注重培養學生嚴謹的思維習慣

　　嚴謹的思維習慣是良好思維素質的重要特征.如何培養學生嚴謹的思維習慣，是數學教學的一個重要課題.現根據我在教學第一線十多年的工作實踐，談談在中學教學中對學生嚴謹思維習慣培養方面的幾點做法.
　　一、提高學生語言表達能力，克服含混模糊的語言表達習慣
　　學生在表述概念時，往往不重視表述的嚴密性，因而常出現錯誤，對學生語言表述中出現的錯誤，教師要及時予以剖析并加以糾正.例如，指明“把直線畫短些”，“把平面畫大些”的錯誤所在；揭示“不在任何一個平面內”與“不在同一平面內”的區別；分析在橢圓定義中“平面內”、“常數大于|FF|”兩個條件缺一不可的原因.
　　在表述定理、公式和法則時，教師應該要求學生作完整的敘述，不能默許學生作隨意增減.例如，“若兩條直線都有斜率，則這兩條直線互相垂直的充要條件是斜率互為負倒數”中的“兩條直線都有斜率”這一前提不能丟掉；在等比數列前n項和公式中，公比q≠1的條件不能少，并進一步要求學生按公式q≠1和q＝1兩種情況，全面掌握求等比數列前n項和的公式.
　　在表述數量、位置、邏輯關系時，教師應要求學生做到語言準確、貼切.例如，不能把“全不相等”說成“不全相等”；不能把“兩兩相交且不過同一個點的三條直線”與“兩兩相交的三條直線”相混淆.
　　在培養學生語言表述能力的過程中，教師嚴密的語言表述對學生起著潛移默化的作用.教師要注意課堂教學語言的錘煉，給學生作出表率.
　　二、準確運用概念，克服粗疏的思維習慣
　　概念是思維的細胞，學生在運用概念解題時，往往不能全面、準確地把握住有關概念的實質，僅僅注意到定義中的某一部分條件.如忽視象限角概念中“角的終邊不在坐標軸上”這一條件，出現“若α是第二象限的角，則2α是第三或第四象限的角“這一錯誤判斷；又如，有的學生忽視奇、偶函數對定義域的要求，即定義域所表示點集必須關于原點對稱，從而出現“函數f（x）=x+7cosx（-1≤x≤3）是偶函數”的錯誤.
　　例1.判斷函數量f（x）=的奇、偶性.
　　學生往往這樣解答：
　　∵f（-x）==，
　　∴f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x）.
　　∴f（x）既不是奇函數，又不是偶函數.
　　這是個錯誤解，錯在沒有先求函數的定義域，然后將函數的解析式恒等變形.
　　由1-x≥0|x+2|-2≠0得出函數的定義域為［-1，0）∪（0，1］.將函數恒等變形，得f（x）=，f（x）是奇函數.
　　三、深刻理解定理、公式、法則，克服生搬硬套的思維習慣
　　定理、公式、法則都有各自適用范圍，絕不能不問條件，到處生搬硬套.對學生濫用定理、公式、法則所產生的解題錯誤，教師注意及時剖析并予糾正，從而培養學生靈活、準確運用定理、公式、法則的嚴謹思維習慣.
　　例2.已知方程x+x+p=0的兩虛根為α、β，且|α-β|=3，求實數p的值.
　　錯解：由α+β=-1，αβ=p，|α-β|=3，得|α-β|=（α-β）=（α+β）-4αβ.
　　∴1-4p=9， ∴p=-2.
　　實際上，當p=-2時，原方程的兩根為1和-2，并非虛根.產生錯誤的原因是將實數范圍內成立的等式“|x|=x”生硬地搬到復數范圍去使用.正確解法是：
　　設a=a+bi（ab∈Rb≠0），則β=a=a-bi，|α-β|=|2bi|=2|b|=3，∴b=±3/2.
　　由α+β=-1，得a=-1/2，∴P=aβ=a+b=5/2.
　　四、周密審題，深入鉆研、克服單一化，表面化的思維習慣
　　探討問題不能只考慮一種情況、一種結果，要全面深入地分析，看看有沒有其他情況、其他結果.力戒單一化、表面化的思維習慣.
　　例3.把下面方程化為普通方程，并說明它表示什么曲線：
　　x=（t+）……① （t是參數）y=（t-）……②
　　如果只考慮到a≠0、b≠0的一般情況，沒有去處理a、b至少有一個為零的特殊情況，那么只能得到片面的結果：消qqq0niGNWOCxAhPgbRJiWIh/J+3XZHDFBtfGLSU2jto=參數t，得到x/a-y/b=1，它表示雙曲線.正確解答是：
　　（1）當a≠0、b≠0時，所求普通方程為x/a-y/b=1，它表示雙曲線；
　　（2）當時a＝0、b≠0時，所求普通方程x=0（y∈R），它表示y軸；
　　（3）當時a≠0、b=0，由①得x=（t+）≥a.
　　∴所求普通方程為y=0（x≥|a|或x≤-|a|），它表示x軸上兩條射線；
　　（4）當a=b=c時，所求普通方程x+y=0，它表示原點.
　　例4.實數a、b滿足a+b=1，求點M（a+b，ab）軌跡.
　　不少學生常常做出如下解答：
　　設x=a+b，y=ab，則：
　　1=a+b=（a+b）-2ab=x-2y.
　　∴點M的軌跡是拋物線，其方程為x=2（y+）.
　　其實，如果能周密審題、深入鉆研，由a+b=1可得（a+b）≤2（a+b）=2，x≤2，就會發現點M的軌跡是拋物線的一段，其方程為x=2（y+）（-≤x≤）.
　　五、剖析“可解”的錯題，克服輕信、盲從的思維習慣
　　有些數學題，雖然“可解”，然而由于編題者考慮欠周密，以至成為錯題.剖析這種錯題，對于幫助學生克服輕信、盲從的思維習慣，增強思維的批判性大有裨益.
　　例5.一個直角三角形的周長為10，斜邊上的中線長為2，求此三角形的面積.
　　解題能力比較強的學生常作如下解答：
　　設兩直角邊長分別為a、b，因斜邊長為4，則：
　　a+b=6①a+b=16 ②
　　①-②，得2ab=20.
　　∴三角形的面積S=ab=5.
　　在上述解答中，將ab作整體處理，解法簡捷.然而，正是這種處理掩蓋了a、b不可能是實數這一實質.其實，由a+b=6，ab=10，可知a、b是方程x-6x+10=0的兩個根，由Δ＜0，得a、b不是實數.至此，我們發現這道例題是一道錯題.進一步深入鉆研，可以推導出直角三角形中，周長p與斜邊長c的關系是（-1）p＜c＜p/2.在例4中，p=10，c=4，不適合于（-1）p＜c，所以不存在周長為10，斜邊上的中線長為2的直角三角形.
　　作為數學教師，我們在平時的數學教學實踐中，要善于抓住各種機會，利用多種形式、持之以恒地注重培養學生嚴謹的思維習慣.