一類倒向隨機微分方程解的比較定理

顏寶平

(銅仁學院數學與計算機科學系，中國 銅仁 554300 )

1 引言及主要結果

設(Ω,F,P)是一個完備的概率空間，{Wt}0≤t≤1為其上的d-維標準Brown運動，{Ft}0≤t≤1是{Wt}0≤t≤1的自然σ-代數流，即Ft=σ{N,σ(Ws;0≤s≤t)}，其中N為σ(Ws;0≤s≤t)的P-零測集全體，，用∏[T,1]表示定義在[T,1]×Ω上的Rn×Rn×d值Ft-適應過程(X,Y)的集合．在∏[T,1]上定義范數：

顯然(∏[T,1],‖·‖)是一個Banach空間．文中用Ci表示不同的常數．

本文討論了下列形式的BSDE：

(1)

在(∏[T,1],‖·‖)中解的比較定理．

彭實戈證明了方程(1)的系數滿足Lipschitz條件時其解的比較定理[1]，曹志剛、嚴加安在1999年證明了方程(1)的系數在非Lipschitz條件下解的比較定理[2]；文[3]證明了方程(1)的系數在另一類非Lipschitz條件時其解的比較定理.

本文將證明在一類局部Lipschitz條件下BSDE(1)解的比較定理.

我們對f(s,x,y)的假定如下：

(H1)對幾乎所有的(t,ω)，f(t,ω,x,y)關于(x,y)連續；

(H2)存在2個常數C>0和α∈[0,1]使

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|f(t,ω,x,y)|≤C(1+|x|α+|y|α)，P-a.s.,a.e.t∈[0,1].

(H3)對?N>0，存在對應的常數CN，使得當|x1|

|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|2≤CNK(t,|x1-x2|2)+LN|y1-y2|2，

我們的主要結果是:

(2)

(3)

2 主要結果的證明

定理的證明

再由引理1有

由(H3)及Jensen不等式，有

取C1=LN，從而

由Gronwall不等式有

再由常微分方程比較定理，當t∈[T,1]時，有

在引理2的證明中我們可以知道BSDE(1)、(2)之間的解與解、系數與系數之間存在著如下關系：

因此文獻[3]的定理1就是我們所給定理的特例.

參考文獻：

[1] 嚴加安，彭實戈，方詩贊，等.隨機分析選講[M].北京：科學出版社，1997.

[2] CAO Z G, YAN J A. A comparison theorem for solutions of backward stochastic differential equations[J]. Adv Math, 1999,28(4):304-308.

[3] 孫信秀. 非Lipschitz條件的倒向隨機微分方程解的比較定理[J]. 徐州師范大學學報：自然科學版, 2005,23(4):37-40.

[4] MAO X R. Adapted solutions of backward stochastic differential equations with non-lipschitz coefficients[J]. Stoch Proc Appl, 1995, 58(2): 281-292.

[5] 王 贏,王向榮. 一類非Lipschitz條件的Backward SDE適應解的存在唯一性[J]. 應用概率統計,2003,19(3):245-251.

[6] 冉啟康. 一類非Lipschitz條件的BSDE適應解的存在唯一性[J]. 工程數學學報, 2006,23(2):286-292.