質心系庫侖散射公式研究

陳 兵，張 牛

（1．鄭州大學，鄭州450001；2．河南省計量科學研究院，鄭州450008；3．中原工學院，鄭州450007）

質心系庫侖散射公式研究

陳 兵1，2，張 牛3

（1．鄭州大學，鄭州450001；2．河南省計量科學研究院，鄭州450008；3．中原工學院，鄭州450007）

介紹了α粒子散射實驗的理論基礎，討論了在考慮靶原子核運動情況下質心系中的庫侖散射公式，并與在假設靶原子核靜止情況下實驗室系中的庫侖散射公式相比較．結果表明：考慮靶原子核運動時，對庫侖散射公式進行修正給出的結果更精確，能夠減小入射粒子與靶原子核質量相差不大情況下的實驗誤差，適用范圍更廣．

α粒子散射實驗；庫侖散射公式；質心系

1909年，盧瑟福和其合作者蓋革與馬斯頓進行了散射實驗，在該實驗中，發現α粒子轟擊原子時有大約八千分之一的幾率被反射回來．盧瑟福經過嚴謹的理論推導，得到盧瑟福散射公式，并于1911年提出了原子的“核式結構模型”［1］，從而將原子分為核外與核內2個部分，并大膽地承認了高密度原子核的存在．盧瑟福散射不僅對原子物理的研究起了很大的作用，這種以散射為手段研究物質結構的方法對近代物理學也一直有著巨大的影響；而且，盧瑟福散射也為材料分析提供了一種研究手段［2］．

在盧瑟福散射公式的建立中，庫侖散射公式是重要基礎．目前，在導出庫侖散射公式時，一般都假設靶原子核是靜止的［2－4］，而實際情況是靶原子核在入射粒子的庫侖力作用下，也會發生運動．因此，正確的方法應該是在質心系中討論庫侖散射公式．本文在質心系中對庫侖散射公式進行探討，并與目前一般的假設原子核靜止的實驗室系中的結果進行比較．

1 基本問題

圖1 質心系中α粒子散射示意圖

設有一個α粒子射到一個靶核附近，二者之間有庫侖斥力．α粒子受庫侖力的作用而改變運動方向，先靠近靶核而后逐漸遠離靶核，如圖1所示．圖1中：Z1e和m分別表示α粒子的電荷和質量，其入射的速度為v；Z2e和M分別表示靶核的電荷和質量，其原來靜止；b是原子核離α粒子原運動路徑的延長線的垂直距離，稱為瞄準距離．由于當α粒子靠近靶核時，靶核受到α粒子的作用而向右運動，因此，討論α粒子在靶核作用下的偏轉應在質心系中討論，即在實驗室系中觀察，質心勻速向右運動，其速度為．在質心系中，粒子入射速度為方向向右，靶核也向左靠近質心運動，其速度大小為兩粒子相向運動，并在相互排斥力的作用下又相互遠離．

在質心系中，α粒子的瞄準距離不再是b，而是b1，且有b1＝mb／（M＋m）．而且在α粒子和靶核接近的過程中，α粒子與靶核的距離為r，α粒子與質心的距離為r1，靶核與質心的距離為r2，且有r＝r1＋r2．

2 質心系庫侖散射公式

先討論α粒子在質心系中的運動情況．由牛頓第二定律可知：

由庫侖定律可知：

根據式（1）、式（2）可知：

且有

因α粒子所受靶核的庫侖力必經過質心，是中心力，而中心力滿足角動量守恒，所以有

式中：L1為常數，代表α粒子對質心的角動量的大小．

把式（6）代入（5）并整理，可得：

將式（7）兩端積分，可得：

式中：→vi和→v f分別代表質心系中α粒子的初速度和末速度．由于α粒子從遠處入射，又跑向無窮遠處，根據機械能守恒定律可知，→v i和→v f大小相等，即等于v1．

將→r0＝→icosφ＋→jsinφ代入式（8），可得：

由此可得：

圖2所示為質心系中a粒子的初速度與末速度示意圖．由圖2可知：

圖2 質心系中α粒子初速度與末速度示意圖

比較式（10）、式（11）可得：

把L1＝mv1b1代入式（12），即可得出：

式（13）表明，α粒子在質心系中的運動軌跡依然是一條雙曲線．

同樣，可以討論靶核在質心系中的運動情況．因此有

則α粒子對靶核的瞄準距離為：

而在假設靶核靜止的實驗室系中，有

由式（15）、式（16）可以看出，θ與b有對應關系：對某個b，有一定的θ與之對應；b越大，θ就越小；b越小，θ就越大．但是，在假設靶核靜止時討論的式（16）中，分母上的能量E是實驗室系中α粒子入射的動能，而在質心系中討論的式（15）中，分母上的能量EC是質心系中α粒子和靶核的動能之和，這個能量是小于實驗室系中α粒子原來的動能的．而且，我們發現，當入射粒子與靶核質量相差很大，即m＜＜M時，E和EC近似相等，在實驗室系中假設靶核靜止不動進行的討論結果近似正確；但是，當入射粒子與靶核質量相差不很大時，E和EC的差別就比較大，在實驗室系中假設靶核靜止來討論問題就不夠精確，而是需要在質心系中進行討論．

3 結語

本文通過在質心系中討論α粒子的庫侖散射公式，發現碰撞參數和散射角的關系與在實驗室系中假設靶核靜止時獲得的結果并不一致，公式中的能量部分由后者的α粒子入射的動能變為在質心系中α粒子和靶核的最初動能之和，對一般的處理方法進行了修正，獲得的結果更加精確，這對于原子物理乃至近代物理的相關研究工作有一定指導意義．

［1］Rutherord E．The Scattering ofαandβParticles by Matter and the Structurre of the Atom［J］．Phil．Mag．，1911（21）：69．

［2］楊福家．原子物理學［M］．北京：高等教育出版社，2000：14－21．

［3］禇圣麟．原子物理學［M］．北京：高等教育出版社，1979：10－14．

［4］陳宏芳．原子物理學［M］．北京：科學出版社，2006：4－9．

Study on Coulomb Scattering Formula in Center－of－mass Coordinate System

CHEN Bing1，2，ZHANG Niu3
（1．Zhengzhou University，Zhengzhou 450001；2．Henan Institute of Metrology，Zhengzhou 450008；3．Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

In this paper，the theoretical principle ofα－particle scattering experiment is introduced，and the Coulomb scattering formula is discussed while considering the movement of target nucleus in center－of－mass system，and compared with the results from popular system which assumped the target nucleus is stationary．The results showed that：considering the movement of the target nucleus，the modified Coulomb scattering formula gives more accurate results，reduce the experimental error when the mass of incident particle and target nucleus are similar，and has wider field of application．

α－particle scattering experiment；Coulomb scattering formula；center－of－mass coordinate system

O562．5

A

10．3969／j．issn．1671－6906．2011．02．002

1671－6906（2011）02－0005－03

2011－03－04

國家自然科學基金項目（50977093）

陳 兵（1979－），男，河南新鄉人，碩士生．