廣義自反矩陣與廣義反自反矩陣的廣義逆特征值問題

劉能東,張忠志

(東莞理工學院數學系,中國東莞 523808)

在振動設計中，往往需要修改一個系統的數學模型的物理參數，這在數學上可以歸結為矩陣的逆特征值問題或是廣義逆特征值問題[1].例如，振動系統中剛度矩陣與質量矩陣的校正問題.

設ω1,ω2,…,ωm(m≤n)是m個自然頻率，φ1,φ2,…,φm是相應的振型．令

設K為待校正的剛度矩陣，M為待校正的質量矩陣，它們滿足下列條件：

(1)特征方程：Kφ=MφΩ2；

(2)對稱性：KT=K，MT=M.

求解滿足上述約束條件的K,M等價于求解具有某種對稱結構的關于K,M的廣義逆特征值問題.

通過試驗觀察，統計分布的信息，或是利用有限元等方法可以得到剛度矩陣K的初始估計值K0和質量矩陣M的初始估計值M0. 根據M.Baruch等人[2]提出的極小化加權歐幾里德模方法，可以校正K0和M0, 即求滿足條件(1)和(2)的矩陣K,M，使得min‖(K，M)-(K0，M0)‖.這表明如何確定結構的剛度分布和質量分布，使結構具有要求的固有頻率和相應的固有振型這一問題可歸結為求解矩陣的廣義逆特征值問題和與其相關的矩陣逼近問題.

由于廣義逆特征值問題在力學、電學、參數識別、自動控制等領域有著廣泛的應用, 因而引起了眾多學者的關注. 關于廣義逆特征值問題的研究已取得了一系列成果[3-7]. 廣義自反矩陣與廣義反自反矩陣產生于具有自反對稱結構的物理問題，它被廣泛地應用于電網系統、結構分析等領域[8].本文就廣義自反矩陣與廣義反自反矩陣的廣義逆特征值問題進行討論．

GRCn×n={P|PH=P,P2=I且P∈Cn×n}．

定義1給定矩陣P∈GRCn×n，設x∈Cn．(1)若x=Px，則稱x為關于P的自反向量．(2)若x=-Px，則稱x為關于P的反自反向量．

(1)

定義2給定矩陣P∈GRCm×m，Q∈GRCn×n，設A∈Cm×n．

本文所討論的問題如下．

1 問題Ⅰ解的表達式

利用定義1、定義2和矩陣P、Q的性質，不難證明下面兩個引理．

引理1(1)A∈Crn×n(P,Q)當且僅當存在矩陣E1∈Cr×s，E2∈C(n-r)×(n-s)，使得

(2)

(2)B∈Can×n(P,Q)當且僅當存在矩陣F1∈Cr×(n-s)，F2∈C(n-r)×s，使得

(3)

X=X1+X2，

(4)

其中X1的列向量均是關于Q的自反向量，X2的列向量均是關于Q的反自反向量，即有X1=QX1，X2=-QX2．

容易證明：條件X1=QX1等價于X1=Q1X1；X2=-QX2等價于X2=Q2X2．

定理1給定X∈Cn×m，Λ=diag(λ1,λ2,…λm)∈Cm×m，矩陣X1和X2滿足(4)式．設X1-X2Λ和X2-X1Λ的奇異值分解分別為

(5)

(6)

其中G1∈Cr×(n-t1),G2∈C(n-r)×(n-t2)為任意矩陣．

證由AX=BXΛ和(4)式，有A(X1+X2)=B(X1+X2)Λ，即AX1-BX2Λ=BX1Λ-AX2．由于X1的列向量均是關于Q的自反向量，X2的列向量均是關于Q的反自反向量，所以由引理2不難證明，矩陣AX1-BX2Λ的列向量都是關于P的自反向量，而矩陣BX1Λ-AX2的列向量都是關于P的反自反向量．因此，由(1)得AX1-BX2Λ=0，AX2-BX1Λ=0，即有A(X1,X2)=B(X2Λ,X1Λ)．由引理1，有

(7)

因此，AX=BXΛ等價于下面2個等式

(8)

(9)

由(8)式有

(10)

其中G1∈Cr×(n-t1)為任意矩陣．同理，由(9)和(5)兩式可得

(11)

其中G2∈C(n-r)×(n-t2)為任意矩陣．把(10)和(11)式分別代入到(2)式和(3)式，得問題Ⅰ的解(6)式．證畢．

2 問題Ⅱ解的表達式

(12)

(13)

排除標準:需排除合并糖尿病酮癥酸中毒患者；排除合并精神疾病的患者；排除合并其他心腦血管病變患者；排除相關藥物過敏史患者[3]。

‖(A,B)-(A*,B*)‖2=‖A-A*‖2+‖B-B*‖2=

(14)

因此，由(14)式可知，當且僅當

(15)

(16)

‖(A,B)-(A*,B*)‖達到最小值．不難證明，(15)式等價于

(17)

(16)式等價于

(18)

將(17)、(18)兩式代入(6)式，得問題Ⅱ的解(12)式和(13)式．證畢．

3 擾動分析

(19)

(20)

由矩陣范數的性質，可得

同理得

于是，由(20)式知

因此，(19)式成立．證畢．

4 數值例子

算法求解問題Ⅱ的步驟如下:

(1) 輸入P,Q,X,Λ,A*,B*；

例1n=7,m=3,給定

按以上算法得結果如下：

參考文獻：

[1] 高福安,宋增浩,劉瑞慶.特征值問題的分類,應用及參數敏感性研究[C].全國第一次逆特征值問題討論會論文.西安：陜西,1986.

[2] BARUCH M. Optimization procedure to correct stiffens and flexibility matrices using vibration tests[J]. AIAA J,1978, 16(4):1208-1210．

[3] 李伯忍,胡錫炎,劉學杰.譜約束下反對稱正交反對稱矩陣束的最佳逼近[J].數值計算與計算機應用，2007,28(4):272-289.

[4] 夏又生.解廣義特征值反問題的同倫方法[J].計算數學, 1993,15(3):310-317.

[5] DAI H. An algorithm for symmetric generalized inverse eigenvalue problems[J].Linear Algebra Appl,1999, 296(6):79-98．

[6] DAI H， LANCASTER P. Newton’s method for a generalized inverse eigenvalue problems，Number[J]. Linear Algebra Appl, 1997, 27(4):1-21．

[7] 王江濤，張忠志，謝冬秀，等．埃爾米特自反矩陣的廣義逆特征值問題與最佳逼近問題[J].數值計算與計算機應用，2009，31(3):232-240．

[8] CHEN H C. Generalized reflexive matrices：special properties and applications[J]. Siam J Matrix Anal Appl,1998,1(30):140-153．