量子糾纏和消相干的熵變探討

穆志勇 (臨滄師范高等?？茖W校數理系，云南 臨滄 677000)

溫元斌 (云南師范大學物理與電子信息學院，云南 昆明 650092)

章晨靜 (武漢通信指揮學院物理教研室，湖北 武漢 430033)

量子糾纏和消相干的熵變探討

穆志勇 (臨滄師范高等?？茖W校數理系，云南 臨滄 677000)

溫元斌 (云南師范大學物理與電子信息學院，云南 昆明 650092)

章晨靜 (武漢通信指揮學院物理教研室，湖北 武漢 430033)

量子熵理論在量子領域有廣泛的應用，熵是理解量子計算與傳輸的理論基礎和重要工具，量子糾纏和量子消相干直接影響量子信息的計算和傳輸。運用熵理論計算量子糾纏和量子消相干中的熵變，探討了加強糾纏態應用和避免消相干影響的理論與方法。

量子熵理論；量子糾纏；量子消相干；糾纏度；量子信息

量子信息的干涉和疊加是量子信息學與經典信息學的根本區別，由于量子的特性會使得量子態的疊加受到消相干影響，量子的相干性消失，波函數發生了塌縮，系統成為混合態。量子糾纏是2個量子子系統復合為1個系統后，2個量子子系統態的密度概率產生了相互依賴和關聯塌縮，上述現象超越了時間和速度的限制。為此，筆者對量子消相干和量子糾纏中熵的變化進行探討。

1 量子消相干的熵

2個量子系統復合成1個量子系統，如果復合態可以用1個矢量態函數唯一描述，則該復合系統稱為純態。相反若復合后的系統由各個子系統的波函數疊加而成，各個子系統都能以各自確定的概率出現，沒有發生相互干涉問題，則該系統為混合系統，其狀態稱為混合態。

測量時系統出現了消相干，二能級系統的混合態密度為：

Jm12=|k1|2|Φ1〉〈Φ1|+|k2|2|Φ2〉〈Φ2|

(1)

其密度用矩陣表示為：

如果為純態，則有[2]：

(2)

式中，{|ζm〉1?|ξn〉2}為正交歸一基矢；Cmn為其系數。

2系統密度為：

(3)

二能級體系可寫為：

(4)

其密度用矩陣形式表示為：

(5)

(6)

系統的波函數寫為：

+γ2|1〉〈1|?|ξ(0)〉ee〈ξ(0)|

(7)

t時刻的系統密度為：

復合系統的約化密度矩陣算符為：

(9)

熵可以表示為：

(10)

(11)

在純態時熵值等于0，混合態時熵值大于0。設式(11)中有N項，每項出現幾率相等，則S=AlnN。

假設二能級原子系統的初態為|ξ(0)〉=χ|0〉+γ|1〉，則任意t時刻的約化密度可以表示為：

(12)

得:

(13)

其本征值為：

(14)

將式(14)帶入式(11)有：

(15)

可得：

(16)

如果環境初態為|0〉A=|0〉1?|0〉2…|0〉A，當N趨向于無窮大時，有:

xmax(N)=(1-4χ2γ2)1/2

(17)

同時熵也取得最大值：

(18)

由式(18)可知2個能級間的消相干過程的熵增加。熵最大時2個能級上的概率相等，出現完全的消相干，2個能級之間無相互影響；若此時2個能級上的概率不相等，則處于熱平衡時的熵對應著無窮大的溫度[3]。

2 量子糾纏態

2個量子系統復合為純態時分為糾纏態和可分離態，判斷的方法是用施密特分解形式來表示純態:

(19)

如果施密特表示形式中只有1項，亦即復合系統純態可以表示為2個子系統的純態的直積態，則該復合系統是可分離態；如果該復合系統純態的施密特分解形式中有多項，則該復合系統為糾纏態。

如果2個量子系統復合為1個混合態，其總的密度為：

(20)

2.1量子糾纏的基本特征

量子糾纏具有如下基本特征[5]：①量子純態中的可分離態糾纏度為0；②對于d維量子系統中，最大糾纏為E(Jm)=klogd；③等價的量子態的糾纏度相等，即E(UX?IY(JXY))=E(JXY)；④局部操作與經典通信變換后其平均糾纏熵不增加；⑤當量子態的密度接近0時，其糾纏度也接近0；⑥拷貝多份J態后形成的新態的糾纏也增加多倍；⑦ 2個量子體系的密度直積后的糾纏應小于2個子系統各自的糾纏之和；⑧量子系統的糾纏度是凸函數，即E(lJ+(1-l)σ)≤lE(J)+(1-l)E(σ)，其中1≥l≥0。

2.2糾纏的度量

(21)

S(J‖σ)≡tr(Jlog2J)-tr(σlog2σ)

(22)

式中，Sep表示可分離的全集合。

可以將式(22)理解為糾纏態J和最近的可分離態σ之間的距離。要求量子態相對糾纏熵比較困難，其中涉及到對量子態空間的遍歷問題，因而相對熵糾纏不是一個很好的糾纏度。

從以上分析可知，上述討論的糾纏度量都有局限性，諾伊曼熵只適用于量子純態，施密特數糾纏、相對熵糾纏等都要通過遍歷來計算，而在希爾伯特空間里計算分析遍歷是非常困難的。因此，尋找一個可操作性強、計算性好和包含了混合態和純態的量子糾纏度是非常有價值的問題。

3 結 語

通過對量子糾纏和量子消相干現象的動力學分析和計算，得出了量子糾纏和消相干的度量和熵。闡述了量子糾纏在量子計算機中的應用前景，討論了量子消相干影響。如何在量子計算領域運用量子糾纏避免消相干的影響，是今后需要進行深入研究的重要課題。

[1]羅均華.量子退相干與熵變[J].河西學院學報，2006,22(2)：40-41.

[2] 馬小三.量子退相干和量子糾纏動力學的若干研究[D].合肥：中國科學技術大學，2007.

[3] 王靜.量子退相干的理論研究[D].長春：東北師范大學，2009.

[4] 錢辰.量子糾纏和量子計算[J].計算機科學，2006,33(12):231-233.

[5] 王成志.量子系統中的熵與糾纏[D].長沙：湖南師范大學，2002.

[編輯] 李啟棟

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.10.004

O413.1

A

1673-1409(2011)10-0012-04