函數的妙用

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(紹興縣實驗中學 浙江紹興 312030)

函數的妙用

●毛幼娥

(紹興縣實驗中學 浙江紹興 312030)

函數的實質是表述運動與變化過程中的變量間的動態關系.培養學生運動與變化的觀念,是中學數學教學的重要目標之一.本文結合實例對與之有關的問題作一些剖析，以便能從中領略此類問題的一些處理方式和解決策略.

1 構造函數證明不等式

根據式子的特點，構造適當的函數，以利用其性質解題.

分析本例不等式的左邊與右邊有明顯的共同特征,據此可構造一個新函數，運用此函數的遞增性給出證明.

因此f(x)在[0，+∞)上是增函數，而

0lt;|a+b|≤|a|+|b|，

于是

f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),

即

例2設x,y,z∈(0,1)，求證：

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

分析此題中的變量x，y，z有輪換對稱性,可考慮構造其中一個變量的函數，利用一次函數的單調性給出證明.

證明設f(x)=(1-y-z)x+y+z-zy-1(0lt;xlt;1),把y,z看作常數，則f(x)是關于x的一次函數.因為

f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)lt;0,

f(1)=(1-y-z)+y+z-yz-1=-yzlt;0,

所以對于0lt;xlt;1，都有f(x)lt;0，即

(1-y-z)x+y+z-zy-1lt;0,

故

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

例3a，b，c是三角形的3條邊長，求證：

2 妙用函數圖像解方程

華羅庚先生曾說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優化解題的目的.

例4設方程-x2+4x-3-m=0在0≤xlt;3上有唯一解，求實數m的取值范圍.

分析方程左邊是二次函數，它在區間上有唯一解.這些特征適宜借助函數圖像，利用數形結合解題.

圖1

解考慮函數y=-x2+4x-3和y=m，并在同一坐標系內作出這2個函數的圖像(如圖1).y=m的圖像是與y軸垂直的直線，可以上下平行移動.在移動過程中，當它和拋物線弧段y=-x2+4x-3(0≤xlt;3)只有一個交點時，m需滿足

-3≤m≤0或m=1.

故m的取值范圍是-3≤m≤0或m≤1.

分析學生最容易犯錯的解法是將已知條件轉化為a+4lt;5-3a，因為此時不是單調性問題了.若用通常的不等式解法，則不僅繁瑣，而且不易考慮周全；若能借助圖像，則過程就清晰多了.

圖2

a+4gt;0，5-3agt;0.

a+4lt;0或5-3alt;0，

( )

A.3個 B.2個 C.1個 D.0個

圖3

分析如果采用去分母的方法轉化為整式方程來解，那么又化為解一個三次方程了；但若采用等價轉化為函數，則利用函數圖像就容易解決了.

3 應用函數建模解決實際問題

一次函數、二次函數與現實生活聯系緊密，函數應用題可考查學生的建模能力.具體解題過程則仍可用如下的圖解方法：

例7某種商品在近30天內,每件的銷售價格P(元)與時間t(天)(t∈N)的函數關系近似地滿足:

商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數關系近似地滿足:Q=40-t(1≤t≤30).求這種商品日銷售金額R的最大值,并指出銷售金額最大的一天是30天中的第幾天.

分析日銷售金額=日銷售價格×日銷售量,因此先把日銷售額與時間的函數關系寫出來,然后根據函數解析式求日銷售金額R的最大值,同時求出銷售金額最大的一天是30天中的第幾天.

解由題意得

即

因此當1≤t≤24時,取t=10,最大銷售金額為900元;當25≤t≤30時,取t=25,最大銷售金額為1 125元.故這種商品日銷售金額R的最大值為1 125元,銷售金額最大的一天是30天中的第25天.

例8某化工集團在靠近某河流區修建2個化工廠，流經第一化工廠的河流流量為500萬立方米/天，在2個化工廠之間還有一條流量為200萬立方米/天的支流并入大河(如圖4).第一化工廠每天排放含有某種有害物質的工業廢水2萬立方米；第二化工廠每天排放這種工業廢水1.4萬立方米，從第一化工廠排出的工業廢水在流到第二化工廠之前，有20%可自然凈化.環保要求：河流中工業廢水的含量應不大于0.2%，因此，這2個工廠都需各自處理部分的工業廢水.第一化工廠處理工業廢水的成本是1 000元/萬立方米；第二化工廠處理工業廢水的成本是800元/萬立方米.試問：在滿足環保要求的條件下，2個化工廠應各自處理多少工業廢水，才能使這2個工廠總的工業廢水處理費用最?。?/p>

分析可先根據已知條件建立函數模型.

圖4 圖5

解設第一化工廠每天處理工業廢水x萬立方米，需滿足

設第二化工廠每天處理工業廢水y萬立方米，需滿足

因此2個化工廠每天處理工業廢水總的費用為z=1 000x+800y元,于是原問題即可轉化為：在約束條件下，求目標函數z=200(5x+4y)的最小值.

借助于建立函數關系式或構造中間函數，再結合函數的圖像與性質，能解決許多有關最值、解(證)不等式、解方程等方面的問題.函數與方程、不等式的結合體現了函數圖像與方程、不等式的內在聯系；體現了特殊與一般的辨證聯系.