半導體超晶格高頻放大效應的研究＊

胡 波， 黃仕華

(浙江師范大學凝聚態物理研究所，浙江金華 321004)

0 引言

由于布洛赫振蕩存在，直流偏壓下，人們在單微帶超晶格半導體中觀察到了負差分電導現象［1］，并預測在負差分電導的條件下，對于均勻分布的電場，在太赫茲頻率下超晶格半導體應該有一個較強放大．因此，直流偏壓下的超晶格成為微小、穩定，并且能在室溫下操控的潛在的太赫茲輻射源．但是強場域的形成使得超晶格在出現負差分電導的地方不穩定，從而破壞了長周期超晶格高頻布洛赫放大．為了穩定在超晶格中的電場，最近有很多新的納米設計方法被研究［2-3］．

最近，有文獻［4-5］報道了在假定動量弛豫時間和能量弛豫時間相同的情況下采用動力學平衡方程分析了用一個外加微波頻率下交流光電場取代直流電場可以在長周期超晶格上實現高頻放大，在亞赫茲頻率ω2=nω1(n是偶數)的探測光電場很強時負吸收的存在．本文更普遍地從理論上說明了直流電場下也可實現探測光電場的高頻放大，并發現探測光電場的高頻放大效應與負差分電導不一定有直接關系．用一個外加交流光電場取代直流的情況下，在某些特定的探測光電場和外加光電場下，探測光電場的高頻放大效應是可以發生的，特別是在低頻弱探測光場下，這時高頻放大效應也一直存在．

1 基本理論

假設長周期超晶格半導體勢壘寬度比較小，在緊束縛近似下，在它生長方向(設為z)單微帶的色散關系為［6］

式(1)中:kz是沿z方向的波矢;d是超晶格的周期;Δ是微帶寬度．在微帶超晶格中電子在z方向上的速度為

假設一個與時間有關的電場E(t)=Edc+Eac(t)作用于電子上，采用在近弛豫時間近似下的經典的玻爾茲曼輸運方程描繪電子的動力學過程［7］

式(3)中:f(q，k，t)是超晶格電子中的分布函數;τe和τi分別是電子唯象的能量弛豫時間和彈性散射弛豫時間．存在雜質、界面粗糙、結構無序散射等主導著彈性散射弛豫，聲子散射等非彈性散射主導著能量弛豫．

假定超晶格中的電子平衡時滿足玻爾茲曼分布．超晶格除了在z方向形成微帶外，電子在超晶格平面內是自由運動的，因此電子的總能量是

式(4)中:m*是電子的有效質量;kx和ky分別是平面內的波矢．超晶格平衡時電子密度為

式(5)中:A是玻爾茲曼分布的待定系數;I0是零階虛宗量貝塞爾數．

超晶格電子達到平衡時電子的平均能量為

式(7)～式(8)中:J(t)是電子的電流密度;ε(t)是電子的平均能量．動量

2 計算與分析

考慮作用在電子上的電場為E0+E1cos(ω1t)+E2cos(ω2t+φ)，其中E1cos(ω1t)是一個外加太赫茲光電場，E2cos(ω2t+φ)是一個外加交流光探測場，φ是相對相位．定義在超晶格微帶中交流探測光場的吸收為

式(9)中，＜J(t)cos(ω2t+φ)/Jpeak＞t表示超晶格中電子達到穩態時，在一個時間周期為2π/ω2內的時間平均值．當A＜0時，則表示產生的頻率為ω2的諧波與驅動探測光場反相，能量將由超晶格轉移給探測交變光場，交變光場將被放大，所以，可以說高頻放大對應A＜0．與A有關的吸收α(cm-1)［8］為

式(10)中:κ0和c分別是真空介電常數和真空中的光速;nr是超晶格材料的折射率．在超晶格中產生的功率密度P為

為了能計算吸收和產生功率，對一個長周期的GaAs/AlAs超晶格采用如下參數［9］:周期長度Tsu 最大平均電流 Jpeak=qneqΔd/［4?I1(Δ/2kBT)/I0(Δ/2kBT)］，Esaki-Tsu 臨界電場為 Ec=?/(qdτ)，其

下面討論在超晶格中探測光場的高頻放大效應，分如下情況進行:

1)作用在超晶格上的外加電場只有直流電場(E1=0)，數值求解上述動力學平衡方程．圖1是在高頻率為ω2=3/τ弱振幅探測光場的作用下，直流電流J0/Jpeak與電場E0/Ec之間的關系．由圖1可見，在布洛赫頻率ωB=ω時出現直流共振峰．圖2給出了當直流電場E0/Ec=1～5時，吸收α與頻率ω2的依賴關系，它表明對低頻ω2τ?1，負吸收存在．對于滿足E0/Ec?1的直流工作電場，與放大共振對應的頻率很容易被估算出來．很明顯，當處于工作狀態的直流電場選擇在直流共振峰的右側部分時，最大高頻放大值是可以實現的．這種放大共振也揭示了布洛赫共振的量子耗散本質，即散射造成了在發射和吸收過程中的不對稱性，但是與負差分電導相關的不穩定性造成了高頻放大的可行性［10］．

圖1 直流電流作為直流電場的函數(E2→0，ω?1)

圖2 吸收 α-ω2τ曲線(E2→0，E0=1，2，3，4，5Ec)

在強振幅探測光場的情況下，高頻放大不一定與靜態負差分電導聯系在一起，因為交流電場也能打開一個新的輸運通道，它導致了J0～E0特性的光輔助峰的形成［10-11］．圖3是在一個強探測光場頻率為ω2=3/τ的作用下，對不同的探測光振幅 E2值，直流電流與電場之間的關系．由圖3可見，在E0/Ec=2．5 ～4．0和 E0/Ec=5．5 ～6．5 時，第1 和第2 個光輔助峰的左側表征了正差分電導區域［10］．為了展示在正差分電導的情況下強信號放大的可行性，筆者分別選擇工作直流電場為E0=3Ec和E0=6Ec．圖4給出了產生功率密度對頻率為ω2=3/τ光探測場的依賴關系．由圖4可見，當正差分電導只出現在第2個光輔助峰的左側時，超晶格能產生高頻放大輻射，不同于文獻［10］報道的在第1個光輔助峰左側就出現了高頻放大效應．同時，在探測光場處于低振幅下，超晶格中不穩定的電學特性干擾了高頻放大的產生．在超晶格能轉換到正差分電導之前，探測場振幅必須達到一個閾值，從圖4可知這個閾值一直是存在的．但是，如果通過某種方式，小信號的空間電荷不穩定性能被壓制的話，對一個非常特殊的超晶格，產生功率密度在頻率～8 THz能達到～300 MW/cm3．

圖3 直流電流-直流電場曲線

圖4 P與E2之間的函數關系

2)作用在超晶格上的外加電場只有交流電場(E0=0)．為了高頻放大效應不被外加光場產生的諧波干擾，筆者選擇探測光場的頻率ω2=2ω1(n為偶數)，主要是因為在沒有直流電流的對稱超晶格中不可能產生偶次諧波．因此，在偶次諧波的高頻放大是值得進一步探討的．圖5是在頻率為ω2=2ω1的弱探測光場情況下，對不同外加光電場振幅E1，吸收α對相對相位φ的依賴關系．表明在弱探測場的情況下，依賴于相對相位高頻放大總是能達到最大，且在低頻ω1?1/τ條件下，最優化的相對相位為φopt?π/2或3π/2．圖6是對不同的探測場振幅E2，吸收α對相對相位φ的依賴關系．由圖6可見，同樣在低頻ω1?1/τ條件下，最優化相對相位φopt≈π/2或3π/2，因為當相對相位φ取最優相位時，產生的第2諧波正好與驅動的總交變場反相，能量由超晶格轉遞給探測交變場最多，這時最有可能放大．

圖5 不同E1值時吸收α與相對相位φ的關系

圖6 不同E2值時吸收α與相對相位φ之間的關系

圖7表示:當φ=φopt時，不同的外加光電場在弱探測光電場下吸收α與外加光頻率ω1之間的關系．由圖7可見，在ω1＞2/τ的情況下，高頻放大將不可能發生，因為，此種情況下外加光電場引起超晶格自身產生了負差分電導，干擾高頻放大效應．為了實現高頻放大應該避免這一工作點．圖8展示了在外加光電場振幅為E1=3～5Ec時，產生的功率密度與探測光電場振幅之間的關系．如果超晶格能實現高頻放大，當探測振幅E1=5Ec時，功率密度達～300 MW/cm3．圖9顯示的是α與ω1τ的關系，表明只有在ω1?1/τ情況下，偶次諧波頻率的探測光場才能都實現高頻放大，但二次諧波頻率吸收得更多，因為，在高頻范圍特定外加光電場下，超晶格的不穩定性干擾了高頻放大效應的產生．

圖7 吸收α作為外加光頻率ω1的函數

圖8 產生功率密度P作為探測光振幅E2的函數

3 結論

本文中，筆者通過弛豫近似下半經典玻爾茲曼輸運理論計算模擬了半導體超晶格中在直流驅動和交流驅動2種情況下的高頻放大效應，并分析了利用單頻和多頻驅動在室溫下達到太赫茲放大的可行性．研究和計算也可推廣到外加交流和直流同時存在的情況，同時也為下一步半導體超晶格高頻放大的實驗研究提供了理論依據和參考．

圖9 吸收 α-ω1τ曲線

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