債券價格隨機時重設型熊市認售權證的定價

歐 輝 李代緒，楊向群

(1.湖南師范大學數學與計算機科學學院，中國 長沙 410081；2.長沙商貿旅游職業技術學院，中國 長沙 410004)

重設型熊市認售權證作為單點重置期權的一個應用，由Gray及Whaley[1-2]介紹，由國際財務公司于1996年創新發行，并在紐約股票交易市場及芝加哥期權交易市場兩地交易．它以S&P500指數作為標的資產，但它可于發行后3個月重設履約價．也就是說，從原發行日后滿3個月的交易日，若當天S&P500指數的收盤價格高于原履約價，則該權證的履約價重設為當日指數的收盤價格．這與一般不可重設履約價的指數認售權證不同，因含有重設履約價的特征，重設型熊市認售權證的價值高于一般的指數認售權證．重設型熊市認售權證可應用于組合避險，保護投資組合(或共同基金)的價值不因股價下跌遭受損失．但若股價指數不跌反而上升時保險的面額可隨著指數價位上升而重設為當時指數價位所代表的價值．這種重設特征提供投資組合更有價值的保護，是一般認售權證所不及之處，因此吸引了很多投資者的興趣．文獻[3]中推導了當無風險利率、股票指數的連續紅利率及瞬時波動率都是常數時重設型熊市認售權證的定價公式，但是其中的計算過程有很多處錯誤，導致最后結果也是錯誤的．本文推導了當無風險資產—零息票債券的價格過程滿足一個由布朗運動驅動的隨機微分方程時，重設型熊市認售權證的定價公式．

1 模型介紹

重設型熊市認售權證實際上是一種特殊的歐式重置賣權.本文中規定：期權到期日為T(T>0)，標的資產為股票指數，其價格過程為S(t)(0 ≤t≤T)，原履約價為K，事先指定的可重設履約價的時點為τ，即在τ時刻，期權持有者可以將原履約價K重設為S(τ)，當然也可以選擇不重設．

設t時刻股票指數價格S(t)(0 ≤t≤T)滿足隨機微分方程：

dS(t)=[μ(t)-q(t)]S(t)dt+σ(t)S(t)dW1(t).

市場上存在一種無風險資產：零息票債券．t時刻其價格B(t)(0 ≤t≤T)滿足隨機微分方程：

dB(t)=r(t)B(t)dt+δ(t)B(t)dW2(t),

其中μ(t)，q(t)，σ(t)分別是股票指數的期望收益率，連續紅利率和瞬間波動率，r(t)，δ(t)分別為債券的期望收益率和瞬時波動率，它們都是時間t的確定性函數，B(T)=1．

{Wi(t)，0 ≤t≤T}(i=1,2)是定義在概率空間(Ω，F，P)上的兩個一維標準布朗運動，P為市場概率測度，dW1(t)dW2(t)=ρdt，ρ為正常數．

重設型熊市認售權證的到期價值CT可以用公式表示如下：

其中α為任意常數．

2 風險中性概率測度的轉換

dS*(t)=μ(t)S*(t)dt+σ(t)S*(t)dW1(t).

定義測度Q如下：

且令

則在Q測度下Z(t)滿足

令

則WQ(t)為Q下的標準布朗運動，且

令

定義測度R滿足

令

dWR(t)=dWQ(t)-θ(t)dt,

則WR(t)為等價鞅測度R下的標準布朗運動，且在R下

3 模型定價

定理1債券的價格過程受布朗運動驅動時，重設型熊市認售權證在t時刻(t<τ)的價格C(t)為：

其中N(x)為一維標準正態分布累積分布函數，N(x,y,ρ)為二維標準正態分布累積分布函數．

證根據風險中性定價原則，期權在t時刻(t<τ)的價格為：

C(t)=B(t)ER[CT|Ft]=

利用測度的轉換和鞅的性質，第一部分C1計算如下：

C1=αB(t)ER[I{S(τ)>K,S(T)K,S(T)

αB(t)PR{S(τ)>K|Ft}PR{S(T)

其中第3個等式利用了布朗運動的獨立增量性．

且

在R測度下用類似的方法求C3：

C3=αB(t)ER[I{S(τ)≤K,S(T)

所以當債券的價格過程受布朗運動驅動時，重設型熊市認售權證在t時刻(t<τ)的價格C(t)為：

證畢．

定理2當債券的價格過程受布朗運動驅動時，重設型熊市認售權證在t時刻(t≥τ)的價格C(t)為：

其中

證當t≥τ時，S(τ)已知，所以期權履約價是否被重設也已知．因為期權為賣權，若S(τ)≤K，則履約價不被重設，因此

若S(τ)>K，則期權履約價被重設為S(τ)，因此

證畢．

鑒于篇幅，文中將很多具體的運算過程都省略了.文中用到的鞅方法定價，是一種很巧妙的方法，現在也很流行，這種方法比起解隨機偏微分方程要簡單多了，而且對于奇異期權的定價也能得出一個顯示表達式．同樣的方法我們也可以求出在零息票債券價格過程服從由布朗運動驅動的隨機微分方程的情形下，重設型牛市認購權證的定價公式(只不過重設型牛市認購權證是看漲期權，到期價值的表達形式有點不同，但計算方法和技巧都是一樣的，有興趣的讀者可以計算一下，鑒于篇幅，這里不再闡述)．

參考文獻：

[1] GRAY S F, WHALEY R E. Valuing bear market reset warrants with a periodic rest[J]. J Derivatives, 1997, 5(1): 99-106.

[2] GRAY S F, WHALEY R E. Reset put options: valuation, risk characteristics and an application[J]. Australian J Management, 1999, 24(1): 1-20.

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[4] DAI M, YUE-KUEN KWOK. Options with combined reset rights on strike and maturity[J]. J Economic Dynamics Control, 2005，29(9)：1495-1515.

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[10] OU H. Pricing the innovative reset options with power payoff：proceedings of the 2010 International Conference on Computer Application and System Modeling (ICCASM), October 22-24, 2010, Shanxi,Taiyuan, 2010[C]. Taiyuan:[s.n.],2010.