幾乎處處收斂、近一致收斂和依測度收斂之間的等價條件研究

續小磊 (寧夏大學數學計算機學院,寧夏 銀川 750021)

續曉欣 (中北大學理學院數學系，山西 太原 030051)

幾乎處處收斂、近一致收斂和依測度收斂之間的等價條件研究

續小磊 (寧夏大學數學計算機學院,寧夏 銀川 750021)

續曉欣 (中北大學理學院數學系，山西 太原 030051)

研究了函數列的近一致收斂、幾乎處處收斂和依測度收斂之間的關系，在此基礎上給出了它們之間彼此等價的充分必要條件。

測度；可測集；可測函數列；幾乎處處收斂；近一致收斂；依測度收斂

可測函數序列的收斂性有很多種，如幾乎處處收斂、依測度收斂、依概率收斂、完全收斂、一致收斂、幾乎一致收斂、近一致收斂、平均收斂、強收斂和弱收斂等。如此多收斂之間的強弱關系引起了許多測度論學者們的關注[1-6]。其中，幾個經典定理，如Egoroff (逆)定理、Lebesgue定理、Riesz定理在測度有限的前提下對幾乎處處收斂、近一致收斂和依測度收斂做了最基本研究：一致收斂是很強的收斂，在一般情況下很難實現，因而應用大受限制，而處處收斂和幾乎處處收斂的條件相對弱一些。

下面，筆者研究了測度有限可測集上幾乎處處有限的可測函數列和一般可測集上的幾乎處處有限的單調可測函數列幾乎處處收斂、近一致收斂和依測度收斂3種收斂之間的等價條件。

1 基本概念

引理1[1]設f和{fn}n≥1都是E上幾乎處處有限的可測函數，則：

i){fn}n≥1在E上幾乎處處收斂于f,當且僅當對任意的ε>0，有：

ii){fn}n≥1在E上近一致收斂于f,當且僅當對任意的ε>0，有：

引理4[6]設f和{fn}n≥1都是E上幾乎處處有限的可測函數，若{fn}n≥1在E上近一致收斂于f，則{fn}n≥1在E上依測度收斂于f。

引理5[7-9](勒貝格Lebesgue定理) 設f和{fn}n≥1都是E上幾乎處處有限的可測函數，若mE<+∞且{fn}n≥1在E上幾乎處處收斂于f，則{fn}n≥1在E上依測度收斂于f。

引理6[7-9](Riesz定理) 設f和{fn}n≥1都是可測集E上的幾乎處處有限的可E測函數，若{fn}n≥1在E上依測度收斂于f，則{fn}n≥1存在子列{fnk}k≥1在E上幾乎處處收斂于f。

2 主要結論

定理1設f和{fn}n≥1都是E上幾乎處處有限的可測函數，且{fn}n≥1為E上的單調函數列，若{fn}n≥1在E上幾乎處處收斂于f，則{fn}n≥1在E上依測度收斂于f。

證明由{fn}n≥1在E上幾乎處處收斂于f，可得對任意的ε>0，有：

成立，記E0=E(fn(x)→f(x))，對于任意的x0∈E0，則{fn(x0)}n≥1單調收斂于f(x0)，于是有:

|fn+1(x0)-f(x0)|≤|fn(x0)-f(x0)|

成立。因此，對任意ε>0，E0(|fn+1-f|≥ε)?E0(|fn-f|≥ε)，即E(|fn-f|≥ε)，為單調遞減集族，于是由測度的性質可得：

注：在mE<+∞條件下，幾乎處處收斂,近一致收斂和依測度收斂彼此等價。

引理7設f和{fn}n≥1都是E上幾乎處處有限的可測函數，且對于任意x∈E，滿足以下條件之一：

i)f1(x)≤f2(x)≤f3(x)≤……≤fn(x)≤fn+1(x)≤……≤f(x)；

ii)f1(x)≥f2(x)≥f3(x)≥……≥fn(x)≥fn+1(x)≥……≥f(x)，

則E(|fn-f|≥ε)為單調遞減集族。

證明事實上，對于任意x∈E，若f和{fn}n≥1滿足以上條件之一，則對于任意n≥1有:

|fn+1(x)-f(x)|≤|fn(x)-f(x)|

于是，對于任意ε>0，由|fn+1(x)-f(x)|≥ε可得|fn(x)-f(x)|≥ε，所以:

E(|fn+1-f|≥ε)?E(|fn-f|≥ε) (n≥1)

成立，即E(|fn-f|≥ε)為單調遞減集族。

定理2設f和{fn}n≥1滿足引理7的條件，則在E上{fn}n≥1幾乎處處收斂于f與{fn}n≥1依測度收斂于f彼此等價。

證明對于任意ε>0，由引理7可知E(|fn-f|≥ε)為單調遞減集族，則有:

成立，于是由引理1可得幾乎處處收斂與依測度收斂彼此等價。

定理3設f和{fn}n≥1滿足引理7的條件，則在E上{fn}n≥1近一致收斂于f與{fn}n≥1依測度收斂于f彼此等價。

證明對于任意ε>0，由引理7可知E(|fn-f|≥ε)為單調遞減集族，則有:

成立，于是由引理1可得近一致收斂與依測度收斂彼此等價。

3 結 語

主要利用幾乎處處收斂和近一致收斂的等價刻畫，進一步考察了各種收斂之間的強弱關系，通過對幾種收斂關系定理的討論和分析，可以看出在幾種收斂關系中各種前提條件的重要性，幾乎處處收斂、近一致收斂和依測度收斂彼此等價的條件除了可測集的有界性mE<+∞外，函數序列的單調性也可以保證以上3種收斂彼此等價。由此可見序列的單調性也是一個較為重要條件，因此外界條件的改變使得各種強弱不同的收斂得到了統一，進一步增強了對可測函數在理論上的理解和應用。

[1]溫華永.葉果洛夫定理的一個新證明[J].四川師范大學學報，2000，23(6)：576-577.

[2]袁守成.可測函數序列的完全收斂性[J].株洲師范高等?？茖W校學報，2007，12(5)：28-29.

[3]張玲.幾種收斂間的關系[J].高等數學研究，2005，8(4)：12-15.

[4]林謙.關于可測函數列的各種收斂性[J].云南師范大學學報，1994，14(1)： 8-17.

[5]楊潔.關于可測函數列各種收斂性的幾點注記[J].工程數學，1998，14(2)： 120-123.

[6]尹敏.可測函數列的幾種收斂性之間的關系[J].井岡山師范學院學報， 2001，22(6)：42-44.

[7]程其襄.張奠宙，魏國強，等.實變函數與泛函分析基礎[M].第2版.北京：高等教育出版社，2003：205-206.

[8]夏道行.實變函數論與泛函分析 [M].第2版.北京：高等教育出版社,1985:185-190.

[9]嚴加安.測度論講義[M].北京：科學出版社,2004.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.10.003

O175.1

A

1673-1409(2011)10-0010-02