一種用于彈道導(dǎo)彈助推段攔截的最優(yōu)制導(dǎo)律

肖增博，雷虎民，葉繼坤，宋 龍，徐劍蕓

（1.空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原713800；2.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng)471009）

作為彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)中不可缺少的一環(huán)，助推段防御越來(lái)越受到重視.相對(duì)于地基、海基助推段攔截以及機(jī)載激光器助推段攔截，空基攔截彈助推段攔截的優(yōu)勢(shì)更為明顯[1，2]：攔截速度快、機(jī)動(dòng)性好；發(fā)射平臺(tái)兼容性強(qiáng)；系統(tǒng)部署區(qū)域廣泛；攔截高度較大，效率更高；發(fā)展周期短，技術(shù)開(kāi)發(fā)成本低.

在助推階段進(jìn)行攔截，攔截彈不僅要以直接碰撞方式攔截到目標(biāo)，而且要有足夠的動(dòng)能以便摧毀目標(biāo)[3]，因此，精確制導(dǎo)規(guī)律的設(shè)計(jì)是助推段攔截能否實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵[4].針對(duì)空基助推段攔截問(wèn)題，目前已有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)彈道形成制導(dǎo)律[5]和最優(yōu)制導(dǎo)律[6]進(jìn)行了研究，取得了一定成果.而在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中引入微分對(duì)策理論，可以根據(jù)戰(zhàn)技指標(biāo)要求，構(gòu)造性能指標(biāo)泛函，求得最優(yōu)制導(dǎo)律，并充分考慮目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能力，使目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力靈活運(yùn)用的潛在作用最小[7].針對(duì)彈道導(dǎo)彈助推段攔截的性能要求，采用微分對(duì)策理論設(shè)計(jì)攔截彈制導(dǎo)律無(wú)疑是一種更有效的方法.

本文在文獻(xiàn)[5，6]的基礎(chǔ)上，建立了空基攔截彈和彈道目標(biāo)的線性二次型微分對(duì)策模型，通過(guò)分解最優(yōu)控制指令，將攔截彈制導(dǎo)過(guò)程分為彈道形成制導(dǎo)段和末制導(dǎo)段，并針對(duì)有先驗(yàn)信息和無(wú)先驗(yàn)信息條件下的攔截特點(diǎn)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的助推段攔截最優(yōu)制導(dǎo)律，仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性.

1 攔截彈和目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

攔截彈與彈道導(dǎo)彈目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為[6]

式中，rx，ry，rz為目標(biāo)相對(duì)于攔截彈的位置矢量在慣性坐標(biāo)系Oxyz各軸上的投影分量；vx，vy，vz為目標(biāo)相對(duì)于攔截彈的速度矢量在慣性坐標(biāo)系各軸上的投影分量，amx，amy，amz為攔截彈加速度矢量在慣性坐標(biāo)系各軸上的投影分量；atx，aty，atz為目標(biāo)加速度矢量在慣性坐標(biāo)系各軸上的投影分量.

將攔截彈彈體動(dòng)態(tài)特性考慮為一階慣性環(huán)節(jié)，以X＝（rxryrzvxvyvzamxamyamz）T為狀態(tài)變量，u＝（amxcamycamzc）T為控制變量（攔截彈制導(dǎo)指令），則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

由狀態(tài)方程（1）可以看出，在慣性坐標(biāo)系中3個(gè)軸向的狀態(tài)方程是相互獨(dú)立的，可以分開(kāi)求解.為使問(wèn)題分析簡(jiǎn)單，本文僅研究攔截彈在Oy軸向的制導(dǎo)指令.以X＝（x1x2x3）＝（ryvyamy）T為狀態(tài)變量，u＝amyc為控制變量，系統(tǒng)狀態(tài)方程形式不變，所不同的是，為攔截彈時(shí)間常數(shù).同文獻(xiàn)[6]相比，式（1）考慮了攔截彈彈體動(dòng)態(tài)特性，使相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型更加合理.

2 線性二次型微分對(duì)策問(wèn)題及其求解

將攔截彈攔截目標(biāo)問(wèn)題視為一類(lèi)二人零和追逃微分對(duì)策問(wèn)題，其對(duì)抗模型可由如下系統(tǒng)狀態(tài)方程和性能指標(biāo)函數(shù)來(lái)表示.

狀態(tài)方程為

式中，w1＋w2＝w，w1為目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的確定項(xiàng)，w2為目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的不確定項(xiàng).

以終端脫靶量最小和能量最省建立性能指標(biāo)函數(shù)：

式中，t0為攔截初始時(shí)刻；tf為終端時(shí)刻；Xf＝X（tf），Pf＝P（tf），P為狀態(tài)約束矩陣；Q為彈道形成加權(quán)矩陣；R為控制加權(quán)矩陣；γ為懲罰系數(shù).攔截彈控制的目的是攔截結(jié)束時(shí)使J取最小可能的值，而目標(biāo)控制的目的則是使J取最大可能的值.

對(duì)于足夠大的γ，該微分對(duì)策問(wèn)題具有鞍點(diǎn)解，其攔截彈最優(yōu)控制指令u為

式中，P為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，滿足微分黎卡提方程：

而θ為如下微分方程的解：

式（4）可轉(zhuǎn)換為

式中，V＝P－1，ξ＝Vθ.

因此，最優(yōu)控制u表示為

只考慮黎卡提方程（3）的穩(wěn)態(tài)情況，即假定終止時(shí)間tf→∞，系統(tǒng)狀態(tài)漸近趨于0，P（t）趨向于常數(shù)矩陣，則（t）→O.下面對(duì)最優(yōu)控制u進(jìn)行分解[8].

假定u1（t）為如下最優(yōu)控制問(wèn)題的解：

性能指標(biāo)函數(shù)：

最優(yōu)控制指令u1為

式中，為如下微分黎卡提方程的解：

假定u2（t）為如下最優(yōu)控制問(wèn)題的解：

性能指標(biāo)函數(shù)為

式中，Wf＝Pf－，F(xiàn)＝A－（BR－1BT－γ－2DDT）.故最優(yōu)控制指令u2為

式中，W為如下黎卡提方程的解：

接下來(lái)，定義u3為

則由式（2）表示的最優(yōu)控制指令u可表示為

3 先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)律

彈道導(dǎo)彈推力主要由火箭發(fā)動(dòng)機(jī)和燃料類(lèi)型決定，且同一類(lèi)型導(dǎo)彈助推段推力相對(duì)固定，導(dǎo)彈按預(yù)定飛行程序飛行，因此通過(guò)預(yù)警系統(tǒng)對(duì)真實(shí)彈道與數(shù)據(jù)庫(kù)標(biāo)稱(chēng)彈道進(jìn)行匹配，可使得在對(duì)彈道目標(biāo)跟蹤的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)其類(lèi)型的識(shí)別[9]，從而對(duì)彈道目標(biāo)的飛行狀態(tài)做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)或估計(jì).而彈道目標(biāo)在探知攔截彈對(duì)其進(jìn)行攔截時(shí)，有可能附加軌道機(jī)動(dòng)以實(shí)現(xiàn)突防.因此，有必要研究先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)律，同時(shí)克服目標(biāo)逃逸機(jī)動(dòng)帶來(lái)的影響.

3.1 先驗(yàn)信息條件下的制導(dǎo)律

先驗(yàn)信息條件下的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中，w1表示正常飛行條件下彈道導(dǎo)彈助推段加速度，即對(duì)于攔截彈來(lái)說(shuō)，在整個(gè)攔截過(guò)程中可精確預(yù)測(cè)或估計(jì)出來(lái)；w2為彈道導(dǎo)彈逃逸加速度（如開(kāi)啟速燃發(fā)動(dòng)機(jī)以增大軸向過(guò)載、噪聲和不確定性干擾），對(duì)于攔截彈來(lái)說(shuō)是不可知的，且

性能指標(biāo)函數(shù)為

該最優(yōu)控制問(wèn)題的黎卡提方程為

最優(yōu)制導(dǎo)指令為如下形式：

利用式（5），最優(yōu)制導(dǎo)指令可分解為

式中，u1需要如下黎卡提方程的解：

u2需要如下黎卡提方程的解W：

式（9）可轉(zhuǎn)化為如下的Lyapunov微分方程：

式中，S＝W－1.將式（10）重寫(xiě)為

對(duì)式（11）求解，即可推導(dǎo)得到黎卡提方程（9）的解.

u3需要如下線性時(shí)變微分方程的解：

式中，θ＝Pξ，P＝＋W.

在Q1≠0，Q2≠0的情況下，基于最小化性能指標(biāo)（7）所求得的最優(yōu)制導(dǎo)指令在很大程度上影響著攔截彈的運(yùn)動(dòng)軌跡.因此，可稱(chēng)該制導(dǎo)律為彈道形成制導(dǎo)律.

3.2 基于控制分解的制導(dǎo)策略

攔截彈在整個(gè)攔截過(guò)程中，需經(jīng)歷中制導(dǎo)（載機(jī)提供數(shù)據(jù)鏈指令修正信號(hào)）和末制導(dǎo)2個(gè)階段.現(xiàn)代空射導(dǎo)彈的發(fā)展趨向于在中制導(dǎo)段和末制導(dǎo)段盡可能采用相同或相近的控制律，從而可靠而且順利地完成轉(zhuǎn)接段.根據(jù)最優(yōu)控制的分解形式，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下，可采用如下的制導(dǎo)策略：

式中，Tsw為中末制導(dǎo)切換時(shí)間，切換規(guī)則采用文獻(xiàn)[10]所提的方法.在此策略下，攔截彈末制導(dǎo)段順利地從彈道形成制導(dǎo)段（中制導(dǎo)段）中分離出來(lái).該制導(dǎo)策略具有如下特點(diǎn)：制導(dǎo)指令u1的求解需要式（8）的解，而為常數(shù)矩陣，故u1不依賴(lài)于剩余飛行時(shí)間tgo和目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度；另一方面，u2和u3的計(jì)算需要求解黎卡提方程式（9）、線性微分方程（12），因此，必須對(duì)剩余飛行時(shí)間tgo和目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度做出連續(xù)估計(jì).增大中制導(dǎo)比例是空射導(dǎo)彈制導(dǎo)技術(shù)的主要發(fā)展趨勢(shì).在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)適當(dāng)選擇時(shí)間節(jié)點(diǎn)Tsw，從而在減少對(duì)導(dǎo)引頭性能需求的同時(shí)，最小化對(duì)脫靶量的影響.

4 無(wú)先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)律

對(duì)助推段彈道目標(biāo)準(zhǔn)確建模并進(jìn)行識(shí)別是上述制導(dǎo)律得以實(shí)現(xiàn)的基本條件.然而在助推階段，彈道導(dǎo)彈加速度較大，并且變化快，給目標(biāo)識(shí)別與跟蹤帶來(lái)困難；攔截反應(yīng)時(shí)間短，彈道導(dǎo)彈助推段持續(xù)時(shí)間僅為幾min（甚至幾十s），而且攔截彈必須靠近彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)進(jìn)行攔截.此時(shí)，預(yù)警系統(tǒng)有可能無(wú)法或沒(méi)有時(shí)間對(duì)目標(biāo)進(jìn)行識(shí)別匹配.因此，有必要研究無(wú)先驗(yàn)信息條件下的制導(dǎo)規(guī)律.

仍采用如式（6）、式（7）所示的系統(tǒng)狀態(tài)方程和性能指標(biāo)函數(shù).不同的是，w1和w2分別表示目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)值、估計(jì)誤差.對(duì)于攔截彈來(lái)說(shuō)，在整個(gè)攔截過(guò)程中w1可得，而w2是不可知的，故w2使性能指標(biāo)J最大化.

此時(shí)，最優(yōu)制導(dǎo)指令u為

式中，

可以看出，最優(yōu)制導(dǎo)指令u需要目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)值w1.另外，u不僅對(duì)目標(biāo)加速度估計(jì)誤差做出補(bǔ)償，而且對(duì)未知的目標(biāo)加速度趨勢(shì)做出補(bǔ)償.

為便于工程應(yīng)用，假設(shè)濾波器對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)誤差已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，那么在此后的任意時(shí)刻tk可使：

故而

在無(wú)目標(biāo)機(jī)動(dòng)先驗(yàn)信息的條件下，需要制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)具有魯棒性.在攔截過(guò)程中，彈道形成系數(shù)Q1和Q2影響著攔截彈和目標(biāo)的相對(duì)距離和相對(duì)速度，選擇較大的彈道形成系數(shù)可提高攔截彈的快速跟蹤能力，增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的魯棒性；但是，這將會(huì)增大攔截彈的控制能量.因此，將彈道形成系數(shù)選取為

式中，Qf1、Qf2為彈道形成系數(shù)的終值，且τ1、τ2為常數(shù).

該制導(dǎo)律具有如下優(yōu)點(diǎn)：消除初始航向角誤差對(duì)制導(dǎo)性能的影響；不需要額外的控制能量消耗；具有較強(qiáng)的魯棒性，尤其是在攔截末端，考慮到控制指令延遲，攔截彈沒(méi)有足夠的時(shí)間對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)做出反應(yīng).

根據(jù)如下近似，可得到式（13）、式（14）的實(shí)時(shí)解：

同樣，可對(duì)無(wú)先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)指令u進(jìn)行控制分解，在此不再贅述.由于彈道形成制導(dǎo)段不需要目標(biāo)加速度信息，所以2種信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)指令表達(dá)式相同.而在末制導(dǎo)段，通過(guò)對(duì)估計(jì)誤差的補(bǔ)償，該制導(dǎo)策略可顯著提高攔截彈的制導(dǎo)性能.

5 仿真算例

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的正確性和有效性，參考某型空空導(dǎo)彈數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證.仿真中用到的彈道目標(biāo)為某一級(jí)中近程彈道導(dǎo)彈[11]，其助推段的垂直平面飛行軌跡及加速度特性如圖1所示.圖中，atx1、aty1分別為彈道導(dǎo)彈在彈體坐標(biāo)系O1x1y1z1上的軸向、側(cè)向加速度.

圖1 彈道導(dǎo)彈助推段飛行軌跡及加速度特性曲線

假定載機(jī)初始位置坐標(biāo)為（0，0，0），以勻速600m/s進(jìn)行巡航.攔截彈在距離目標(biāo)15km時(shí)進(jìn)行中末制導(dǎo)指令切換.

仿真情形1：假定彈道導(dǎo)彈發(fā)射位置坐標(biāo)為（48.245km，－10km，8.507km），載機(jī)初始航跡傾角和航跡偏角分別為5.7°與5°.彈道導(dǎo)彈一經(jīng)發(fā)射便被預(yù)警系統(tǒng)探測(cè)到，識(shí)別系統(tǒng)經(jīng)30s后確定彈道目標(biāo)類(lèi)型，同時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)匹配并發(fā)射攔截彈，此時(shí)宜采用先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)規(guī)律，制導(dǎo)參數(shù)σ1＝10 000，σ2＝0，γ＝1 000，Q1＝1，Q2＝0.攔截彈初始彈道傾角和彈道偏角分別為－0.4°與8.9°.仿真結(jié)果如圖2、圖3所示.圖中，ε、β分別為俯仰、偏航通道的視線角速率.

仿真情形2：假定彈道導(dǎo)彈發(fā)射位置坐標(biāo)為（38.142km，－10km，6.725km），載機(jī)初始航跡傾角和航跡偏角分別為14.5°與5°.彈道導(dǎo)彈在發(fā)射35s后被預(yù)警系統(tǒng)探測(cè)到，此時(shí)必須立即發(fā)射攔截彈，識(shí)別系統(tǒng)已沒(méi)有時(shí)間判定目標(biāo)類(lèi)型，故宜采用無(wú)先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)規(guī)律，制導(dǎo)參數(shù)σ1＝100 000，σ2＝0，γ＝25，Qf1＝Qf2＝100 000，τ1＝τ2＝0.25.攔截彈初始彈道傾角和彈道偏角分別為9°與12.8°.應(yīng)用卡爾曼濾波對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)[10]，且取tk＝49s.仿真結(jié)果如圖4、圖5所示.

圖2 有先驗(yàn)信息條件下的攔截彈攔截軌跡

圖3 有先驗(yàn)信息條件下的視線角速率變化

圖4 無(wú)先驗(yàn)信息條件下的攔截彈攔截軌跡

圖5 無(wú)先驗(yàn)信息條件下的視線角速率變化

由仿真過(guò)程和結(jié)果可知：

①有先驗(yàn)信息的情況下，攔截彈脫靶量為0.034m；無(wú)先驗(yàn)信息的條件下，攔截彈脫靶量為0.059m.在2種制導(dǎo)方式下，均達(dá)到了以直接碰撞方式攔截目標(biāo)的目的.

②在本文制導(dǎo)律導(dǎo)引下，攔截彈彈道在起始時(shí)刻較為彎曲，在制導(dǎo)末端較為平直，這對(duì)于減小攔截彈的脫靶量具有重要意義.

③彈目視線角速率趨近于0，可以確保完成高精度的目標(biāo)攔截.在對(duì)初始航向角誤差做出修正之后，偏航通道的視線角速率曲線要比俯仰通道平緩，這是由于彈道目標(biāo)在助推段快速爬升的緣故.

④在仿真情形2中，盡管濾波器對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)誤差達(dá)到穩(wěn)態(tài)后就停止了工作，但攔截彈仍擊中目標(biāo)，可見(jiàn)該制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)變化及濾波器估計(jì)誤差具有較強(qiáng)的魯棒性.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)彈道導(dǎo)彈助推段飛行中加速度大、攔截反應(yīng)時(shí)間短的特點(diǎn)，分別設(shè)計(jì)了攔截彈在有先驗(yàn)信息條件下和無(wú)先驗(yàn)信息條件下的最優(yōu)制導(dǎo)律，并將攔截彈制導(dǎo)過(guò)程分為彈道形成制導(dǎo)段和末制導(dǎo)段.有先驗(yàn)信息條件下的制導(dǎo)律充分考慮了目標(biāo)的逃逸機(jī)動(dòng)能力，并使其潛在作用最小；無(wú)先驗(yàn)信息條件下的制導(dǎo)律充分考慮了目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)誤差，并使其潛在作用最小.仿真結(jié)果表明，所提制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)了直接碰撞殺傷目標(biāo)，具有較強(qiáng)的魯棒性.研究成果對(duì)發(fā)展空基攔截彈攔截助推段彈道導(dǎo)彈的制導(dǎo)技術(shù)具有一定的理論指導(dǎo)和實(shí)用參考價(jià)值.

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