注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣

　　嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣是良好思維素質(zhì)的重要特征.如何培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要課題.現(xiàn)根據(jù)我在教學(xué)第一線十多年的工作實(shí)踐，談?wù)勗谥袑W(xué)教學(xué)中對學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣培養(yǎng)方面的幾點(diǎn)做法.
　　一、提高學(xué)生語言表達(dá)能力，克服含混模糊的語言表達(dá)習(xí)慣
　　學(xué)生在表述概念時，往往不重視表述的嚴(yán)密性，因而常出現(xiàn)錯誤，對學(xué)生語言表述中出現(xiàn)的錯誤，教師要及時予以剖析并加以糾正.例如，指明“把直線畫短些”，“把平面畫大些”的錯誤所在；揭示“不在任何一個平面內(nèi)”與“不在同一平面內(nèi)”的區(qū)別；分析在橢圓定義中“平面內(nèi)”、“常數(shù)大于|FF|”兩個條件缺一不可的原因.
　　在表述定理、公式和法則時，教師應(yīng)該要求學(xué)生作完整的敘述，不能默許學(xué)生作隨意增減.例如，“若兩條直線都有斜率，則這兩條直線互相垂直的充要條件是斜率互為負(fù)倒數(shù)”中的“兩條直線都有斜率”這一前提不能丟掉；在等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，公比q≠1的條件不能少，并進(jìn)一步要求學(xué)生按公式q≠1和q＝1兩種情況，全面掌握求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.
　　在表述數(shù)量、位置、邏輯關(guān)系時，教師應(yīng)要求學(xué)生做到語言準(zhǔn)確、貼切.例如，不能把“全不相等”說成“不全相等”；不能把“兩兩相交且不過同一個點(diǎn)的三條直線”與“兩兩相交的三條直線”相混淆.
　　在培養(yǎng)學(xué)生語言表述能力的過程中，教師嚴(yán)密的語言表述對學(xué)生起著潛移默化的作用.教師要注意課堂教學(xué)語言的錘煉，給學(xué)生作出表率.
　　二、準(zhǔn)確運(yùn)用概念，克服粗疏的思維習(xí)慣
　　概念是思維的細(xì)胞，學(xué)生在運(yùn)用概念解題時，往往不能全面、準(zhǔn)確地把握住有關(guān)概念的實(shí)質(zhì)，僅僅注意到定義中的某一部分條件.如忽視象限角概念中“角的終邊不在坐標(biāo)軸上”這一條件，出現(xiàn)“若α是第二象限的角，則2α是第三或第四象限的角“這一錯誤判斷；又如，有的學(xué)生忽視奇、偶函數(shù)對定義域的要求，即定義域所表示點(diǎn)集必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而出現(xiàn)“函數(shù)f（x）=x+7cosx（-1≤x≤3）是偶函數(shù)”的錯誤.
　　例1.判斷函數(shù)量f（x）=的奇、偶性.
　　學(xué)生往往這樣解答：
　　∵f（-x）==，
　　∴f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x）.
　　∴f（x）既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù).
　　這是個錯誤解，錯在沒有先求函數(shù)的定義域，然后將函數(shù)的解析式恒等變形.
　　由1-x≥0|x+2|-2≠0得出函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，1］.將函數(shù)恒等變形，得f（x）=，f（x）是奇函數(shù).
　　三、深刻理解定理、公式、法則，克服生搬硬套的思維習(xí)慣
　　定理、公式、法則都有各自適用范圍，絕不能不問條件，到處生搬硬套.對學(xué)生濫用定理、公式、法則所產(chǎn)生的解題錯誤，教師注意及時剖析并予糾正，從而培養(yǎng)學(xué)生靈活、準(zhǔn)確運(yùn)用定理、公式、法則的嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣.
　　例2.已知方程x+x+p=0的兩虛根為α、β，且|α-β|=3，求實(shí)數(shù)p的值.
　　錯解：由α+β=-1，αβ=p，|α-β|=3，得|α-β|=（α-β）=（α+β）-4αβ.
　　∴1-4p=9， ∴p=-2.
　　實(shí)際上，當(dāng)p=-2時，原方程的兩根為1和-2，并非虛根.產(chǎn)生錯誤的原因是將實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的等式“|x|=x”生硬地搬到復(fù)數(shù)范圍去使用.正確解法是：
　　設(shè)a=a+bi（ab∈Rb≠0），則β=a=a-bi，|α-β|=|2bi|=2|b|=3，∴b=±3/2.
　　由α+β=-1，得a=-1/2，∴P=aβ=a+b=5/2.
　　四、周密審題，深入鉆研、克服單一化，表面化的思維習(xí)慣
　　探討問題不能只考慮一種情況、一種結(jié)果，要全面深入地分析，看看有沒有其他情況、其他結(jié)果.力戒單一化、表面化的思維習(xí)慣.
　　例3.把下面方程化為普通方程，并說明它表示什么曲線：
　　x=（t+）……① （t是參數(shù)）y=（t-）……②
　　如果只考慮到a≠0、b≠0的一般情況，沒有去處理a、b至少有一個為零的特殊情況，那么只能得到片面的結(jié)果：消qqq0niGNWOCxAhPgbRJiWIh/J+3XZHDFBtfGLSU2jto=參數(shù)t，得到x/a-y/b=1，它表示雙曲線.正確解答是：
　　（1）當(dāng)a≠0、b≠0時，所求普通方程為x/a-y/b=1，它表示雙曲線；
　　（2）當(dāng)時a＝0、b≠0時，所求普通方程x=0（y∈R），它表示y軸；
　　（3）當(dāng)時a≠0、b=0，由①得x=（t+）≥a.
　　∴所求普通方程為y=0（x≥|a|或x≤-|a|），它表示x軸上兩條射線；
　　（4）當(dāng)a=b=c時，所求普通方程x+y=0，它表示原點(diǎn).
　　例4.實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=1，求點(diǎn)M（a+b，ab）軌跡.
　　不少學(xué)生常常做出如下解答：
　　設(shè)x=a+b，y=ab，則：
　　1=a+b=（a+b）-2ab=x-2y.
　　∴點(diǎn)M的軌跡是拋物線，其方程為x=2（y+）.
　　其實(shí)，如果能周密審題、深入鉆研，由a+b=1可得（a+b）≤2（a+b）=2，x≤2，就會發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一段，其方程為x=2（y+）（-≤x≤）.
　　五、剖析“可解”的錯題，克服輕信、盲從的思維習(xí)慣
　　有些數(shù)學(xué)題，雖然“可解”，然而由于編題者考慮欠周密，以至成為錯題.剖析這種錯題，對于幫助學(xué)生克服輕信、盲從的思維習(xí)慣，增強(qiáng)思維的批判性大有裨益.
　　例5.一個直角三角形的周長為10，斜邊上的中線長為2，求此三角形的面積.
　　解題能力比較強(qiáng)的學(xué)生常作如下解答：
　　設(shè)兩直角邊長分別為a、b，因斜邊長為4，則：
　　a+b=6①a+b=16 ②
　　①-②，得2ab=20.
　　∴三角形的面積S=ab=5.
　　在上述解答中，將ab作整體處理，解法簡捷.然而，正是這種處理掩蓋了a、b不可能是實(shí)數(shù)這一實(shí)質(zhì).其實(shí)，由a+b=6，ab=10，可知a、b是方程x-6x+10=0的兩個根，由Δ＜0，得a、b不是實(shí)數(shù).至此，我們發(fā)現(xiàn)這道例題是一道錯題.進(jìn)一步深入鉆研，可以推導(dǎo)出直角三角形中，周長p與斜邊長c的關(guān)系是（-1）p＜c＜p/2.在例4中，p=10，c=4，不適合于（-1）p＜c，所以不存在周長為10，斜邊上的中線長為2的直角三角形.
　　作為數(shù)學(xué)教師，我們在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，要善于抓住各種機(jī)會，利用多種形式、持之以恒地注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.