李沅洪,呂君麗,王永久
(湖南師范大學物理系,中國 長沙 410081)
美國的天文學家Hubble在1929年通過遠距星云的觀察資料,遠距離恒星的光譜出現一種宇宙學紅移.離地球越遠的恒星紅移越大.他通過觀察資料總結出規律:恒星光譜的宇宙學紅移與恒星和地球的距離成正比.在科學界,人們普遍認為這種紅移實際上是多普勒效應,也就是說,這種紅移是由于恒星跟地球之間的相對遠離造成的.宇宙是由引力引導的,引力場就是一個彎曲時空,研究彎曲時空的多普勒效應對宇宙學研究有重要意義[1-7].
設在折射率為n的介質中有一平面波在傳播,此波的波陣面垂直于xoy平面.波在兩個慣性系s和s′中的相速度分別為u和u′.s和s′的相對速度為v,方向與ox軸相同.
令在時刻t=t′=0兩參照系對應坐標軸重合,此時波陣面從o點出發.
在s系中,經過時間t0后,波陣面傳播的距離為ut0=xcosθ+ysinθ,θ為u和x軸夾角,或寫成:

到時刻t,到達觀察者P(x,y)的波數為:

(1)
在s′系中計算,在對應時間間隔內到達P(x′,y′)的波數為:

在對應時間間隔內,通過觀察者P的波數應該相等.于是我們得到

(2)
將狹義洛侖茲變換代入(2)式有

(3)


由式(1)可得

(4)



(5)
這些關系式表征光行差現象的相對論多普勒效應.
設

(6)
則式(4)和(5)分別與質點合成的式子
和

當v=c時,由(6)可得到波的相速度:

(7)
與伴隨粒子的速度相同.
在(4)和(5)中代入u=c,可得常見的相對論多普勒效應表示式




通常以ν′=ν0表示原子的本征頻率,則有

下面我們計算在任意引力場(即彎曲時空)中,光源和接收器任意運動的情況下的多普勒效應.


或者

(8)
輻射光子后有

(9)
由能量—動量守恒有

(10)
其中εμ為光子的四維動量.這樣,(9)可變為:

(11)
由(8)~(11)可得

(12)
因為光子靜止質量0,所以有

(13)
假設輻射沿著x1方向,那么εμ只有ε0和ε12個不為零的分量.由(12)~(13)有

(14)

(15)


(16)
或

這就是光源和接收器運動情況下的引力頻移的一般表達式.

pi=0.
取時軸正交系(靜態場)g0i=0,將上式代入(16)得到

在平直空間中,gμν=diag{1,-1,-1,-1}代入(16)有


再代入(7)有

這正是狹義相對論中多普勒效應的表達式.
參考文獻:
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[6] 王永久,唐智明.引力理論和引力效應[M].長沙:湖南科學技術出版社,1990.
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