線性代數教學中學生創新思維的培養

皋古之

高職院校開設的線性代數理論和方法課程，無論對學生專業知識的發展與完善，還是對學生綜合素質的提高和創新能力的培養，都有十分重要的作用。因此在代數教學中，必須注重培養學生的數學創新思維。

一、數學創新思維的特征

數學思維是以數和形為思維對象，以數學語言為載體，以認識和發展數學規律為目的的一種思維活動。創造性思維是一種能得到獨特而有顯著效果的最高層次的思維活動。數學創造性思維既從屬于創造性思維又從屬于數學思維，它既是邏輯思維與非邏輯思維的綜合，又是數學中發散思維與收斂思維的辯證統一，是創造性思維在數學中的體現。因此，它既具有創造性思維的特點，如獨創性、靈活性、綜合性，又具有深刻性、敏捷性、批判性等數學思維品質的特征。

數學創造性思維就是根據數學本身高度的抽象性、邏輯的嚴密性、結論的確定性及應用的廣泛性等特點，去探索、突破、創新，在綜合和應用已有知識、經驗處理問題時，提出全新的見解和思路，發現他人未能發現的東西，解決他人未能解決的問題。

二、線性代數教學中數學創新思維的培養

數學創造性思維是各種思維形式高度統一和協調的綜合性思維，產生創造性思維必須具有廣博的知識、豐富的經驗和良好的知識結構，具有發現問題的強烈意識和執著的探索精神。數學創造性思維能力的培養是一個長期的過程，需要在數學教學中認真探索，積極試驗，逐步滲透。

線性代數是五年制高職學生三年級的選修基礎課，該學科內容抽象、邏輯嚴密，包含有許多現代數學的基本觀點和方法，與初等數學聯系密切，是學生學習微積分后首先要學習的內容。學習線性代數不僅可以增加學生的數學知識，培養數學觀點，為學生以后在專業課中運用數學知識和數學方法打下基礎，而且對學生今后從事技術創新也有重要作用。

1.用線性代數的發展史激勵學生的創新思維

線性代數許多概念的形成和結果的發現過程，都充滿了幾代數學家不畏艱險的創新精神、一絲不茍的科學態度和令人嘆服的思想方法。如果在課堂教學中只注重對學生進行知識的傳授，學生不僅會感到內容抽象、難懂，而且也很難了解這些成果產生的背景、方法和意義。如果在教學過程中結合教學內容，適當穿插一些線性代數發展的史料，介紹中外數學家的生平和成就，讓學生了解線性代數的發展、演變過程，不但可以在枯燥的數學推導中增添一些情趣，活躍課堂氣氛，而且也有利于學生全面理解和掌握知識。比如，在講解“慣性基本定理”時，筆者向學生介紹定理從猜想到得到嚴格證明的過程，介紹數學發展史上幾代數學家為這個定理所做的工作。在講行列式時，向學生介紹馬克勞林、克萊姆、范德蒙、雅可比等數學家為理論的形成和完善所做的開拓性工作。通過這樣的講解，既可以使學生了解數學家們是如何發現數學原理的，也可以激發學生學習線性代數的興趣和欲望，激勵學生的創新意識。

2.深化線性代數基本概念的教學

培養創造性思維的關鍵是發展學生思維的深刻性。它包含思維活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的廣度和深度，它著重于透過表面現象和外部聯系，揭示事物內在的本質和規律。

數學概念是數學理論和方法的基礎，它不僅是數學知識的主要內容，還是進行推理判斷的根本依據。數學概念的引進使得專業知識在敘述上更準確、簡潔、明了。比如，n階行列式的定義是為線性方程組的公式解服務的，它使得線性方程組的解的表達式簡潔、整齊而又美觀；矩陣的乘法定義使得坐標變換之間的表達簡單明了，便于記憶。

數學定義是現實世界中具體對象的抽象概括。所謂抽象就是從貌似不同的研究對象中提煉出共同的屬性，從而形成一個概念。例如，“線性空間”是線性代數中一個很重要的概念，對高職的學生來說這是他們遇到的第一個用公理來定義的抽象概念，也是他們第一次接觸到的代數結構。如果教師一開始就完全公理化地給出概念“線性空間是定義在數域上的具有加法和數量乘法兩種運算，且這兩種運算滿足八條算律的一個非空集合”，學生會感到太枯燥、太抽象，很難理解。可以在給出定義之前，先分析矩陣及空間向量等的運算，啟發學生對事物的認識要看本質而不是只看表面形式；經過比較、分析、歸納，把這些不同對象的運算中的共同性質列出，抽掉它們的元素所表示的具體含義，最后概括出線性空間的定義；接著，再給出一些典型的線性空間的例子。比如，大家熟悉的三維幾何空間R3；數域F上一元多項式環，關于多項式的加法和數與多項式的乘法作成的線性空間P[x]；數域F上全體n階矩陣關于矩陣的加法和數與矩陣的乘法作成的空間等等。通過這些例子，學生可以看到，線性空間的元素是抽象的，就一個具體的線性空間來說，其元素可以是數，也可以是向量、多項式、矩陣等；線性空間的運算也是抽象的，稱為加法的運算α+β未必是通常所說的數加法，稱為數乘ka的運算也不一定是通常的倍數乘法。這樣深入剖析概念的本質，具體明確地提示概念產生的背景，讓學生清楚概念形成的過程，意識到定義的必要性和合理性，有利于學生正確理解和把握概念的實質。只有當學生真正掌握了基本概念之后，才能繼續順利地學習新知識。

深化概念教學，通過類比、聯想概念之間的異同，找出每個概念的特點，培養學生思維的深刻性，提高學生的抽象概括能力，為學生進行創造性思維打下良好的基礎。

3.在傳授知識的過程中注重培養學生的創新思維

隨著職業教育教學改革的不斷深入，線性代數不僅在教材內容上要改革，教師在教學方法上也要改革。代數作為專業的重要基礎課之一，既要系統地傳授基礎知識，更要通過基礎知識的傳授來培養學生的各種思維能力，尤其是創新思維能力。

線性代數教材大多是一個演繹體系，從定義到定理再到推論，基本上是現成的結論及證明。傳統的教學方法往往是教師把結論直接教給學生，只重視理論上的連續性、嚴謹性，不重視知識的形成及應用過程的揭示與解釋，淡化了理論形成過程中的猜想、觀察、實驗、歸納、類比、推廣、抽象等環節，不善于把過程中豐富的思維訓練因素挖掘出來，不善于將知識中蘊涵的豐富的數學思想和數學方法進行抽象和概括。習題、例題的講解過程中，也只注重解題技巧和解題模式的訓練，而忽視解題思路的分析，不能很好地揭示出方法的實質和規律。這不利于培養學生的抽象、概括能力和探索、發現、創造的能力。

因此，要改革教學方法，在教學中采用靈活多樣的啟發式教學法和層層深入的問題式教學法，把教結論與教過程結合起來，把導致結論的思維活動充分展現出來，使學生的數學創造性思維能力得到提高。例如，在講初等變換時，聯系線性方程組的同解變形的三個形式，讓學生看到矩陣的初等變換對應于線性方程組的三個同解變形。這樣講解不但可以透徹理解初等變換的概念，而且還能了解初等變換產生形成過程，使學生認識到，新問題的發現和新理論的形成，都是無數科學家運用科學的方法，經過猜想、觀察、實驗、歸納、類比、推廣等形成的，是他們艱苦努力的結果。

總之，應在線性代數這門基礎數學課的教學中，充分挖掘學生潛能，培養學生運用數學的創新思維能力，為進行專業知識學習與創新人才的培養打下堅實的基礎。

（作者單位：江蘇徐州機電工程高等職業學校）