一種Terminal滑模制導規律研究

張 旭，雷虎民，曾 華，朱良志

（1.空軍工程大學 導彈學院，陜西 三原713800；2.中國人民解放軍94211部隊，河南 商丘476000）

隨著空間技術的發展，彈道導彈、空間飛行器等空中目標的機動突防能力越來越強，對各國安全構成了嚴重的威脅[1，2].基于滑模變結構控制理論的滑模變結構制導律因其設計簡單、易于工程實現，同時具有對外界干擾和系統不確定性的魯棒性，成為制導律研究的熱點.但是，目前大多數變結構制導律一般選用線性滑模面，無論如何，狀態跟蹤誤差都不會在有限時間內收斂到0，不能很好地適用于動能攔截器“趨零脫靶量”精確制導能力的要求[3]，因此，迫切需要研究使視線角速率在有限時間內收斂到0的高精度制導律.

近年來，為了解決視線角速率快速收斂到0的問題，一些學者提出了Terminal滑模控制策略[4，5]，即在滑動超平面的設計中引入了非線性函數，構造非線性Terminal滑模面，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時間內收斂到0.

文獻[6]設計了一種基于零控攔截的EKV末段制導律，在對常規彈道類目標進行逆軌攔截時能夠取得較好的效果，但是對于大機動目標，其所設計的擴展比例導引律就會產生很大的脫靶量.文獻[7]提出了制導系統有限時間收斂的充分條件和一種形式簡潔的有限時間收斂變結構導引規律，但是該導引律只能保證視線角速率在末制導結束前收斂到0，不能使視線角速率在末制導開始后短時間內收斂到0.

針對高速度、大機動目標，本文將Terminal滑模控制策略引入到制導律設計中，通過構造非線性滑模超平面，設計了一種能夠使視線角速率在末制導開始后短時間內收斂到0的高性能制導律，并與比例導引法、經典變結構制導律、全局Terminal滑模制導律進行了詳細的分析比較，說明了所設計制導律的優越性能.

1 導引段的相對運動方程

攔截器與目標的相對運動如圖1所示，圖中，IxI、IyI、IzI為平行于慣性參考坐標系的三個坐標軸方向；T為目標，IT為視線，r為導彈與目標的相對距離，IxLyLzL為視線坐標系，θL為視線傾角，φL為視線偏角，θI和φI分別為攔截器的彈道傾角和彈道偏角，θT和φT分別為目標的彈道傾角和彈道偏角.

圖1 攔截器－目標運動學關系

為了研究導引規律，末制導過程中的相對運動可以解耦成縱向平面IxLyL內的運動和側向平面IxLzL內的運動.在某一時間區間 Δt內，ΔxL、ΔyL、ΔzL分別為xL、yL、zL的增量.

本文主要針對動能攔截器縱向平面內的制導律進行研究，故給出縱向平面內的相對運動學方程.設在Δt內，視線傾角的增量為ΔθL，則

式中，r（t）為動能攔截器與目標在縱向平面內的相對距離，ΔyL（t）為 Δt時間內IyL方向上的相對位移.若時間區間Δt足夠小，則ΔθL（t）是一個很小的量.因此有：

將式（2）對時間t進行微分，可得：

把 ΔyL（t）＝r（t）ΔθL（t）代入式（3），可得：

把式（4）等號兩邊對時間t再微分一次，可得：

式中，

aIy（t）和aTy（t）分別為動能攔截器和目標機動加速度在IyL方向上的分量.

為了便于設計制導律，取狀態變量x1＝ΔθL（t），，那么由式（7）可得縱向平面內相對運動的狀態方程為

干擾量為

設D（t）為干擾量的界，則｜δf（t）｜≤D（t）.

2 基于Terminal滑模的制導律設計

2.1 非線性滑模超平面設計

設期望狀態Xd＝（x1dx2d）T＝（x1d1d）T，通過設計Terminal滑模控制律，使系統狀態X＝（x1x2）T在有限時間內實現對期望狀態Xd的跟蹤.

定義誤差向量為

式中，e＝x1－x1d.由于在制導律設計過程中，期望ΔθL（t）和（t）趨向于0，故選取Xd＝（0 0）T，則

非線性滑模面方程設計為

式中，C＝（C1C2），C1、C2為正的常數；W（t）＝CP（t），P（t）＝ （p（t）（t））T，p（t）滿足如下假設：p（t）：R＋→R，p（t）∈Cn[0，∞），p（t）、（t）∈L∞.對于某個常數T＞0，p（t）是在時間段[0，T]上有界的，并且p（0）＝e（0）（0）＝（0）.Cn[0，∞）表示定義在[0，∞）上的所有二階可微連續函數.

選取非線性函數p（t）為

式中，參數ajl可通過上述假設中的條件獲得.

2.2 制導律設計及穩定性證明

式（12）對t求微分，可得：

將式（8）、式（11）代入式（14），可得：

設計Lyapunov函數為

令u＝aIy，對上式進行微分，可得：

為使式（17）的取值小于0，可將制導律設計為

式中，K為正的常數.

將式（18）代入，可得：

從而證明了所設計的控制系統是全局漸近穩定的.

根據p（t）滿足的條件和 Terminal滑模面方程（12），可得：

即系統的初始狀態已經在滑模面上了，消除了滑模控制的到達階段，確保閉環系統的全局穩定性和魯棒性.

在末制導過程中（t）變化不大，故（t）≈0；且在實際應用中，干擾δf（t）可能無法得到，考慮變結構控制的魯棒性，在式（18）中將干擾項略去；令，從而得到簡化的制導律為

由于系統具有全局魯棒性，即S（X，t）＝0或E（t）＝P（t）.故通過選擇 Terminal滑模面中的函數P（t）＝（00）T，實現E（t）＝（00）T，從而保證跟蹤誤差在有限時間T內收斂至0.

2.3 基于準滑模控制的Terminal滑模制導設律計

抖振問題是影響滑動模態控制廣泛應用的主要障礙，引起抖振的根本原因在于開關函數的不連續性，為此本文將繼電特性連續化的方法引入到制導律設計當中，即在邊界層外采用正常的滑模控制，在邊界層內采用連續狀態反饋控制，從而避免或削弱抖振的影響，實現了準滑動模態控制.

在式（22）中，用連續函數Θ（S）代替符號函數sgn（S）.Θ（S）的表達式為

2.4 非線性函數p（t）及其導數的計算公式推導

根據式（13），p（t）可寫為

式中，δ0、δ1為很小的正數.

由式（22）和式（23）可得縱向平面內的Terminal滑模制導律為

p（t）的一階導數和二階導數可通過對式（25）分別求一階導數和二階導數得到.

根據p（t）滿足的條件，可知，當t＝T時，p（t）＝0；將其代入式（25），經化簡，可得：

由于e（0）、（0）、（0）不恒為0，則p（T）＝0成立的必要條件為

同理，由t＝T時（t）＝0，得（t）＝0的必要條件為

解方程組（27）～方程組（29）可得p（t）的系數矩陣，將其代入式（13），可得p（t）的表達式為

3 仿真結果分析

以動能攔截器大氣層外攔截為例，兩飛行器在慣性坐標系下進入末制導時的狀態參數：攔截器的位置為（0，9.5km），初始彈道傾角為0.034 9rad，速度為2 000m/s；目標的位置為（35km，10km），初始彈道傾角為3.141 6rad，速度為2 500m/s.

在本文的空間攔截實例仿真中，導彈的最大允許過載為3g，不考慮攔截器的控制系統延遲；導引頭的采樣周期和指令形成周期在開始攔截時為10ms，當攔截器和目標的距離小于300m時，改為1ms，這樣既保證了仿真速度，又保證了攔截精度；攔截器的制導盲區設置為100 m，即當攔截器與目標的距離小于該距離時，軌控發動機關機，制導指令為0，攔截器依靠慣性向目標飛去；目標為逃避攔截做沿著飛行彈道法向的正弦加速機動：

式中，aTmax為目標最大機動加速度.TVSG的參數取值為C＝（5 1）T，K＝2，δ0＝0.01，δ1＝2.0，T＝0.1s.

在仿真中還將Terminal滑模制導律（TVSG）的仿真結果與真比例導引（TPN）、經典滑模制導律（CVSG）、全局 Terminal滑模制導律（GTVSG）進行比較.

其中，TPN的形式為

式中，導引系數N＝3.

CVSG的形式如下：

式中，k＝2，ε＝10，δ＝0.001.

GTVSG 的形式[8]如下：

式中，α0＝2，β0＝0.1，p0＝7，q0＝5，p＝11，q＝9，

考慮攔截過程中動能攔截器為一階慣性環節，即

式中，aIy為攔截彈指令加速度，aI為攔截彈加速度，τ＝0.01s，s為拉氏變換中的因子.

在攔截器飛行過程中的脫靶量用Δ表示，消耗的能量使用如下公式進行解算：

式中，t0為攔截器發射初始時刻，tf為攔截結束時刻.

仿真結果主要如圖2～圖5、表1～表3所示.其中，圖2～圖5是aTmax＝2g情況下的仿真結果，表1～表3為4種制導律在目標機動加速度分別為g、2g、3g時的仿真結果.

圖2 彈道軌跡

圖3 視線角速率隨時間的變化曲線

圖4 視線角速率局部放大圖

圖5 指令加速度隨時間的變化曲線

表1 aTmax＝g時的不同制導律的制導性能

表2 aTmax＝2g時的不同制導律的制導性能

表3 aTmax＝3g時的不同制導律的制導性能

由圖2及表2可知，當aTmax＝2g時，4種制導律均命中目標，其中TPN和CVSG的脫靶量較大；同時，TPN和CVSG 2種制導律的彈道軌跡明顯高于2種Terminal滑模制導律，這主要是由于TPN和CVSG不能使視線角速率快速收斂到0造成的.

圖3、圖4是4種制導律的視線角速率變化曲線及其局部放大圖.由圖3可知，TPN的視線角速率在攔截末端迅速發散，這也是導致其脫靶較大的主要原因.由圖4的局部放大圖可以看出，在整個末制導過程中，TVSG和GTVSG的視線角速率在末制導剛開始就收斂到0并且一直保持不變，直到最后一刻才稍稍增大；而TPN和CVSG從t＝1s時就開始增大，直至最后發散；同時，TVSG的視線角速率比GTVSG能更有效地收斂到0，這是因為GTVSG中缺少與視線角速率收斂時間相關的參數，而TVSG中的非線性函數p（t）包含這個參數，故可以通過對其進行設計來改善視線角速率的趨零特性.Terminal滑模的另外一個重要特點就是在導引的開始階段指令加速度比較大，之后變得比較小且變化平緩.由圖5可知，在前1.8s，TVSG與GTVSG指令加速度較大且趨于飽和，其原因是系統為了使滑模面迅速收斂到0，必須使用較大的控制量.這種制導律的優點是在末制導的初始段，它能夠充分利用攔截器的機動能力，使制導律的滑模面快速收斂到0，之后制導指令變得較小，有利于攔截器以較小的脫靶量命中目標；從圖5還可知，TPN的指令加速度在最后0.15s達到了飽和，CVSG在最后0.13s也達到了飽和，從而引起了較大的脫靶量.

雖然Terminal滑模在導引初始段制導指令比較大，但其消耗的總能量卻比TPN和CVSG少得多.其中TPN和CVSG消耗的能量最多，分別為1 396.040m2/s3和1 281.066m2/s3，而 GTVSG 比較少，為763.465 6m2/s3，TVSG 消耗的能量最少，為751.537 8m2/s3.

由表1～表3可以看出，隨著目標機動加速度的不斷增大，TPN、CVSG先后出現了脫靶，而GTVSG和TVSG則始終能夠以較小的脫靶量命中目標；不僅如此，隨著目標機動加速度的不斷增大，4種制導律的攔截時間和能量消耗也有所增加，但GTVSG和TVSG一直保持在比較低的狀態.然而，無論目標以何種加速度逃逸，TVSG總能夠以最小的脫靶量、最少的攔截時間和能量消耗命中目標.

4 結束語

本文針對動能攔截器攔截空間高速度、大機動目標的問題，結合其可用過載小、燃料受限、對脫靶量要求高等特點，基于Terminal滑模控制策略，構造Terminal滑模超平面，設計了縱向平面內的Terminal滑模制導律.該制導律可以使視線角速率在有限時間內趨向于0，從而保證了其較小的脫靶量、攔截時間、能量消耗和魯棒性.通過與比例導引法和經典變結構制導律進行對比，說明Terminal滑模制導律的優越特性；由于全局Terminal滑模制導律與本文所設計的Terminal制導律均是基于有限時間收斂的思想，因此，二者在制導性能上有一些相似之處，但是通過仿真分析可以發現，本文所設計的Terminal滑模制導律具有更好的制導性能.

由于在制導律設計時忽略了攔截器姿態控制系統的誤差和延遲、軌控發動機的推力特性以及制導信息的獲取等因素，因此，在制導律設計時考慮攔截器的姿軌控特性以及制導信息的獲取方法將是下一步研究的主要方向.

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