2011年希望杯全國數學邀請賽初三競賽二試模擬卷(一)

2011年希望杯全國數學邀請賽初三競賽二試模擬卷(一)

一、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)

1．下列命題中,假命題是

( )

A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2．已知一次函數y=kx-k,若y隨x的減小而減小,則該函數的圖像經過

( )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

( )

A.x為任意實數 B.1≤x≤4 C.xgt;1 D.xlt;4

( )

A.a≥-1 B.agt;-1 C.a≤-1 D.alt;-1

圖1

5．如圖1，在矩形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點O在矩形ABCD內．若AB=4，BC=6，AE=CG=3，BF=DH=4，且四邊形OGDH的面積為5，則四邊形OEBF的面積為

( )

A.5 B.6 C.7 D.8

6．在一個棱長為4的立方體中放入直徑為1的相同的球,可以放入最多的個數是

( )

A.66 B.64 C.75 D.73

7.如果關于x的方程ax2+(2a-1)x+a-5=0的2個根一個大于2、一個小于2,那么實數a的取值范圍是

( )

8．甲、乙、丙、丁4個人做相互傳球游戲,第1次甲傳給其他3個人中的一人,第2次由拿到球的人再傳給其他3個人中的一人(下同),這樣的傳球共進行了4次，則第4次仍傳回到甲手中的概率為

( )

二、填空題(共8小題，每小題5分，滿分40分)

9.已知AB為⊙O的直徑,PA,PC是⊙O的切線,A,C為切點，∠BAC=30°,則∠P=________;若AB=2,則PA=________.

10．邊長為3,4,5的2個直角三角形ABC，分別繞直角邊AB和斜邊AC旋轉一周,得到2個不同的幾何體P,Q，則這2個幾何體的表面積分別是________和________.

11.二次函數y=x2+ax+a-2(a≠0)的頂點可能在第________象限.

13．一個半徑為1的圓O在一個邊長為4的正方形ABCD內部隨意滾動,設∠OAD=α,且tanα=k,則k的取值范圍為________;又正方形的邊長若為n(n是大于2的自然數),則k的取值范圍為________.

14.東東準備給南南打電話,由于保管不善,電話本上南南的手機號碼中有2個數字已模糊不清.如果用x,y表示這2個看不清的數字,那么南南的手機號碼為139x370y580,東東記得這11個數字之和是20的整數倍，則x+y=________;東東一次撥對南南手機號碼的最大概率是________.

圖2

16.如圖2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AB=8 cm，AD=16 cm，BC=22 cm，點P從點A出發，以1 cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發，以2 cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.那么經過______s，四邊形ABQP成為矩形;經過_____s，四邊形PQCD成為等腰梯形;經過_____s，四邊形PBQD成為菱形.

三、解答題(共2小題，每小題20分，滿分40分)

17．有一個邊長為6,8,10的直角三角形,現要求拼上一個一條直角邊為8的直角三角形,使拼成的三角形成為一個等腰三角形,試畫出各種不同拼法的草圖,并求所拼出的等腰三角形的周長.

(1)當點D運動到與點A,O在一條直線上時，CD與⊙O相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出OD所在直線對應的函數表達式；如果不相切，也請說明理由.

(2)設點D的橫坐標為x，正方形ABCD的面積為S，求出S與x的函數關系式，并求出S的最大值和最小值．

參考答案

1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7.C 8．D

17．解拼接草圖如圖3所示,共4種.

圖3

18．解(1)CD與⊙O相切.因為點A，D，O在一直線上，∠ADC=90°，因此∠CDO=90°，所以CD是⊙O的切線.當CD與⊙O相切時，有以下2種情況：

①切點在第二象限時(如圖4所示),設正方形ABCD的邊長為a，則

a2+(a+1)2=13，

解得

a=2或a=-3(舍去).

過點D作DE⊥OB于點E，則

Rt△ODE∽Rt△OBA，

因此

于是

圖4 圖5

圖6

(2)如圖6,過點D作DG⊥OB于點G,連結BD,OD,則

BD2=BG2+DG2=

(BO-OG)2+OD2-OG2=

(供稿人：施 儲)