算法優化要“五問”

　　在《全日制義務教育數學課程標準》（實驗稿）中輸入關鍵詞“多樣化”進行搜索，其出現多達19處，其中有8處是直接或間接針對“算法”提出的。而搜索“算法優化”、“最優化”、“優化”等關鍵詞，卻是一無所獲。從本人所涉獵的書籍、資料中也可以看出，對二者闡述的材料的數量是天壤之別。這說明我們的相關研究對算法多樣化是偏愛有加的，卻冷落了算法優化。
　　算法多樣化和算法優化是一對“歡喜冤家”：它們一個重在“多”，是一個“散”的過程；另一個重在“優”，是一個“聚”的過程。同時，它們又是密不可分的，算法優化是算法多樣化的繼續，是算法多樣化的最終歸宿。因為學生的思維存在著差異性、層次性，有些算法不具有普遍性，有些算法操作繁瑣，有些算法思維層次偏低，這就需要我們的教師對這些算法進行提升。正如葉瀾教授所說：“沒有聚焦的發散是沒有價值的，聚焦的目的是為了促進學生發展。”但是，我們有些教師唯恐對算法進行優化會影響算法的多樣化，會制約學生思維的發展，會被聽課者定位于“穿新鞋走老路”，會和課標中的“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化”[1]的觀念相悖。于是，部分教師沒有意識到算法優化的意義，沒有理順優化與多樣化的辯證關系，沒有掌握具體的優化策略，不考慮學生已有的知識水平和學生的切身感受，不讓學生經歷觀察、思考、交流、選擇、體驗、再思考、再選擇、最后感悟等幾個漸進的層次而硬性地去優化，出現了算法優化的表面化、形式化的現象。更有甚者，個別教師“開門見山”，直接把“最優化”的算法呈現給學生，“親自”幫助學生在多種算法中找出那些有助于提高學生的數學素養、促進學生學習可持續發展、接近數學本質的算法。本文僅把算法優化中五個常見現象及應對策略呈現給大家，請老師們在進行算法優化之前問問自己，是否思考了這樣幾個問題。
　　一問：是否關注學生已有的知識基礎？
　　在算法優化的過程中，讓每個學生掌握一種方法是優化的基礎，讓學生全身心地參與到優化過程中來是關鍵。但是，在實際的教學中，我們不難看到，仍有部分學生總是認為自己的算法是經過自己獨立嘗試、探索得來的，是自己勞動的“成果”，所以不愿意放棄自己最初的方法。
　　例如：一年級下冊的“十幾減9”。
　　在研究13-9=？的時候，由于教師給學生留足了探究的時間，學生們想出了數一數、破十、平十、想加算減和推理共五種方法，下面是一個教師進行算法優化的課堂簡錄（由于學生的回答太多，所以改成了敘述的形式）：
　　教師安排四個同學為一學習小組，依照次序說一說五種方法的計算特點。然后指名進行全班匯報。
　　師：我們已經研究了這五種方法，你喜歡哪種方法？
　　學生們的意見很不統一，五種方法都有學生說喜歡。
　　師：如果讓你重新選擇一種方法計算，你會選哪一種？為什么要選這一種？
　　由于方法一需要學生數一數，比較費時；方法五的邏輯性太強，有些孩子不能從實質上進行理解；方法四是采用逆向思維來解決問題。所以，這三種方法學生選擇的較少，而平十法和破十法卻倍受孩子們的青睞，大多數的孩子都選擇了這兩種算法。
　　五種方法都有學生選擇，只是選的人數多與少而已。教師似乎已經估計到會出現這種情況，于是不緊不慢的又拋出一個問題。
　　師：用你喜歡的方法再算一題17-9=？
　　評析：教師此舉旨在通過讓學生再做一道題目，一是讓部分學生根據對五種方法研究和交流而調整自己的思路，放棄自己最初的方法而去重新選擇；二是讓部分學生比較前、后兩種方法，通過兩種方法的對比，感受到新選擇方法的優勢。但是，學生是否愿意買老師的“賬”呢？看看學生的反饋情況就知道了。
　　第二次交流的時候，已經沒有學生選擇方法一和方法五了，僅有幾個學生選擇想加算減的方法，大部分的學生仍然選擇平十法和破十法。這種情況好像出乎教師的預料。于是，教師只好再次引導：
　　師：方法二的13-9=10-9+3和方法三的13-9=13-3-6，它們都是幾步計算？
　　生：兩步。
　　師：而想加算減的方法，只要想9加幾（4）等于13，然后直接寫出13-9=4。你們比較一下，到底是哪種方法方便？
　　學生不語。
　　老師有些著急，又問了一次。
　　個別學生小聲說：先減3再減6，好算。
　　還有的學生說：先用10減9，好減。
　　對于學生的“頑固不化”和“堅持到底”，老師只好來“硬”的了。
　　師：我們一定要掌握第四種算法，因為它對今后的學習很重要。
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　　思考：學生為什么就是不“入套”、不“中招”呢？建構主義認為學生的學習是在已有知識和經驗的基礎上進行建構的，這就是說要實現算法最優化的建構，教師就要關注學生已有的知識基礎[2]。“想加算減”這種方法對學生思維靈活性的訓練和后續知識的學習都很有幫助，是我們這一節課優化的目標，比較省時、比較快捷，但是這種方法在五種方法中卻是最困難的。因為，這種方法不僅需要學生有一定的推理能力，更需要學生有非常熟練的20以內加法的基礎。換句話說，要讓學生掌握“想加算減”這種方法，學生不僅要對20以內的加法達到脫口而出的熟練程度，還要會根據加法算式寫出相應的減法算式，會熟練地求括號里的未知數，沒有了這些基礎，“想加算減”的方法就免談。心理學家奧蘇貝爾在他的代表性論著《教育心理學：一種認知觀》一書的扉頁中寫到：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要因素就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學?！盵3]所以，我們在優化算法的時候一定要思考：優化的目標距離學生有多遠？新知識的生長點在哪里？新舊知識的“支架”在何處？怎樣準確定位學生的最近發展區等問題。就本節課而言，教師只有在課前對學生的20以內加法的熟練程度和求括號中未知數的掌握情況進行了解，并有針對性地進行訓練和鋪墊，夯實優化的基礎，才能順利完成算法優化的目標。
　　二問：是否守住了學生的“底線”？
　　請看課例：教師出示掛圖（一年級上冊）。
　　師：我們先來仔細觀察圖，桃子是怎樣擺的？
　　生：盒子里有9個，盒子外有4個。
　　師：要求一共有多少個桃，該怎樣列式呢？
　　生：9+4=13
　　師：9+4=13，你是怎么想的？
　　生：拿一個桃子到盒子里，盒子里就有10個，10個再加上3個等于13個。
　　師：你用的見9找1變成10的方法。找到了10，算起來就很快了。簡單地說，就是“湊十法”。你真棒！其他同學聽懂了嗎？
　　還沒有等學生回答，教師就說：那么，我們就用他的方法擺一擺，移一移桃子圖，算算結果，好嗎？
　　……
　　這種模式在很多的課堂上都是習以為常的：老師寫出算式或剛提出問題后，只要有學生舉手，老師就立即讓舉手的孩子來回答，一個或幾個優秀的學生與老師產生互動完成了教學任務。其實，舉手的僅是一部分學生，多數還是優等生，還有相當多的中等及中等以下的學生沒有舉手或者還沒有來得及舉手。另外，這些舉手的學生真的經過獨立思考了嗎？真的經過自主探索了嗎？老師沒有讓學生探索出多種方法，并引導學生比較各種算法的特點，而是過早地對算法進行了評價[4]，這樣的教學，一是直接導致部分學生游離于教學活動之外；二是導致學生嚴重的“兩極”分化，成績稍差的學生沒有機會品嘗到成功的喜悅；三是忽略了每人至少掌握一種算法的基本要求。
　　每個學生至少掌握一種算法，這是算法優化的“底線”。因為，只有每個同學都有了自己的算法，才能構成算法的多樣化；只有出現算法多樣化的局面，才能進行算法的優化。鑒于此，教師一定要舍得放手，相信學生，故意放慢教學的進程。首先，面對數學問題，要給學生充分的獨立思考的時間，并提出要求：每個同學至少要想出一種方法，并把這種方法在腦海中用自己的語言說一遍，完成后才可以去思考第二或第三種方法。這樣一來，好的學生能想出幾種方法，思維得到了全面的展開和激活，實現了“吃好”的目標；中下等的學生也能有一種方法“保底”，達到了“吃飽”的標準。其次，在小組交流的時候，教師要有意識地讓那些學習困難的學生先發言，爭取讓每一個學生都能把自己的思維過程展示出來。這樣的處理，使每個孩子都要認真思考，都能自主探索，都會積極參與到學習活動中來，“學困生”也能得到充分的展示，實現了好、中、差學生“同步走”的全面發展的目標，這才是“不同的人在數學上得到不同的發展”[5]的理念的具體體現。
　　
　　三問：是否為了優化而故意多樣化？
　　請看課例：二年級下冊的“一位數乘兩位數的筆算”。
　　老師出示情境圖引導學生列出算式14×2后，安排學生自主探究解決的方法，然后組織全班交流。
　　生1：兩個10是20，兩個4是8，加起來是28。
　　生2：兩個14加起來是28，所以14乘2是28。
　　生3：我是看圖的，左面兩個筐里是20個，右面筐里是8個，合起來是28個。
　　老師意猶未盡，繼續問：除了乘法、加法、看圖三種方法以外，還有別的解法嗎？
　　等了半天，老師看見沒有學生舉手，唯恐“冷”了場，又拋出一個“技術性含量”很高的問題：剛才的三個學生非常聰明，能認真開動腦筋，想出了屬于自己的解題方法，誰能超過他們？
　　過了一會，終于有學生舉手了。
　　生4：14加10等