關(guān)于代數(shù)整數(shù)與代數(shù)數(shù)的一個(gè)注記

徐麗媛，陳良云

（1.白城師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 白城，137000；

2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

·研究簡(jiǎn)報(bào)·

關(guān)于代數(shù)整數(shù)與代數(shù)數(shù)的一個(gè)注記

徐麗媛1，陳良云2

（1.白城師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 白城，137000；

2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

證明了代數(shù)數(shù)是有理數(shù)系數(shù)方陣的特征值，代數(shù)整數(shù)是整數(shù)系數(shù)方陣的特征值.由此出發(fā)，完全用線(xiàn)性代數(shù)與矩陣計(jì)算的方法簡(jiǎn)潔地證明了代數(shù)整數(shù)對(duì)加減法和乘法封閉，從而構(gòu)成一個(gè)環(huán)（代數(shù)整數(shù)環(huán)）；所有代數(shù)數(shù)對(duì)加減乘除封閉，從而構(gòu)成一個(gè)域（代數(shù)數(shù)域）.

代數(shù)數(shù)；代數(shù)整數(shù)；特征值

代數(shù)整數(shù)對(duì)加減法和乘法封閉，從而構(gòu)成一個(gè)環(huán)，這是代數(shù)史上一個(gè)重要的結(jié)論，它的證明要用到模的理論［1－4］.而本文完全用高等代數(shù)的方法，更直觀明了地證明了這一結(jié)論.

在本文中，約定以下符號(hào)：

C表示復(fù)數(shù)域，C［x］表示以復(fù)數(shù)為系數(shù)的x的多項(xiàng)式的集合；

R表示實(shí)數(shù)域，R［x］表示以實(shí)數(shù)為系數(shù)的x的多項(xiàng)式的集合；

Z表示整數(shù)環(huán)，Z［x］表示以整數(shù)為系數(shù)的x的多項(xiàng)式的集合；

Q表示有理數(shù)域，Q［x］表示以有理數(shù)為系數(shù)的x的多項(xiàng)式的集合；

Zm×n表示元素在Z中的m行，n列的矩陣的集合；

In表示n階單位矩陣.

設(shè)α是一個(gè)復(fù)數(shù)，如果α是一個(gè)有理系數(shù)的多項(xiàng)式ɡ（x）的零點(diǎn)，即ɡ（α）＝0.那么以α為零點(diǎn)的次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的有理系數(shù)多項(xiàng)式f（x）是Q上的不可約多項(xiàng)式，而且f（x）｜ɡ（x）.

由h（x）是首一多項(xiàng)式，故F（x）與－F（x）也有一個(gè)是首一多項(xiàng)式，故f（x）＝±F（x）∈Z［x］.即α是代數(shù)整數(shù).

例2 任何單位根均為代數(shù)整數(shù).

這是因?yàn)閚次單位根ξ是首一多項(xiàng)式xn－1的零點(diǎn).

定理2α是代數(shù)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)α是Q上某個(gè)方陣A的特征值.α是代數(shù)整數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)α是Z上某個(gè)方陣A的特征值.

證明 由于A的特征多項(xiàng)式f（λ）＝det（λIn－A）是首一多項(xiàng)式.

當(dāng)A∈Qn×n時(shí)，f（λ）∈Q［λ］.于是A的特征值是代數(shù)數(shù).

當(dāng)A∈Zn×n時(shí)，f（λ）∈Z［λ］.于是A的特征值是代數(shù)整數(shù).

反之，設(shè)

故α是A的特征值.因此定理2成立.

定理3C中代數(shù)整數(shù)構(gòu)成的集合對(duì)加法、減法與乘法封閉（即構(gòu)成環(huán)）；所有的代數(shù)數(shù)構(gòu)成一個(gè)域，任何代數(shù)數(shù)是代數(shù)整數(shù)的商.

證明代數(shù)數(shù)的集合，代數(shù)整數(shù)的集合都是非空的，下面證明對(duì)加法與乘法封閉.

設(shè)α，β是兩個(gè)代數(shù)數(shù)（代數(shù)整數(shù)）.由定理2，可假定它們分別為Q（Z）上方陣

注上面定理也可敘述為：所有代數(shù)數(shù)構(gòu)成一個(gè)域，稱(chēng)為代數(shù)數(shù)域；所有代數(shù)整數(shù)構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)為代數(shù)整數(shù)環(huán).

［1］ 馮克勤.代數(shù)數(shù)論入門(mén)［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1988：18.

［2］ 宋天光.交換代數(shù)導(dǎo)引［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2002：127.

［3］ 孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何［M］.第2版.北京：科學(xué)出版社，2004：116-120，237-244.

［4］ 吳顯峰，陳良云.Engel定理及其應(yīng)用［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，32（4）：5-8.

A note about algebric integer and algebra number

XU Li-yuang1，CHENG Liang－yun2

（1.School of Mathematics，Baicheng Normal College，Baicheng 137000，China；
2.School of Mathematics and Staistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，Chian）

In this paper，it is proved that an algebraic number can be seen as an eigenvalue of a matrix over rational field，and an algebraic integer can be seen as an eigenvalue of a matrix over integral ring.Then the important conclusion in mathematics that all algebraic integers form a ring and the field of its fractions is an algebraic number field is directly and clearly proved，in history the prove of this conclusion is much difficult for people to understand.

algebraic number；algebraic integer；eigenvalu

O 110·21

110.21

A

1000-1832（2011）03-0151-03

2010-01-10

吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20101564）；吉林省教育廳科研項(xiàng)目（吉教合字2010第128號(hào)）.

徐麗媛（1978—），女，碩士，講師，主要從事李代數(shù)、李超代數(shù)研究；陳良云（1974—），男，博士，副教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事模李超代數(shù)理論與應(yīng)用研究.

陶 理）