百慕大期權定價的離散模型

劉福國

(昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100)

百慕大期權定價的離散模型

劉福國

(昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100)

本文給出離散市場模型下百慕大期權定價公式。對我國的上海權證市場中的百慕大式權證的實際數據利用離散(二叉數方法)模型下的百慕大期權定價公式進行數學模擬，并給出實證分析，從而為百慕大期權定價理論的證明提供了現實根據。

百慕大期權;二叉樹;實證分析

1 前 言

期權按照交易時間的不同，期權有歐式期權和美式期權之分，標準美式期權可在其有效期內任何時間均可行使期權，它比歐式期權應用得更為普遍，國際金融衍生市場交易的大多數期權都是美式期權，但實際中交易的美式期權不一定總是具備這些標準特征，尤以股票期權市場最為突出。有一種非標準的美式期權稱為百慕大(bermudan)期權，在這種期權中，提前行使只限于期權有效期內特定日期，即其具備路徑依賴特征。例如現在一些公司發行的某些認購權證和認沽權證實質上就是百慕大期權，他們提前執行只能在有效期內的部分時間進行，而不是有效期內的所以時間都可以，所以對其定價，就顯得比較復雜，這也是購買者最關心的問題。在金融衍生市場中交易的大部分權證都是百慕大式的，所以對百慕大期權的定價就顯得尤為重要。由于其路徑依賴特征的復雜性使得對百慕大期權的定價比較有難度，關于該問題研究的文獻比較有限，林建偉采用偏微分方程方法討論了帶跳擴散項的永久百慕大期權定價問題［1，2］，但他僅解決作為周期解的連續的數學模型。所以百慕大期權的定價一直是國內外眾多學者研究的熱點之一。

2 百慕大期權定價方法—離散模型

定義2.1［3］按和約規定，提前實施只限于期權有效期內的一些特定時間才可以進行，在其他時間與其它歐式期權一樣不能提前實施，此類期權稱之為百慕大期權。

二叉樹模型為百慕大式期權定價原理

設t1，t2，……，tN為百慕大期權可以行權的時刻，把［0，T］分為N段:0＜t1＜t2

＜…… ＜tN=T，實際中不同百慕大期權N不同，即在不同時刻行權其價值不同，在每個可行權點ti可以選擇立即行權，也可以選擇在以后的行權點行權，如下圖:

圖中Y表示執行期權，N表示不執行期權

設V(s，t)表示t時刻期權的價值，則

對于百慕大期權二叉樹模型首先解決的就是股價走勢的問題，雖然不知道未來某個時點的股價具體是多少，但是二叉樹模型認為在較短的時間間隔內，股票價格S只有兩種運動方向，以概率P向上增長為Su，或以概率1－P下降為Sd，根據股價的歷史波動率，可推算u、d，并設定如下:

二叉樹描繪出的股價路徑如下圖所示:

單步二叉樹示意圖

多步二叉樹示意圖

描繪出股價路徑之后，則需判斷每個節點處的期權價值。由于股票和期權的風險源相同，因此通過構建一個股票和期權的無風險組合，便可求解P，f。在單步二叉樹中，它們滿足如下關系:

公式2.2顯示的是期權的時間價值，從經濟意義上很好理解，將未來股價上漲時的期權價值和股價下跌時的期權價值分別以其概率為權重相加后按無風險利率貼現回來即為其現值，也就是現在不行權而在將來行權的價值。實際上，每個節點處的期權可能還存在另一個價值，就是選擇立即行權而不是將來行權的價值，對于看跌期權而言，即max(X－S(T)，0)。歐式期權由于只在期末有行權的權利，所以除最后一層節點外，不存在第二種價值;美式期權

由于在期權的有效期內任一天均可行權，因此除最后一層節點外，每個節點處期權均存在兩種價值;百慕大期權由于期權有效期內只有某段時間可行權，因此部分節點處期權存在兩種價值，部分節點處只有第一種價值。

在給期權定價時，實務界一般認為采用20步二叉樹就能取得較好的定價效果，并且我們通過適當調整步長使行權點剛好與二叉樹分層點重合，對于看跌期權而言，由于最后一層節點處為期末，期權的價值僅為立即行權的價值max(X－S(T)，0)，然后根據公式(2.2)不斷的往前回溯，如果該節點處有行權的權利，則期權價值為:

如果該節點處無行權的權利，則期權價值為:e－rT［Pfu+(1－P)fd］，回溯到第一個節點時則為百慕大期權價值。

3 實證研究

定義3.1［4］權證，是指標的證券發行人或其以外的第三人發行的，約定持有人在規定期間內或特定到期日，有權按約定價格向發行人購買或出售標的證券，或以現金結算方式收取結算差價的有價證券。

權證本質上是期權的一種，百慕大式權證實質就屬于百慕大期權，在我國的上海權證市場中大部分的權證是百慕大式的，百慕大權證吸收了歐式權證和美式權證的靈活性，更加滿足市場的需求，對其定價就顯得更加重要。本文對中國上海權證市場中的所有百慕大式認沽權證和認購權證的實際數據以MATHLAB作為數學模擬工具對二叉樹模型進行模擬，并與實際進行比較，部分結果如下圖:

首創JTB1模擬圖

國安JTB1模擬圖

雅戈爾QCB1模擬圖

邯鋼JTB1模擬圖

對所有的百慕大式認沽權證和認購權證都使用該方法進行實證模擬對比，二叉樹定價結果比較接近實際，權證是指標的證券發行人或其以外的第三人發行的，反映的是發行人與持有人之間的一種契約關系，發行人也以追求經濟利益為目的，而且權證的價格往往還要受到權證的市場供求、發行人業績等因素影響，所以造成對于百慕大式認沽權證和認購權證的理論價值有時與實際價格存在一定的差距。

本文對于百慕大期權定價是在標的資產不存在分紅和利率、波動率是時間t的連續函數的假設條件下進行的，標的資產存在分紅和利率、波動率是隨機情形還有待繼續研究。

［1］林建偉.帶跳擴散項的永久百慕大期權定價［J］.莆田學院學報.2005，(4).

［2］林建偉.永久百慕大期權的定價公式［J］.同濟大學學報，2008，(10).

［3］姜禮尚.期權定價的數學模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］［美］John C.Hull.期權，期貨和其它衍生產品［M］.北京:華夏出版社，2000.

［5］錢敏平，龔光魯.隨機過程論［M］.北京:北京大學出版社，2004.

O212.7

A

1671－6469(2011)05－0091－03

2011－10－11

昌吉學院教研課題(2010YJYB007)

劉福國(1978－)，男，新疆呼圖壁人，昌吉學院數學系，講師，研究方向:數理金融。

(責任編輯:馬海燕)