Banach空間脈沖微分方程整體解的存在性

汪子蓮, 丁 珂

(1.蘭州工業高等專科學校 基礎學科部 甘肅 蘭州 730050； 2.中山大學 嶺南學院 廣東 廣州 510275)

Banach空間脈沖微分方程整體解的存在性

汪子蓮1, 丁 珂2

(1.蘭州工業高等專科學校 基礎學科部 甘肅 蘭州 730050； 2.中山大學 嶺南學院 廣東 廣州 510275)

利用Darbo不動點定理研究了Banach空間中一類含有無窮多個跳躍點的一階脈沖微分方程初值問題，在較弱的條件下獲得了其整體解的存在性.

正規錐; 脈沖微分方程; 非緊性測度; 初值問題

0 引言

脈沖微分方程理論研究在固定時刻或不固定時刻發生快速變化或跳躍的發展過程,是對自然界發展過程更直接的反映,近年來得到了廣泛關注[1-4].

本文研究有序Banach空間E中脈沖微分方程初值問題

(1)

最近,抽象空間中脈沖微分方程初值問題得到了廣泛的研究[2-4],但都是考慮在有限閉區間上局部解的存在性,并且考慮的是有限個脈沖點的情形.文[5-6]在耗散型條件下獲得了沒有脈沖的微分方程初值問題

(2)

在Hibert空間H中整體解的存在性.本文運用不同于文[5-6]的方法,獲得了Banach空間E中含有無窮多個脈沖點的微分方程初值問題(1)整體解的存在性.

1 預備工作及引理

設E為有序Bananch空間,其正元錐P正規,正規常數為N,E中的序關系“≤”由錐P引出[7]，x≤y?y-x∈P.

引理3(Darbo) 設E為Banach空間,Ω?E為非空有界凸閉集,若映像A:Ω→Ω是嚴格集壓縮的,則A在Ω中必有不動點.

首先考察線性脈沖微分方程初值問題

(3)

其中h(t)∈BPC(J,E).

引理4對?h(t)∈BPC(J,E),x0∈E和yk∈E,k=1,2,…,線性脈沖初值問題(3)有唯一解u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E),且

(4)

證明設y0=θ,如果u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E)是線性脈沖初值問題(1)的解,則u限制在Jk上滿足線性微分方程初值問題

相反,直接驗證可知,由(4)式定義的函數u(t)是直線性脈沖微分方程初值問題(3)的解.

引理5假設條件

‖f(t,u)‖≤p(t)‖u‖+q(t),?t∈J,u∈E;‖Ik(u)‖≤Ck‖u‖,k=1,2,…

成立，則A：BPC(J，E)→BPC(J,E)且u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E)是問題(1)的解當且僅當u∈BPC(J,E)是算子A的不動點.

證明對?u∈BPC(J,E),顯然，Au∈BPC(J,E)，于是

故‖Au‖≤R,從而Au∈BPC(J,E).因此，算子A有定義.又由引理4可知，u∈BPC(J,E)∩C1(J′,E)是問題(1)的解當且僅當u∈BPC(J,E)是算子A的不動點.

首先證明α(AC)≤d.事實上，由算子A的定義及假設H1易知(AC)(t)為Jk上等度連續的函數族，且對?ε>0,?N,當t1,t2>N時，對一切u∈C,有

‖(Au)(t1)-(Au)(t2)‖<ε.

(5)

因為函數族(AC)(t)在每個Ji(i=1,2,…,k)上等度連續，由引理1可知

(6)

因而對?Au1,Au2∈ACi,當t>tk時，由(5)式與(6)式，有

‖(Au1)(t)-(Au2)(t)‖≤‖(Au1)(t)-(Au1)(tk)‖+‖(Au1)(tk)-(Au2)(tk)‖+
‖(Au2)(tk)-(Au2)(t)‖<3ε+d,t>tk.

(7)

‖(Au1)(t)-(Au2)(t)‖≤‖Au1-Au2‖≤α(AC)+ε,

(8)

2 主要結果

定理1設E為有序Banach空間，其正元錐P正規，正規常數為N.f∈C(J×E,E),Ik∈C(E,E),k=1,2,….若條件H1滿足，并且假設H2如下：

H2存在l∈L[0,+∞)及非負常數Mk,使得對任意有界集D?E，有

α(f(t,D))≤l(t)α(D);α(Ik(D))≤Mkα(D),k=1,2,…,

證明由算子A的定義、假設H1及引理5，易知A：BPC(J，E)→BPC(J,E)連續.

下面證明A：B→B.事實上,對?u∈B,由算子A的定義及假設H1,有

因此,A為從凸閉集B到B的連續算子.

由引理2及假設H2,有

由t的任意性可知

(9)

由(9)式、假設H2及引理2，有

(10)

所以，A：B→B為嚴格集壓縮映射.

因此，由引理3可知，A在B中至少有一個不動點u，故u∈BPC(J,E)為問題(1)的解.證畢.

下面給出一個例子說明我們的結論.

例1考慮無窮維脈沖系統

(11)

其中，0

定理2脈沖微分系統(11)在[0，+∞)中至少存在一個解.

(12)

顯然，x0∈E,f∈C(J×E,E),Ik∈C(E,E),k=1,2,….下面驗證H1與H2成立.

故H1滿足.

由文[8-9]知，h(t,D)在E中相對緊，即α(h(t,D))=0,t∈J.因此，有

α(f(t,D))≤l(t)α(D),α(Ik(D))≤Mkα(D),t∈J,k=1,2,…,

故H2滿足.因此,由定理1可知結論成立.

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ExistenceofGlobalSolutionsforImpulsiveDifferentialEquationsinBanachSpaces

WANG Zi-lian1, DING Ke2

(1.CollegeofBasicCourses,LanzhouPolytechnicCollege,Lanzhou730050,China; 2.LingnanCollege,SunYat-setUniversity,Guangzhou510275,China)

By using Darbo fixed point theorem, a kind of initial value problems for first order impulsive differential equations with infinite skip points in a Banach space was studied.And the existence of global solutions was obtained under weak conditions.

normal cone; impulsive differential equation; measure of noncompactness; initial value problems

O 175.15

A

1671-6841(2011)03-0022-05

2010-05-08

甘肅省教育廳科研項目，編號0712B- 02.

汪子蓮(1964-)，女，副教授，主要從事常微分方程邊值問題研究，E-mail:sapingddk@163.com.