符號化與變元表示思想的應用

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(鎮海中學 浙江寧波 315200)

符號化與變元表示思想的應用

●周海軍

(鎮海中學 浙江寧波 315200)

數學思想指導著數學問題的解決.中學數學中用到的各種解題方法都體現了一定的數學思想，符號化與變元表示思想是一種最基本的數學思想.數學的高度抽象性與廣泛應用性，使符號化的語言與變元表示思想成為數學中十分重要的思想．

符號化與變元表示思想是指將所研究的問題用數學符號與變元來加以表述，轉化為形式化的數學問題后，按照形式符號的規律、規則來進行操作，直至問題的圓滿解決.

在中學數學中，符號化與變元表示思想主要體現在函數與方程思想、換元方法、參數方法等內容上.

1 函數與方程思想

函數思想主要是指用函數的概念與性質去表述問題、分析問題和解決問題；方程思想主要是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程或不等式或它們兩者的混和，然后通過解方程(組)或不等式(組)去解決問題．

在很多時候，函數與方程是可以相互轉化的，譬如函數y=f(x)就可以看作關于x,y的二元方程f(x)-y=0.函數的研究離不開方程．

例1已知二次函數y=f1(x)的圖像以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數y=f2(x)的圖像與直線y=x的2個交點間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x)．

(1)求函數f(x)的表達式；

(2)證明:當agt;3時,關于x的方程f(x)=f(a)有3個實數解．

(1)解設f1(x)=mx2.由f1(1)=1，得m=1,因此

f1(x)=x2．

故

(2)證法1由f(x)=f(a),得

即

ax2+a2x-8=0.

由agt;3,Δ=a4+32agt;0,得

因為

x2lt;0,x3gt;0,x1=agt;0，

所以

x1≠x2,x2≠x3．

若x1=x3,即

則

即

a4=4a,

解得

這與agt;3矛盾,于是

x1≠x3，

故原方程f(x)=f(a)有3個實數解．

說明第(2)小題是一個解方程的問題，需要對方程的根的大小進行討論．而方程的解也可以轉化為2個函數圖像交點的橫坐標問題，于是有下面的這種圖像直觀的證法.

圖1

證法2由f(x)=f(a),得

即

當agt;3時,

所以f3(x)的圖像在第一象限內存在一點(2,f(2))在f2(x)圖像的上方．從而f2(x)與f3(x)的圖像在第一象限有2個交點,即f(x)=f(a)有2個正數解．故方程f(x)=f(a)有3個實數解．

例2已知kgt;agt;bgt;cgt;0，求證：

k2-(a+b+c)k+ab+bc+cagt;0．

證法1令二次函數

f(x)=x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca.

若alt;b+c，則當agt;bgt;cgt;0時，

Δ=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)=

a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=

a(a-b-c)+b(b-a)+c(c-a)-2bclt;0,

因此結論成立．

f(k)≥f(a)=a2-(a+b+c)a+ab+bc+ca=

bcgt;0,

即結論得證 ．

證法2令g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),則

k-agt;0,k-bgt;0,k-cgt;0,

因此

g(k)=k3-(a+b+c)k2+(ab+bc+ca)k-abcgt;0,

即

k3-(a+b+c)k2+(ab+bc+ca)kgt;abcgt;0.

由kgt;0，上式兩邊同除以k得

k2-(a+b+c)k+ab+bc+cagt;0.

說明這里采用構造函數的方法證明不等式.2種解法給出了2種構造函數的方法，但證法2更能體現問題的本質.

2 換元法

換元法是指通過把某個式子換成一個新字母表示，或把某個字母換為一個式子表示，借此將數學問題化繁為簡、化難為易、化未知為已知的一種操作方式.本質上也是一種映射轉移，對原給定的對象進行分解或實施復合，它的理論依據是等量代換．

例3求方程組

的所有實數解．

同理變換式(1)中的另兩式，于是式(1)可化為

5yz(x+y)(x+z)=12xz(y+x)(y+z)=

13xy(z+x)(z+y).

(3)

作代換，令x(y+z)=a，y(z+x)=b，z(x+y)=c,可得

a+b+c=2,

(4)

因此

5bc=12ca=13ab，

可得

(5)

式(5)代入式(4)得

解得

k=15．

于是

得

從而

故原方程組有2組解：

解法2顯然x，y，z同號．由式(2)得

代入式(1)得

即

5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz).

同理可得

5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz).

整理得

12y2z+17yz2=7y+12z,

18y2z+13yz2=13y+8z,

兩式相加得

30yz(y+z)=20(y+z),

解得

代入式(1)，解得

z=±1．

故原方程組有2組解

例4設x1,x2是ax2+bx-a2=0(agt;0)的2個實數根，且|x1|+|x2|=2．若g(x)=ax2+bx-a2-2a(x-x1),證明：當x1lt;xlt;2，且x1lt;0時，|g(x)|≤4a．

證法1由x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的2個根,可得

又由agt;0，得x1,x2異號，因此

g(x)=ax2+bx-a2-2a(x-x1) =

a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)=

a(x-x1)(x-x2-2).

因為x1x2=-alt;0，且x1lt;0，所以x2gt;0，于是當x1lt;xlt;2時，

x-x1gt;0,x-x2-2lt;0.

由|x1|+|x2|=2，得

x2-x1=2,

說明題中變量較多.本解巧妙地對部分變量進行替換，使解法比較簡潔.若消去x1,x2保留a，b,則會使解法變繁.

x2-x1=2，

從而

且

于是當x1lt;xlt;2時，

g(x2)≤g(x)lt;max{g(x1),g(2)}.

又

g(x2)=-4a，g(x1)=0，

所以

故當x1lt;xlt;2時，

-4a≤g(x)lt;0,

即

|g(x)|≤4a.

3 參數法

很多數學問題中都含有參數，有時是雙參數問題，有時是多參數問題.參數本質上雖然屬于變量,但又可以把它看成常量,是介于常量和變量的具有中間性質的量.正是由于參數的這種二重性和靈活性,在解決數學問題時,常可從不同的角度處理參數：引入參數,溝通題中各變量之間的內在聯系；改變數量關系的結構,將求解問題轉化為參數問題加以解決.

例5對任意-1≤a≤1，不等式x2+(a-4)x+4-2agt;0恒成立，則x的取值范圍為________．

解依題意有x2+(a-4)x+4-2agt;0恒成立，即(x-2)a+x2-4x+4gt;0恒成立．令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，則f(a)在-1≤a≤1上的圖像為線段.要求圖像在x軸的上方，則只要求

解得

xlt;1或xgt;3．

說明在數學解題過程中，常量與變量、已知量與未知量的區分并不是絕對的：有時可把某數看作未知，某字母看作已知；有時可以將題中的參數作為主要變元來處理，往往會有意想不到的效果.

如果把x2+(a-4)x+4-2agt;0看作關于x的不等式，那么解決起來就比較麻煩.

若將這個不等式看作是關于x的不等式，則變為一個含參數a的不等式，可轉化為(x-2)(x-2+a)gt;0，此時需要對參數a的值進行討論：

若2-alt;2，即agt;0，則不等式的解為

xgt;2或xlt;2-a，

此式對所有0lt;a≤1都成立，從而xgt;2或xlt;1；

若2-agt;2，即alt;0，則不等式的解為

xlt;2或xgt;2-a，

此式對所有-1≤alt;0都成立，從而

xgt;3或xlt;2；

若2-a=2，即a=0，則不等式的解為x≠2.

綜上所述，不等式x2+(a-4)x+4-2agt;0對任意-1≤a≤1恒成立，則xlt;1或xgt;3．

例6已知關于x的方程x3-ax2-2ax+a2+1=0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍為________．

解對方程左邊進行因式分解得

a2-ax(x+2)+(x-1)(x2+x+1)=0,

即

(x2+x+1-a)(x-a-1)=0.

從而

x=a+1或x2+x+1-a=0,

所以“有且只有一個實根”有如下2種情形：

(1)x2+x+1-a=0無解，其解為x=a+1，得

Δ=1-4(1-a)=4a-3lt;0；

(2)x2+x+1-a=0只有一個實根，且此根就等于x=a+1,即

Δ=4a-3=0,