基于粒子群算法的曲柄滑塊機構優化設計

高朝祥 王 充

（四川化工職業技術學院，四川 瀘州 646005）

基于粒子群算法的曲柄滑塊機構優化設計

高朝祥 王 充

（四川化工職業技術學院，四川 瀘州 646005）

針對帶有約束條件曲柄滑塊機構優化設計問題，提出將混合懲罰函數法與粒子群優化原理相結合算法，使帶有約束條件問題轉化為無約束優化問題，通過實例進行測試，將其結果與常規優化設計結果進行比較，結果表明PSO算法在曲柄滑塊機構優化設計中具有實用性強、有求解準確可靠等優點，是一種有效的求解方法。

曲柄滑塊機構；粒子群優化；迭代；適應值

傳統優化設計問題基本上都可歸結為帶有約束條件的函數的優化問題，許多算法都是基于梯度信息求解約束優化問題，只適用于目標函數和約束條件可微的情況［1，2］。近年來，模擬物理（自適應隨即搜索法、模擬退火法）或生物（遺傳算法及進化算法）等自然過程的智能化算法受到了很大的關注，其隨機性搜索的屬性使得該類方法在處理復雜問題方面具有諸多優勢［3］。但這些算法一般都具有收斂速度慢、易早熟和解約束問題性能較差的缺點。

在曲柄滑塊運動機構的設計中，粒子群算法具有較強的全局搜索能力，但存在局部搜索能力較差的缺陷，應用中常常表現出收斂速度慢且存在過早收斂的問題。有求解約束優化問題常用的方法是懲罰函數法。混合懲罰函數法是將內點法和外點法結合起來，處理具有等式約束和不等式約束的優化方法。本研究提出求解約束優化問題的新粒子群算法，把粒子群算法和經典最優化算法混合懲罰函數法有機的結合，吸收兩者的優點，求解曲柄滑塊運動機構最優解。

1 曲柄滑塊機構的數學模型

曲柄滑塊機構廣泛應用于發動機、氣體或液體壓縮機、物料傳送機械壓力機等機構中，按其結構主要分為對心和偏置兩大類型。

1.1 設計變量

如圖1所示的曲柄滑塊機構，設計要求是希望滑塊在完成工藝行程段內，滑塊實際運動速度與平均速度v0波動要最小，則滑塊C點的運動狀態與機構的結構和曲柄轉角等參數有關，決定于曲柄長度R，連桿長度L和偏心距E，故設計變量可取：X＝ ［R，L，E］T＝ ［x1，x2，x3］T［4，5］。

圖1 曲柄滑塊機構Figure 1 Slider－crank mechanism

1.2 目標函數

由圖1可知：

式中：

v0—— 工藝行程段內的平均速度，mm／s；

v（x）—— 相應于曲柄轉角θ時的滑塊實際速度，mm／s；

θj——曲柄在工藝行程段內轉到的某一角度，rad；

N——將曲柄轉角θ分若干弧度的數目。

目標函數：

1.3 約束條件

機構裝配幾何條件：

曲柄滑塊運動機構兩極點滿足工藝條件：

則約束條件：

2 混合懲罰函數法

混合懲罰函數法數學模型：

構造懲罰函數時，懲罰因子統一用r（k）表示，得到：

計算步驟如下：

第1步：先在可行域內選擇一個嚴格滿足所有不等式約束的初始點x（0）。 選擇適當因子r（0）（簡化可取r（0）＝1）試算；

第2步：求 minΦ（x，r（k）），得x＊（r（k））；

第3步：如果x＊（r（k））和minΦ（x＊（r（k）），r（k））滿足收斂精度，則停止迭代，否則轉下一步；

第4步：取r（k＋1）＝cr（k），x（0）＝x＊（r（k）），轉向第2步。

3 粒子群優化算法

3.1 粒子群優化算法的基本原理

PSO算法首先初始化為一組隨機解（隨機粒子），沒有像遺傳算法中用交叉及變異操作，而是通過粒子們在解空間追隨最優粒子的行為進行搜索，迭代找到最優解。在實際操作過程中，先由目標函數為每個粒子確定一個適應值來判定粒子的優劣程度，以一個速度來決定該粒子的飛行方向和位置，在粒子的飛行過程中，通過目前粒子本身所找到的最優解（個體極值）和整個種群目前所找到的最優解（全局極值），通過這兩個極值來不斷地更新自己。

假設在一個D維的目標搜索空間中，有N個粒子組成一個群落，其中第i個粒子表示為一個D維的向量：

根據事先設定的適應值函數（與要解決的問題有關）計算xi當前的適應值。

第i個粒子的“飛行”速度也是一個D維的向量，記為：

第i個粒子迄今為止搜索到的最優位置稱為個體極值，記為：

整個粒子群迄今為止搜索到的最優位置為全局極值，記為：

在找到這兩個最優值時，粒子根據式（19）和（20）來更新自己的速度和位置：

式中：

c1，c2—— 學習因子，也稱加速常數；

r1，r2——［0，1］范圍內的均勻隨機數。

式（19）右邊由三部分組成，第一部分為“慣性”或“動量部分，反映了粒子的運動“習慣”，代表粒子有維持自己先前速度的趨勢；第二部分為“認知”部分，反映了粒子對自身歷史經驗的記憶或回憶，代表粒子有向自身歷史最佳位置逼近的趨勢；第三部分為“社會”部分，反映了粒子間協同合作與知識共享的群體歷史經驗，代表粒子有向群體或鄰域歷史最佳位置逼近的趨勢，根據經驗，通常c1＝c2＝2。i＝1，2，…，D。vdi，t是粒子的速度，vdi，t∈ ［－vmax，vmax］，vmax是常數，由用戶設定用來限制粒子的速度。r1和r2是介于［0，1］之間的隨機數。

3.2 粒子群優化算法的基本步驟

在處理約束條件時，將進化過程中違反約束的粒子用混合懲罰函數法處理，以保證滿足約束，同時提高收斂速度與解的精度，算法如下：

第1步：參數初始化。參數包括群體規模N，最大迭代數T，變量個數M，學習因子C1，C2，慣性因子W，最大“飛行”速度Vmax；

第2步：粒子群初始化。隨機產生每個粒子的位置Xi和速度Vi，i＝1，2…N，若Xi不滿足約束條件，則以Xi為初始點，用混合懲罰函數法計算結果Xi＊代替Xi。

第3步：粒子適應度fitness（Xi）值的計算：

fitness（Xi）＝f（Xi） （21）

第4步：計算粒子的個體最優位置pdi，t和全局最優位置。

第5步：更新粒子的速度和位置，按式（19）更新粒子的速度Vi；然后按式（20）更新粒子的位置Xi并判斷是否滿足約束；若置不滿足約束條件，則以Xi為初始點，用混合懲罰函數法計算結果Xi＊代替Xi。

第6步：若滿足中止條件，退出；否則，轉向第3步［6－10］。

4 數值算例

曲柄滑塊運動機構，如圖1為拉伸壓力機結構示意圖，曲柄轉速為ω＝π／30（rad／s），設計要求是曲柄轉角θ＝15°～190°的運動范圍內，希望滑塊在完成工藝行程段H＝300mm，滑塊實際運動速度對平均速度v0波動為最小。

4.1 參數設置

混合懲罰函數法取懲罰因子：r（0）＝1；得到x＊（r（k））。粒子群算法參數初始化為：學習因子1：c1＝0.5，學習因子2：c2＝0.5；慣性權重：w＝0.8；最大迭代次數 MaxDT＝100；搜索空間維數（未知數個數）D＝3；初始化群體個體數目：N＝10；混合懲罰函數法x＊（r（k））代替初始點。其優化結果見表1。

表1 常規設計與粒子群優化結果比較Table 1 Comparison of conventional design and the particle swarm optimization results

4.2 結果比較分析

在求解有求解約束的曲柄滑塊優化問題時，常規優化方法容易早熟于局部收斂空間。粒子群算法具有較強的全局搜索能力，但存在局部搜索能力較差的缺陷，因此將粒子群算法和經典最優化算法混合懲罰函數法有機的結合，吸收兩者的優點。由表1可知，新的粒子群優化設計較常規優化設計能更準確地找到求解曲柄滑塊運動機構的最優解。

5 結論

本研究對于帶有約束的曲柄滑塊機構優化問題，應用混合懲罰函數法與粒子群優化原理相結合算法，有效地避免了算法因單一搜索機制引起的停滯現象和克服過早收斂于局部最小和處理約束邊界條件。試驗證明，新的粒子群算法有效，穩健，是一種有潛力的智能算法，實現簡單、解的精度高、算法收斂速度快，在曲柄滑塊機構優化設計中是一種有效的求解方法。

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9 高鷹.一種自適應擴展粒子群優化算法［J］.計算機工程與應用，2006，37（15）：12～15.

10 劉偉，蔡前鳳，王振友.一種新的遺傳算法求解有等式約束的優化問題［J］.計算機工程與設計，2007，28（13）：3 184～3 194.

11 龔純，王正林.精通MATALAB最優化計算［M］.北京：電子工業出版社，2009：270～343.

Optimization design of slider－crank mechanism based on particle swarm algorithm

GAO Chao－xiang WANG Chong

（Sichuan college of Chemical Technology，Luzhou，Sichuan646005，China）

Aiming at the optimized design question of slider－crank mechanism with constraints，a algorithm is put forward that the principle of particle swarm optimization is combined with the method of mixed penalty function in the paper.The problem with constraint condition is transformed into a no－constrained optimization problem，and by the example test of that PSO algorithm，the results that is compared to the results the conventional optimization design is strong practicality，solving accurate and reliable etc.，which is an effective solution in slider－crank mechanism with optimization design.

slider－crank mechanism；particle swarm optimization；iterate；adaptive value

10.3969／j.issn.1003－5788.2011.04.028

高朝祥（1965－），男，四川化工職業技術學院副教授。E－mail：gcx6355＠163.com

2011－03－10