高斯整數環的素元形成與商環性質

戴洋

（山東大學 數學學院，山東 濟南 250100）

高斯整數環的素元形成與商環性質

戴洋

（山東大學 數學學院，山東 濟南 250100）

高斯整數環是一種構造特殊且具有一定代表性的環，在代數環論中占有重要的地位。既融入了環論的思想，同時亦包含有數論的思想，對于高斯整數環的研究一直是國內外學者的重要課題之一，數學家們通過多年的研究，得出了許多重要且富有意義的結論。在前人研究成果的基礎上，針對高斯整數環中素元的形成和不同主理想下商環的個數，作了進一步的探索：

1、分析證明了高斯整數環的基本性質，論證了高斯整數環是歐幾里德整環，高斯整數環是主理想整環，高斯整數環是唯一因式分解整環。

2、論述了高斯整數環素元的形成，分別給出了整數素元和部分非整數素元的形式。

3、論述了高斯整數環在不同主理想下其商環的個數。對于高斯整數環的主理想，分別給出了當（為自然數），（為自然數），（為任意整數）時，其商環的個數及其證明。

高斯整數環；素元；商環

1 高斯整數環的基本性質

1.1 高斯整數環是歐幾里德整環

定理1.1.1高斯整數環是歐幾里德整環。

證明：高斯整數環 Z[i]，設 α∈Z[i]，有

1.2 高斯整數環是主理想整環

定理1.2.1歐幾里德整環是主理想整環。

證明：設R是歐幾里德整環。任取R的一個理想I且設I≠0。取I的一個非零元b，使得

顯然（b）?I。 反之，設 a∈I，由于 R 是歐幾里德整環，因此存在 h，r∈R，使得

當r≠0時，則r=a-hb∈I，這與b的取法矛盾。因此 r=0，從而 a=hb∈（b）。 因此 I=（b）。 證畢。

定理1.2.2高斯整數環是主理想整環?！?br>