一類非線性三階三點邊值問題單調正解的存在性

曹 珂

(甘肅聯合大學師范學院數學系，中國 蘭州 730010)

三階微分方程起源于應用數學和物理學的各種不同領域中, 例如, 帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的撓度, 三層梁, 電磁波, 地球引力吹積的漲潮等[1]. 最近, 三階三點邊值問題正解的存在性受到了人們的高度重視[2-7], 但現有文獻大多是以各種不動點定理為工具的. 譬如, 文獻[6]考慮了如下三階三點邊值問題

(1)

受以上文獻的啟發，本文將運用單調迭代法來研究下述邊值問題

(2)

全文假設下述條件成立：

(H1)f∈C([0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞))；

(H2)a∈C([0,1],[0,+∞))且不恒為零.

1 預備引理

引理1[6]設αη≠1，則對于任意給定的h∈C[0,1]，邊值問題

引理2[6]對于任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1]，0≤G(t,s)≤tg(s)，0≤Gt(t,s)≤g(s)．

定義算子T:

對于任意的u∈K, 由引理2及(H1)，(H2)可知，

這表明T:K→K. 顯然，T的不動點即為邊值問題(2)的單調非負解.

為方便起見, 記

則由(H2)可知Λ>0.

引理3T:K→K是全連續的.

M2=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M1]×[0,M1]}.

則對于任意的自然數k由引理2可知

Λ-1M2,t∈[0,1].

其次，我們證明T為連續算子. 假設um,u∈K且‖um-u‖→0(m→∞). 則存在M3>0，使得對于任意的自然數m，‖um‖≤M3. 令

M4=sup{f(x,y):(x,y)∈[0,M3]×[0,M3]},

則對于任意的自然數m，t∈[0,1]，由引理2，有

由勒貝格控制收斂定理可知，

(Tu)(t),t∈[0,1]，

(Tu)′(t),t∈[0,1].

因此,T是連續算子. 綜上所述，T:K→K是全連續算子．

2 主要結果

定理2假設f(0,0)>0且存在常數R>0使得

f(u1,v1)≤f(u2,v2)≤ΛR,0≤u1≤u2≤R,0≤v1≤v2≤R.

(3)

若構造迭代序列

vn+1=Tvn,wn+1=Twn,n=0,1,2,3,…,

0

0

證令KR={u∈K:‖u‖≤R}, 則有T:KR→KR. 事實上，對于任意的u∈KR, 有

由引理2及(3)可知

這意味著T:KR→KR.

0

(4)

(5)

由(4),(5)可知v1-v0∈K, 這表明v0≤v1. 假設vk-1≤vk，由引理2及(3)可知

(6)

(7)

由(6),(7)可知vk+1-vk∈K, 即vk≤vk+1, 這樣就證明了vn≤vn+1,n=0,1,2….

因此存在v∈KR, 使得‖vn-v‖→0(n→∞). 由T的連續性及vn+1=Tvn,n=1,2,3,…， 易知v=Tv. 又由于f(0,0)>0, 可知零函數不是邊值問題(2)的解，故有‖v‖>0. 從而

0

0

3 應用實例

例考慮邊值問題

(8)

0

0

此外，兩個迭代序列為：

迭代序列的第一，第二和第三項分別如下：

v0(t)=0,

w0(t)=2t,

參考文獻：

[1] GREGUS M. Third order linear differential equations [M]. Dordrecht: Reidel,1987.

[2] ANDERSON D R, DAVIS J M. Multiple solutions and eigenvalues for three-order right focal boundary value problems[J]. J Math Anal Appl, 2002, 267(1): 135-157.

[3] ANDERSON D R. Green’s function for a third-order generalized right focal problem[J]. J Math Anal Appl, 2003, 288(1): 1-14.

[4] YAO Q. The existence and multiplicity of positive solutions for a third-order three-point boundary value problem[J]. Acta Math Appl Sinica, 2003, 19(1): 117-122.

[5] SUN Y. Positive solutions of singular third-order three-point boundary value problem[J]. J Math Anal Appl, 2005, 306(2): 589-603.

[6] GUO L J, SUN J P, ZHAO Y H. Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J]. Nonlinear Analysis, 2008, 68(10): 3151-3158.

[7] 孫建平, 彭俊國, 郭麗君. 非線性三階三點邊值問題的正解 [J]. 蘭州理工大學學報, 2009, 35(1): 139-142.

[8] AMANN H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problem in ordered Banach spaces[J]. SIAM Rev, 1976, 18(4): 620-709.

[9] 孫建平, 曹 珂. 一類非線性三階三點邊值問題正解的存在性 [J]. 蘭州理工大學學報,2010, 36(2): 123-124.