個傳輸信道，如果能找到一個合適的時頻聯合干擾對齊矩陣A（t,f）， 使是一個對角矩陣（或者矩陣的非對角線元素值很小）。那么每個用戶的接收機就能在無干擾或干擾比較小的情況下進行譯碼。因此，時頻聯合干擾對齊方案的主要目標是尋找滿足條件的時頻聯合干擾對齊矩陣A（t,f）。

引入聯合干擾對齊矩陣會提高自由度的原因在于提高了頻率選擇性高斯干擾信道的復用度，即提高了信道矩陣的秩。通過引入聯合干擾對齊矩陣，使原來的信道H（t,f）轉變為等價信道H（t,f）A（t,f），用戶通過調節A（t,f）使等價信道矩陣的秩最大化，也就提高了信道的復用度（自由度）。不引入干擾對齊矩陣 A（t,f）的情況下，如果在大量的時頻間隙上傳輸信號，信道也有可能滿秩（或秩很大），但是不能保證其秩一定是比較大的（也就是說不能一定保證干擾會被對齊到干擾空間中）。而采用結構化的干擾對齊矩陣 A（t,f）則保證其秩一定比較大。

4 時頻聯合干擾對齊方案的設計

本節主要討論時頻聯合干擾對齊方案的設計其核心便是求解時頻聯合干擾對齊矩陣 A（t,f），為此，首先定義矩陣G（t,f）如式(5)所示：

定義 Hij, ? i,j∈N是一個T×F維的矩陣，其第(t,f)個元素記為。定義 A ,?j∈N是一個jjT×F維的矩陣，其第(t,f)個元素記為。顯然，矩陣G（t,f）中第(i,j)個元素可表示為

把式(5)代入式(4)中，得到（為了推導方便，忽略噪聲項）：

對于用戶 i而言，來自其他用戶的干擾信號必須對齊到同一個子空間中(即干擾子空間中)。也就是說來自其他用戶的干擾信號的方向在到達用戶 i的接收機時必須是一致的，其數學描述由式(8)給出：

式(8)又可等價為式(9)的 N ×(N-2)個式子：

其中， v ec(P)表示一個由P矩陣所有列元素擴展成的列向量。

利用式(10)重寫式(9)如下：

把式(11)寫成矩陣形式：

其中，

H的定義由式(14)給出。

對方程(12)求解，就能獲得時頻聯合干擾對齊矩陣。如果能夠確切得到方程(12)的解，那么獲得的時頻聯合干擾對齊矩陣就稱為全時頻聯合干擾對齊矩陣，此時每個用戶的接收機收到的信號中信號分量和干擾分量是線性無關的。事實上，方程(12)的解不一定存在或者不能確切得到方程(12)的解，所以采用一種以最小化泄漏的干擾信號功率為代價函數的最優化問題，如式(15)所示：

由于式(15)是一個凸優化問題，利用Lagrangian函數：

式(16)的Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件為

式(17)等價為

式(18)表明a是矩陣 HTH的最小特征值對應的特征向量，于是求解時頻聯合干擾對齊矩陣的算法歸納如下：

給定 H(t,f),t∈T,f∈F。

步驟1 通過式(14)構建矩陣H；

步驟2 計算矩陣 HTH的特征值；

步驟3 找到 HTH的最小特征值對應的特征向量a；

步驟4 通過式(13)，反演得到時頻聯合干擾對齊矩陣。

本算法的復雜度分析如下：首先H是一個N(N-2 )× N TF 維的稀疏矩陣，并把看成一個整體，那么計算 HTH的第一行第一列元素的值時需要(N- 1 )(N- 2 )次乘法和加法，計算HTH的第一行其他列元素時，由于其元素是和零相乘，沒有計算復雜度，因此計算 HTH第一行所有列元素總共需要計算復雜度為 O (N2)（這是在把看成一個整體下獲得的計算復雜度），但是由于包含TF個元素，因此計算HTH的第一行所有列元素實際上需要 O (N2T2F2)的復雜度。以此類推，一共要計算N行，所以共需要O(NN2T2F2)的計算復雜度，也就是說計算 HTH需要 O (N3T2F2)的計算復雜度。其次 HTH是NTF×NTF維的矩陣，求特征值需要O(N3T3F3)的計算復雜度，所以總的復雜度為 O (N3T3F3+N3T2F2)，忽略低次項，只關注重要項，得到整個算法的復雜度為 O (N3T3F3)。傳統的干擾對齊的算法表述如文獻[4]附錄3所述，它要計算每一個用戶干擾對齊向量（原文中稱為beamforming vectors），需要 O (N2L3)的計算復雜度（其中，L為每個發射信號在時間維或頻率維上的擴展數目也就是時隙或頻隙數目）。總共需要計算N個用戶的干擾對齊向量，則總的復雜度為 O (N3L3)。為了公平的比較2種算法的復雜度，令L =T F= P，也就是讓2種算法的可用時/頻間隙數目相等。本文的算法復雜度為O(N3P3)，而文獻[4]的復雜度為 O (N3P3)，2種算法的計算復雜度在數量級上是一致的。

5 數值仿真

本節將利用數值仿真來驗證時頻聯合干擾對齊方案的性能。仿真使用頻率選擇性高斯干擾信道，其信道傳輸矩陣 H（t,f）的元素獨立同分布且都服從[-1,1]上的連續均勻分布。無論是時頻聯合干擾對齊方案還是傳統干擾對齊方案[4]所有用戶采用相同的發射功率，設為1（方便仿真，單位略去）。

例1 考慮一個10用戶的頻率選擇性高斯干擾信道，把信道分成F=2個頻隙；采用第3節的算法求得時頻聯合干擾對齊矩陣。通過泄漏到信號子空間的干擾信號功率和干擾信號總功率性的比值來評價干擾對齊的性能。經過 30次仿真求取平均，獲得的性能圖如圖2所示。由圖可知，本文的時頻聯合干擾對齊方案在和文獻[4]的干擾對齊獲得相同性能的條件下，所需要的時隙數目更少，也就是縮短了譯碼延時。減少的時隙數目大概等于原時隙數目的一半。時隙數目減少的原因在于增加了頻率維的干擾對齊。所以在這個例子中，要獲得更高的對齊性能的條件下，傳統的干擾對齊[4]需要極大的時隙數目，而時頻聯合干擾對齊方案則可以以幾乎一半的時隙數目獲得同樣的性能。同樣的結論也對頻率維上的對齊有效。

圖2 10用戶情況下聯合干擾對齊(F=2)和傳統干擾對齊性能比較曲線（例1）

例 2 本例考慮一個 N(＞2)用戶頻率選擇性高斯干擾信道。在使用時頻聯合干擾對齊方案時，信道分成 F(＞2)個頻隙，總時間分成 T(＞2)個時隙。在使用傳統干擾對齊方案[4]時，總時間分成M個時隙。2種方案的干擾對齊的性能如圖3所示。

圖3 N用戶情況下聯合干擾對齊和傳統干擾對齊性能比較曲線（例2）

由圖3可知，T=10，F=2的時頻聯合干擾對齊方案和M=20的傳統干擾對齊方案[4]性能十分接近，說明采用時頻聯合干擾對齊方案不會帶來性能的損失，其性能和文獻[4]是相當的。同時在T=4，F=15的時頻聯合干擾對齊方案顯著優于M=40的傳統干擾對齊方案，說明本算法和文獻[4]的算法一樣（文獻[4]算法隨著時隙數的增加而性能變好）隨著時頻乘積數的增大而性能逐漸變好。雖然2種算法的資源耗費是一致的，但是采用時頻聯合干擾對齊方案的優越性在于當時域（或頻域）資源比較緊張的時候，可以采用時頻聯合方式，節約時域（或頻域）資源，但是性能不會有損失。另外，節約時域資源就是減少了延時。所以本文所提方案是文獻[4]的一維域算法在二維域的擴展，能夠提供更加靈活的資源分配手段。

6 結束語

本文主要討論在頻率選擇性高斯干擾信道下一種時頻聯合干擾對齊方案。基于最優化方法，提出了計算時頻聯合干擾對齊的一種算法。計算機仿真表明在和傳統干擾對齊獲得同樣對齊性能的條件下，通過使用頻率域資源從而減少對齊時的譯碼延時（或者通過使用時間域資源從而減少頻率帶寬的使用）。時頻聯合干擾對齊方案提供了一種在時頻擴展和域頻擴展上折中選擇的方案而不影響干擾對齊的性能。

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