三階奇異常微分方程超定邊值問題

李兆興，郭 爽，劉國清，趙 微

（大慶師范學院數學科學學院，黑龍江 大慶 163712）

三階奇異常微分方程超定邊值問題

李兆興，郭 爽，劉國清，趙 微

（大慶師范學院數學科學學院，黑龍江 大慶 163712）

研究了三階奇異常微分方程超定邊值問題解的存在性，通過將邊值問題轉化為與它等價的初值問題，應用不動點定理得到了解的存在性，推廣和改進了已有的結果，并給出一個顯解.

微分方程；奇異；超定邊值問題

0 引言

在文獻［1］中，作者研究了如下形式的超定三階邊值問題：

其中：f（y）＝（1－y）λg（y），λ＞0是給定常數，g（y）∈C（0，1］是連續的不增函數.給出解的存在性.

一般來講，超定三階邊值問題出現在滴水和流淌問題研究中，f（y）在y＝0是奇異的.文獻［2］給出不同情形，其中最簡單和最重要的情形是f（y）＝（1－y）y－3.詳見參考文獻［2-4］.

在本文中，假設下列條件成立：

（H）f（t）＝（1－t）λg（t），t∈（0，1）且f（t）≡0，t∈［1，＋∞），λ＞－1／2是給定的常數，g（t）是定義在（0，1）上的可測函數，存在不增函數θ（t）∈C1（0，1］，對t∈（0，1），滿足0＜θ（1）≤g（t）≤θ（t）.

假設（H）允許但不要求g（t）在t＝0處有奇性.例如函數g（t）＝exp｛t－b｝，b＞0，滿足（H）.我們將證明，若（H）成立，則問題（1）的解存在.

如果函數y（x）∈C［0，＋∞）∩C2（0，＋∞）滿足：

則稱其為超定邊值問題（1）的解.

為研究邊值問題（1），考慮與（1）等價的初值問題.設y（x）是超定三階邊值問題（1）的解，且對x＞0，y′（x）＞0，則y（x）有定義在［0，1）上的反函數σ（t），且σ（0）＝0.設

這表明邊值問題（1）可以形式地轉換成（2）.事實上，能夠證明超定邊值問題（1）與（2）是等價的.

1 奇異初值問題

這表明，對任意給定的ε∈（0，1），Φ＊（X）∩C［ε，1］是C［ε，1］的緊子集.由Schauder不動點定理，可得映射Φ＊在C［ε，1］內至少有一個不動定點.由ε的任意性可知，在X內有一個不動點.

設w（t）是Φ＊在X內的不動點，由Φ和Φ＊的定義，據（7）式可得函數

是（2）的一個正解，且（3）式成立.定理1證畢.

定理2的證明當g（t）≡1時，取θ（t）≡1，由（3）式即得.

2 超定邊值問題

首先，引入下列定義：

定義1 設u（t）∈C［0，1）嚴格遞增，u（0）＝0，u（1－0）＝＋∞，則x＝u（t）有反函數t＝η（x）∈C［0，＋∞），η（0）＝0，η（＋∞）＝1，稱η（x）為u（t）的反函數.

定義2設u（t）∈C［0，1］嚴格遞增，u（0）＝0，u（1）＝0，則x＝u（t）有反函數t＝η（x）∈C［0，b］，η（0）＝0，η（b）＝1，對x≥b定義η（x）≡1.則η（x）在［0，＋∞）上連續，稱其為u（t）的廣義反函數.

設w（t）是初值問題（2）的一個正解，由w（t）的定義和定理1，可得

因為y（0）＝0，y（＋∞）＝1，表明y（x）∈C［0，＋∞）∩C2（0，＋∞）是問題（1）的解.

只要λ＞0，g（t）在（0，1）上連續，顯然y?（x）∈C（0，＋∞）.

根據ξ（x）的定義，由（1）和（6）式可得ξ（x）.當g（t）≡1時，取θ（t）≡1.由（8）—（10）式，可知函數ξ（x）顯然是問題（1）的解.

概括上述結果，得到下面兩個定理.

［1］ WANG J，ZHANG Z.A boundary value problem from draining and coating flows involving a third-order ordinary differential equation［J］.ZAMP，1998，49：506-513.

［2］ TUCK E O，SCHWARTZ L W.Anumerical and asymptotic study of some third-order ordinary differential equations relevant to draining and some coating flows［J］.SIAM Rev，1990，32：453-469.

［3］ BERNIS F，PELETIER L A.Two problems from draining flows involving third-order ordinary differential equations［J］.SIAM J Math Anal，1996，27：515-527.

［4］ TROY W C.Solutions of third-order differential equations relevant to draining and coating flows［J］.SIAM J Math Anal，1993，24：155-171.

Overdetermined boundary value problems for third-order singular ordinary differential equations on（0，∞）

LI Zhao-xing，Guo Shuang，LIU Guo-qing，ZHAO Wei

（College of Mathematics，Daqing Normal University，Daqing 163712，China）

The existence of a solution is discussed in this paper third-th order singular nonlinear ordinary differential equation with overdetermined boundary conditions.In the way that the boundary problem is formally converted into initial value problem that is equivaleut to it，and the fixed point theorem is used，the problem is solved.

differential equation；singular；overdetermined boundary value problems

O 175

110·44

A

1000-1832（2011）03-0019-04

2010-12-10

黑龍江省自然科學基金資助項目（A200813）.

李兆興（1953—），男，教授，主要從事微分方程邊值問題研究.

陶 理）