線性雙時滯廣義系統時滯依賴H∞控制

楊 帆，周士玉，馮毅夫，張慶靈

（1.天津城市建設學院電子與信息工程系，天津 300384；2.天津城市建設學院土木工程系，天津 300384；3.吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000；4.東北大學系統科學研究所，遼寧沈陽 110004）

線性雙時滯廣義系統時滯依賴H∞控制

楊 帆1，4，周士玉2，馮毅夫3，張慶靈4

（1.天津城市建設學院電子與信息工程系，天津 300384；2.天津城市建設學院土木工程系，天津 300384；3.吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000；4.東北大學系統科學研究所，遼寧沈陽 110004）

研究了線性雙時滯廣義系統時滯依賴H∞控制器設計問題.利用線性矩陣不等式方法和Lyapunov－Krasovskii泛函相結合，給出了線性雙時滯廣義系統的一個有界實引理.在此基礎上，給出了H∞控制器的設計方法和存在的充分條件.該控制器的設計使得在滿足一定的條件下閉環系統是正則、穩定、無脈沖的，且從擾動到控制輸出的傳遞函數的H∞范數不超過某個確定的上界.

時滯廣義系統；時滯依賴；H∞控制；有界實引理；線性矩陣不等式

0 引言

時滯現象經常在控制系統的狀態、控制輸入或量測輸出中遇到，引起系統不穩定及系統指標的衰竭.時滯廣義系統具有廣泛的應用背景，尤其時滯H∞控制已成為熱點研究問題［1－5］.時滯系統H∞控制涉及時滯獨立和時滯依賴兩種情況.時滯獨立H∞控制條件一般較為保守，特別是當系統的時滯較小時；對于時滯依賴的H∞控制，為了降低系統對時滯依賴的保守性，有許多種方法.

E.Fridman利用廣義模型變換和線性矩陣不等式方法，給出了時滯獨立和時滯依賴H∞控制存在的充分條件，同時還研究了輸出反饋H∞控制等問題［4］.文獻［6］利用積分不等式，構造了一個不僅與時滯狀態有關，而且與時滯上界狀態有關的Lyapunov－Krasovskii泛函，有效地降低了系統的保守性.文獻［5］利用權矩陣的方法討論了線性時滯廣義系統的時滯相關H∞控制，文獻［7］引入了一個新的Lyapunov－Krasovskii泛函，以嚴格矩陣不等式的形式設計了保守性較小的時滯依賴H∞控制器.

本文在文獻［2－3，8－9］的啟發下，通過構造一個新的Lyapunov－Krasovskii泛函，設計了一個具有更小保守性的H∞控制器.

1 系統描述

考慮如下線性時滯廣義系統：

其中，x（t）∈Rn為系統的狀態向量；u（t）∈Rl為系統控制輸入向量，ω（t）∈Rq為系統擾動輸入向量且ω（t）∈Lq2［0，∞）；z（t）∈Rp為系統受控輸出；φ（t）為系統的初始狀態函數，A0，A1，A2，B，B1，C是已知適當維數常數實矩陣，矩陣E∈Rn×n且rank（E）＝r≤n；未知時滯d j≥0但具有上界hj且0≤d j≤hj（j＝1，2），

2 時滯依賴有界實

WT＝ETP＋SRT，R∈Rn×（n－r）為滿足ETR＝0的列滿秩矩陣.則系統（1）是正則、無脈沖和穩定的，且對于非零擾動ω（t）∈Lq2［0，∞），系統（1）具有H∞性能指標γ.

證明定理的證明分兩部分.首先證明系統是正則和無脈沖的.

由不等式（6），有

3 時滯依賴H∞控制

在定理1的基礎上，討論線性雙時滯廣義系統（1）的時滯依賴H∞控制問題.

定理2給定性能指標γ＞0，時滯d1，d2∈［0，h］，其中h是一個已知的正常數.給定矩陣G，如果存在正定對稱矩陣P＝PT＞0，Q i＝QTi＞0，Z i＝ZTi≥0（i＝0，1，2，3）和矩陣S，F，T，使得如下的線性矩陣不等式（LMI）成立：

4 結論

本文研究了線性雙時滯廣義系統時滯依賴H∞控制器設計問題.對于兩時滯系統，充分考慮了兩個時滯的相互關系，構造了一個新的Lyapunov－Krasovskii泛函，并且沒有進行系統模型變換，設計了一個具有較小保守性的H∞控制器，使得閉環系統是正則、穩定和無脈沖的且具有H∞范數界.

［1］LEE Y S，MOON Y S，KWON W H，et al.Delay－dependent robustH∞control for uncertain systems with a state－delay［J］.Automatica，2004，40：65－72.

［2］王紅，張友，王彩玲.一類中立時滯系統的帶記憶輸出反饋H∞控制［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（1）：32－35.

［3］YANG FAN，ZHANG QINGLING.Delay－dependentH∞control for linear descriptor systems with delay in state［J］.Journal of Control Theory and Applications，2005，1：76－84.

［4］FRIDMAN E，SHAKED U.H∞－control of linear state－delay descriptor systems：an LMI approach［J］.Linear algebra and its applications，2002，（351／352）：271－302.

［5］DU Z P，ZHANG Q L，LIU L L.Delay－dependent robust stabilization for uncertain singular systems with multiple input delays［J］.ACTA Automatica Sinica，2009，35（2）：162－167.

［6］PARK P G，KO J.Stability and robust stability for systems with a time－varying delay［J］.Automatica，2007，43（8）：1885－1858.

［7］WU Z G，ZHOU W N.Delay－dependent robustH∞control for uncertain singular time－delay systems［J］.IET Control Theory and Applications，2007，1（5）：1234－1341.

［8］張偉，時寶，蓋明久.廣義時滯系統的時滯相關型H∞控制［J］.控制理論與應用，2009，26（12）：1430－1434.

［9］何勇，吳敏.多時變時滯系統的魯棒穩定及有界實引理的時滯相關條件［J］.控制理論與應用，2004，21（5）：735－741.

Delay－dependentH∞control for singular systems with two time－delays

YANG Fan1，4，ZHOU Shi－yu2，FENG Yi－fu3，ZHANG Qing－ling4

（1.Department of Electronic and Information and Engineering，Institute of Urban Construction，Tianjin 300384，China；2.Department of Civil Engineering，Institute of Urban Construction，Tianjin 300384，China；3.School of Science，Jilin Normal University，Siping 136000，China；4.Institute of Systems Science，Northeastern University，Shenyang 110004，China）

The problem of delay－dependentH∞control for singular systems with two state delays is concerned.In terms of linear matrix inequalities（LMIs）approach and Lyapunov－Krasovskii functional，it presents a delay－dependent bounded real lemma（BRL）to ensure the system to be regular，impulse free，and stable withH∞performance condition for two state delays.Based on this criterion，it obtains the sufficient conditions for the existence ofH∞state－feedback controller.

singular time－delay systems；delay－dependent；H∞control；bounded real lemma（BRL）；linear matrix inequalities（LMIs）

TP 13

510·80

A

1000－1832（2011）03－0044－05

2010－04－22

國家自然科學基金資助項目（60574011）.

楊帆（1966—），女，博士，教授，主要從事時滯廣義系統魯棒控制理論及應用研究.

陶 理）