彎曲時空的多普勒效應

李沅洪，呂君麗，王永久

(湖南師范大學物理系，中國 長沙 410081)

美國的天文學家Hubble在1929年通過遠距星云的觀察資料，遠距離恒星的光譜出現一種宇宙學紅移．離地球越遠的恒星紅移越大．他通過觀察資料總結出規律：恒星光譜的宇宙學紅移與恒星和地球的距離成正比．在科學界，人們普遍認為這種紅移實際上是多普勒效應，也就是說，這種紅移是由于恒星跟地球之間的相對遠離造成的．宇宙是由引力引導的，引力場就是一個彎曲時空，研究彎曲時空的多普勒效應對宇宙學研究有重要意義[1-7]．

1 狹義相對論中的多普勒效應

設在折射率為n的介質中有一平面波在傳播，此波的波陣面垂直于xoy平面．波在兩個慣性系s和s′中的相速度分別為u和u′．s和s′的相對速度為v，方向與ox軸相同．

令在時刻t=t′=0兩參照系對應坐標軸重合，此時波陣面從o點出發．

在s系中，經過時間t0后，波陣面傳播的距離為ut0=xcosθ+ysinθ，θ為u和x軸夾角，或寫成：

到時刻t，到達觀察者P(x,y)的波數為：

(1)

在s′系中計算，在對應時間間隔內到達P(x′,y′)的波數為：

在對應時間間隔內，通過觀察者P的波數應該相等．于是我們得到

(2)

將狹義洛侖茲變換代入(2)式有

(3)

由式(1)可得

(4)

(5)

這些關系式表征光行差現象的相對論多普勒效應．

設

(6)

則式(4)和(5)分別與質點合成的式子

和

當v=c時，由(6)可得到波的相速度：

(7)

與伴隨粒子的速度相同．

在(4)和(5)中代入u=c，可得常見的相對論多普勒效應表示式

通常以ν′=ν0表示原子的本征頻率，則有

2 彎曲時空中的多普勒效應

下面我們計算在任意引力場(即彎曲時空)中，光源和接收器任意運動的情況下的多普勒效應．

或者

(8)

輻射光子后有

(9)

由能量—動量守恒有

(10)

其中εμ為光子的四維動量．這樣，(9)可變為：

(11)

由(8)～(11)可得

(12)

因為光子靜止質量0，所以有

(13)

假設輻射沿著x1方向，那么εμ只有ε0和ε12個不為零的分量．由(12)～(13)有

(14)

(15)

(16)

或

這就是光源和接收器運動情況下的引力頻移的一般表達式．

pi=0.

取時軸正交系(靜態場)g0i=0，將上式代入(16)得到

在平直空間中，gμν=diag{1,-1,-1,-1}代入(16)有

再代入(7)有

這正是狹義相對論中多普勒效應的表達式．

參考文獻：

[1] 王永久,龔添喜,陳菊華.一類無奇點宇宙模型[J].物理學報,2010, 59(2): 712-715.

[2] 曹廣濤,王永久.Kasner 時空中的中微子震蕩相位[J].物理學報, 2010, 59(8): 5921-5924.

[3] 黃秀菊,王永久.Interference phase of mass neutrinos in Kerr space-time[J]. Commun Theor Phys, 2003,40(6):742-744.

[4] 黃秀菊,王永久.Higher-dimensional cosmological models with density-parameter-dependet cosmological constant[J]. Chin Phys Lett, 2004, 21(8):1670-1672.

[5] 王永久.相對論天體和宇宙[M].長沙：湖南師范大學出版社,2000.

[6] 王永久,唐智明.引力理論和引力效應[M].長沙：湖南科學技術出版社,1990.

[7] 王永久. 引力論和宇宙論[M].長沙：湖南師范大學出版社,2004.