G L（3，2）是 1 6 8階不可解單群

孔亞峰

（1.曲阜師范大學 數(shù)學科學學院，山東 曲阜 273100；2.濟寧學院，山東 曲阜 273100）

G L（3，2）是 1 6 8階不可解單群

孔亞峰

（1.曲阜師范大學 數(shù)學科學學院，山東 曲阜 273100；2.濟寧學院，山東 曲阜 273100）

為了更好的理解 GL（3，2）是 168 階不可解單群，本文利用有限群論的有關知識，運用分類討論的方法，給出了 GL（3，2）是 168 階不可解單群一個新的證明.

有限群；單群；可解群

1 預備知識

我們用 K≥G表示 K為 G的正規(guī)子群，Gα表示α的穩(wěn)定子群.所有群論術語及主要符號見文[1].

定義1 稱有限群G為單群，如果G只有平凡正規(guī)子群.

定義2 如果G在Ω上只有一個軌道，即Ω本身，則稱G在Ω上作用是傳遞的.

2 主要結果

定理 1(G L(3,2)是 1 6 8階不可解單群.

證明 下面分四步證明：

(ⅰ)|G L(3,2)|=1 6 8.事實上，設 V為 Z2上的三維向量空間，G L(3,2)表示可逆線性變換的集合，基的個數(shù)為(23-1)(23-2)(23-22)=1 6 8，故 |G L(3,2)|=1 6 8.

(ⅱ)設 V*=V-1，令 G=G L(3,2),則 G在 V*上傳遞，即對任意的 α,β∈V*，存在 c∈G,使 ασ∈β.

(ⅲ)G L(3,2)不可解.反證法，設 G可解，N是 G的極小正規(guī)子群，則 N是 A b e l p-群，設 N=P1× P2× … Pm,由 N極 小 知 ，N=P為 p-群 ， 令 H=}，則 H c h a r N,存在H c h a r N≤G,H≤G,由 N的極小性知 H=N.G的極小正規(guī)子群 N是初等 A b e l p-群，這時 N在 V*上傳遞，事實上，V*=α1，α2，…，α7，Nαi表示 N中固定的元素 αi的集合，α1所在的軌道長為(N:Nαi).設 Nαi在 N中的陪集為為 α1所在的軌道，事實上彼此不等，若不然，若則矛盾，所以彼此不等，又，故對任意 g∈N，存在 gi使，任 意，存 在(3,2)，使，事實上，α1g∈， 同 理 可 證把 G L(3,2)分 成 等 長 的 若 干 個 軌 道 ， 由 于，若所以,因而 |N|=3或

（1）|N|=3，N是 G L(3,2)的正規(guī)子群，取 A=不正規(guī) G，矛盾.

（2）|N|=2，N=〈a〉，任 意 g∈G=G L(3,2)，g-1a g∈N，所以 g-1a g=a，a∈Z(G)，G L(3,2)=1，矛盾.

（3）|N|=22=4，則 GG(N)的 S y l o w 2-子群可交換，盾.

（4）|N|=23=8，這 時 G=G L(3,2)的 S y l o w 2-子 群正規(guī)且是一個 A b l e群，取且 A B≠B A，矛盾，所以不成立，所以 N在 V*上傳遞，|N:Nα1|=7，故 7||N|，所以|N|=7，G=G L(3,2)的 S y l o w 7-子群正規(guī)，由上已證矛盾，因而得到G不可解.

(ⅳ)G=G L(3,2)為單群，若不單，則存在 N≠1，G?G，|N||23×7×3，N可解，G/N可解，從而 G可解，矛盾.故 G=G L(3,2)為單群.

綜上所述，G L(3,2)是 1 6 8階不可解單群.

〔1〕徐明曜.有限群導引（上、下冊）[M].北京：科學出版社，2001.

O 1 5 2.1

A

1673-260X（2011）05-0009-02