廣義凸性假設下的集合最優化解的性質＊

李毛親， 李杉林

(1．太原師范學院數學系，山西太原 030012;2．臺州學院數學系，浙江臨海 317000)

0 引言

集合最優化問題依賴于集合之間的序關系，這種序關系最早由Young［1］于1931年提出．1984年，Nishniandze［2］在研究集值映射的不動點時用了這種序關系;1997年，Kuroiwa等［3-6］在此基礎上定義了集合之間的6種序關系，并應用其中的2種序關系定義了具有集值映射的多目標最優化問題的最優集和最優解的概念，研究了解的存在性及對偶問題．從此，集合最優化(set optimization)的概念被大家接受，并越來越多地受到關注．文獻［7］討論了集合最優化的共軛對偶問題;文獻［8］通過定義集簇的Kl-半緊性和Ku-正則性，得到了最優集和最優解存在的充分和必要條件，其結論的特殊情況就是經典的向量最優化問題有效解的存在性結論;文獻［9-10］定義了集合最優化問題的弱最優的概念，分別討論了Lagrange對偶和數值化的問題;文獻［11］探討了集合最優化的外穩定性問題，得到了外穩定的條件．

設X，Y是拓撲線性空間，K?Y是內部非空的尖閉凸錐，導出Y中的向量之間的偏序為:

對于向量最優化問題

其中:φ≠M?X;F:M→2Y是集值映射．稱x0∈M為(VP)的有效解(弱有效解)，若存在y0∈F(x0)使得

若將F(x)看作參加國內CBA聯賽的籃球隊，x為該隊教練，負責隊伍的組織和訓練．由向量最優化有效解的定義可以看到:若在某支球隊F(x0)中有一個全國最佳運動員y0，則不管該隊的成績如何，該隊教練都是一個最優的教練．這顯然與事實不符．一個球隊除了這個最佳運動員外，如果其他運動員都不會打球，挑選出這樣隊伍的教練員作為最佳教練是很難讓人接受的．這個問題的關鍵是在選擇最優解時用到的序關系是向量之間(即運動員之間)的序關系而不是集合之間(即球隊之間)的序關系．正是基于這樣的原因，集合之間的序關系被提出．于是，上述問題就可以在球隊之間進行比較，從而選出最佳隊伍及最佳教練，這至少在某些方面更接近于現實，也為多目標最優化問題提供了一個新的研究途徑，就像Jahn［12］所說，集合最優化為多目標最優化研究打開了一個新的更廣闊的領域．這也是集合最優化越來越受到關注的原因之一．

1 概念及記號

現介紹集合之間的序關系．設P0(Y)=2Y{φ}，即Y的所有非空子集所成之集簇，A，B∈P0(Y)．若

則稱≤l為集合之間的下關系，≤u為集合之間的上關系．

定義P0(Y)上的關系～l為:A～lB??A≤lB且B≤lA，則～l是一個等價關系．在此等價關系下，包含集合A的類記作［A］l．類似地，若A～uB??A≤uB且B≤uA，則～u也是P0(Y)上的一個等價關系．在此等價關系下，包含集合A的類記作［A］u．

關于集合最優化問題極小集的定義，還可以作如下的表述:

2 與集合的序關系相關的性質探討

接下來給出集合的序關系及極小集的的一些基本性質．

命題1［6，9-10］關于上節定義的2個等價關系，有如下結論:

1)［A］l=［B］l??A+K=B+K;

2)［A］u=［B］u??A-K=B-K;

3)若［A］l=［A1］l，［B］l=［B1］l，則［A+B］l=［A1+B1］l;

4)若［A］u=［A1］u，［B］u=［B1］u，則［A+B］u=［A1+B1］u;

5)若［A］l=［B］l，則 A+int K=B+int K;

6)若［A］u=［B］u，則 A-int K=B-int K．

命題 2［9］

1)若 A?B+int K 且 B?A+int K，則［A］l=［B］l;

2)若 A?B-int K 且 B?A-int K，則［A］u=［B］u．

命題 3［10］

命題4

證明 只證明2)和4)，1)和3)的證明類似，故略．

由命題3和4可以直接得到推論1．

推論1

1)設［A］l=［B］l，若 B?lA，則 A?lB;

2)設［A］u=［B］u，若 B?uA，則 A?uB．

3 廣義凸性假設下的集合最優化問題(SPl)和(SPl(W))的解的基本性質

凸性在最優化中起著重要的作用，接下來將討論當目標函數和約束集合具有某種凸性時集合最優化問題最優解的性質．首先給出一些有關凸性的概念．

定義1 設M是凸集，集值映射F:M?X→2Y稱為K-凸映射，若對于任意的x，y∈M，λ∈(0，1)，

即

稱 F 為 K-嚴格凸的，若對于任意的 x，y∈M，x≠y，λ∈(0，1)，

即

記號K-WminF(x0)表示對集合F(x0)求向量最優化弱極小點，具體定義見文獻［12-14］．

命題 5 設 M是凸集，F:M→2Y是 K-嚴格凸映射．若 x0∈l-WminF，F(x0)是凸集，且K-WminF(x0)≠φ，則 x0∈l-minF．

由x0∈l-WminF得 F(x0)?lF(x)，于是有 F(x0)?lF(x0)，即 F(x0)?F(x0)+int K．再考慮到K-WminF(x0)≠φ，取 y0∈K-WminF(x0)，則存在 y∈F(x0)，k∈int K，使得 y0=y+k．這與 y0∈K-WminF(x0)矛盾．所以 x0∈l-minF．

推論2 設M是凸集，F是K-嚴格凸的凸值映射．若對于任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

證明 因為l-minF?l-WminF，再由條件及命題5知l-WminF?l-minF，所以結論成立．

命題6 設M是凸集，x0∈lL-WminF是F在M上的局部l-弱最優解．若存在x0的鄰域U使得U∩M是凸集且F在U∩M上是K-嚴格凸映射，F(x0)是凸集，且K-WminF(x0)≠φ，則x0∈lL-minF是局部l-最優解．

證明 若x0?lL-minF，則存在x1∈U∩M，使得F(x1)≤lF(x0)，但F(x0)≤/lF(x1)．由于F(x)在M上是K-嚴格凸的映射且F(x0)是凸集，取充分小的λ，令x=λx1+(1-λx0)，則 x∈U∩M，于是

由x0∈lL-WminF及x∈U∩M得F(x0)?lF(x)，于是F(x0)?lF(x0)．再由條件 K-WminF(x0)≠φ，得到矛盾．命題6證畢．

命題7 設M是凸集，x0是F在M上的局部l-最優解．如果F是K-嚴格凸的，F(x0)為凸集，且K-WminF(x0)≠φ，則x0是F在M上的全局l-最優解．

證明 設 x0∈lL-minF．若 x0?l-minF，則存在 x1∈M，使得 F(x1)≤lF(x0)，［F(x1)］l≠［F(x0)］l．對x0的任意鄰域U，取充分小的λ，使得x=x0+λ(x1-x0)=λx1+(1-λ)x0∈U，由F的K-嚴格凸性及F(x0)是凸集得

由 x0∈lL-minF 得 F(x0)≤lF(x)，所以有 F(x0)≤lF(x)?lF(x0)，F(x0)?F(x0)+int K．由條件知K-WminF(x0)≠φ，取 y0∈K-WminF(x0)，存在 y∈F(x0)，k∈int K，使y0=y1+k．這與 y0∈K-WminF(x0)矛盾．命題7證畢．

推論3 設M是凸集，F是M上K-嚴格凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

證明 與推論2的證明類似，故略．

命題8 設M是凸集，x0∈lL-WminF是F在M上的局部l-弱最優解．如果F是K-凸的，F(x0)為凸集，K-WminF(x0)≠φ，則x0∈l-WminF是F在M上的全局l-弱最優解．

證明 設x0∈lL-WminF．若 x0?l-WminF，則存在 x1∈M，使得 F(x1)?lF(x0)，但 F(x0)?/lF(x1)，即［F(x1)］l≠［F(x0)］l．對于 x0的任意鄰域U，取充分小的 λ，使得 x=λx1+(1-λ)x0∈U，由于 F 是K-凸映射，F(x0)是凸集，故

由x0∈lL-minF推知F(x0)?lF(x)，得F(x0)?F(x0)+int K．由K-WminF(x0)≠φ，故可用類似于命題5的證明方法得到矛盾．命題8證畢．

推論4 設M是凸集，F是M上K-凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

證明 與推論2的證明類似，故略．

4 廣義凸性假設下的集合最優化問題(SPu)和(SPu(W))的解的基本性質

接下來討論與序關系≤u相關的集合最優化問題的解的性質，將得到弱最優解與最優解的關系及局部最優解和全局最優解的關系．

定義2［3］設M是凸集．稱集值映射F:M?X→2Y為u-凸映射，若對于任意的x，y∈M，λ∈(0，1)，有

即

稱 F 為 u-嚴格凸的，若對于任意的 x，y∈M，x≠y，λ∈(0，1)，有

即

在以下的命題中，記號K-WmaxF(x0)表示對集合F(x0)求向量最優化的弱極大點，具體定義見文獻［13］．

命題9 設M是凸集，F:M→2Y是u-嚴格凸映射．若x0∈u-WminF，F(x0)是凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則 x0∈u-minF．

證明 設x0∈u-WminF．若 x0?u-minF，則存在 x1∈M，使得 F(x1)≤uF(x0)，且［F(x0)］u≠

由x0∈u-WminF得 F(x0)?uF(x)，于是有 F(x0)?uF(x0)，即 F(x0)?F(x0)-int K．再考慮到K-WmaxF(x0)≠φ，取 y0∈K-WmaxF(x0)，則存在 y∈F(x0)，k∈int K，使得 y0=y-k．這與 y0∈K-WmaxF(x0)矛盾．所以 x0∈u-minF．

推論5 設M是凸集，F是u-嚴格凸的凸值映射．若對于任意的x∈M，K-WmaxF(x)≠φ，則

證明 因為u-minF?u-WminF，再由條件及命題9知u-WminF?u-minF，所以結論成立．

從如上過程可以看出，命題9及推論5的證明與命題5和推論2的證明非常類似，接下來幾個命題的證明也與相應命題的證明類似，故只給出命題，不加以證明．

命題10 設M是凸集，x0∈uL-WminF是F在M上的局部u-弱最優解．若存在x0的鄰域U使得U∩M是凸集且F在U∩M上是u-嚴格凸映射，F(x0)是凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則x0∈uL-minF是局部u-最優解．

命題11 設M是凸集，x0∈uL-minF是F在M上的局部最優解．如果F是u-嚴格凸的，F(x0)為凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則x0是F在M上的全局u-最優解．

推論6 設M是凸集，F是M上u-嚴格凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，則

命題12 設M是凸集，x0∈uL-WminF是F在M上的局部弱最優解．如果F是u-凸的，F(x0)為凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，則x0∈u-WminF是F在M上的全局弱最優解．

推論7 設M是凸集，F是M上u-凸的凸值映射．若對任意的x∈M，K-WmaxF(x)≠φ，則

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