追根索

　　數(shù)學(xué)中的定義、性質(zhì)、定理、公理是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)，是解題思路的源頭。但是這些結(jié)論往往在一定的前提條件下才成立，所以運(yùn)用這些定義、性質(zhì)、定理解題時(shí)一定要注意結(jié)論在什么樣的條件下才成立；由條件能得到結(jié)論，結(jié)論是不是能得到條件，等等。這些限制條件常常伴隨著定義、性質(zhì)、定理推導(dǎo)而產(chǎn)生。因此在數(shù)學(xué)課堂上一定要注重知識(shí)和技能的形成過(guò)程，切忌把公式、定理、性質(zhì)的結(jié)論直接傳授給學(xué)生，對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程輕描淡寫(xiě)，這樣學(xué)生僅僅記住了公式性質(zhì)和定理的結(jié)果，而忽略了對(duì)它成立時(shí)的前提條件和背景，結(jié)果卻在解題中反復(fù)地犯同樣的錯(cuò)誤，跳不出自己錯(cuò)誤的圈子。下面是我在教學(xué)中遇到的一個(gè)案例。
　　在一節(jié)解不等式課上我向?qū)W生出示了這樣一道題：已知函數(shù)f（x）=ax-c，滿足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值及取得最大值和最小值時(shí)對(duì)應(yīng)a，c的值.
　　學(xué)生的解法如下：由題意得f（1）=a-c，f（2）=4a-c
　　因?yàn)?4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，
　　所以-4≤a-c≤-1 ①，
　　-1≤4a-c≤5 ②.
　　所以1≤c-a≤4 ③ 即4≤4c-4a≤16 ④.
　　②+③得0≤3a≤9，∴0≤a≤3.
　　由②+④得3≤3c≤21，∴1≤c≤7
　　又因?yàn)閒（3）=9a-c，∴0≤9a≤27，-7≤-c≤-1
　　所以-7≤9a-c≤26，即-7≤f（3）≤26.
　　所以，當(dāng)a=0，c=7時(shí)f（3）有最值-7；
　　當(dāng)a=3，c=1時(shí)f（3）有最大值26.
　　得出這樣結(jié)果的同學(xué)還沾沾自喜，覺(jué)得自己解得非常的正確。我順勢(shì)把另一種解題過(guò)程展示給他們，要他們比較一下這兩個(gè)解法哪個(gè)是正確的，每一種解法的理論依據(jù)是什么，錯(cuò)的錯(cuò)在什么地方，正確的又因何是正確的。（這樣做的目的是鼓勵(lì)學(xué)生在平時(shí)的解題過(guò)程中要注意知識(shí)的來(lái)龍去脈，不僅要知其然而且要知其所以然，引起學(xué)生對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的重視。）我給出的解法如下。
　　因?yàn)閒（1）=a-c，f（2）=4a-c，
　　因此-1≤f（3）≤20，
　　所以，f（3）的最大值為20，此時(shí)a=3，c=7；
　　f（3）的最小值為-1，此時(shí)a=0，c=1.
　　同學(xué)們經(jīng)過(guò)激烈討論還是得不出最后答案。于是我又給出了第三種解法，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)求解，解法如下.
　　解：由-4≤f（1）≤-1得-4≤a-c≤-1；
　　由-1≤f（2）≤5得-1≤4a-c≤5，
　　即線性約束條件為-4≤a-c≤-1 ①-1≤4a-c≤5 ②
　　目標(biāo)函數(shù)為z=f（3）=9a-c。
　　作出約束條件的可行域：如圖平行四邊形ABCD.
　　作出平行直線系z(mì)=9a-c，c=9a-z，斜率為9.
　　當(dāng)平行直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）時(shí)z最小，最小值為-1；
　　當(dāng)平行直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3，7）時(shí)z最大，最大值為20.
　　所以當(dāng)a=3，c=7時(shí)，f（3）取最大值20；
　　a=0，c=1時(shí)，f（3）取最小值-1.
　　請(qǐng)同學(xué)們分析這種解法是否正確.經(jīng)過(guò)激烈討論后，得出一致結(jié)果：后面兩種解法是正確的（大概是看到后面兩種解法答案一樣，才會(huì)有這樣的結(jié)果）.但當(dāng)我問(wèn)道：第一種解法為什么錯(cuò)，錯(cuò)在哪兒呢？后面的兩種解法為什么對(duì)？它們的各自解題理論依據(jù)是什么？同學(xué)們卻陷入了沉思，遲遲答不出來(lái).
　　事實(shí)上，我們來(lái)比較一下前兩種解法的區(qū)別：前兩種解法都運(yùn)用了不等式的性質(zhì)：a＞b，c＞d，a+c＞b+d（這就是解題的理論依據(jù)）.而學(xué)生的解法是利用同向不等式相加的性質(zhì)，求出a、c各自的范圍后，又利用同向不等式相加的性質(zhì)求出9a-c的范圍，這里就有問(wèn)題了：
　　同向不等式相加性質(zhì)：若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d，
　　但是反過(guò)來(lái)若a+c＞b+d，得不出a＞b，c＞d.
　　這里利用-4＜a-c＜-1，-1＜4a-c＜5求出0＜a＜3，1＜c＜7.反過(guò)來(lái)再利用0＜a＜3，1＜c＜7得出的-7＜a-c＜2，-7＜4a-c＜11已經(jīng)不是原來(lái)的已知條件，所以再利用0＜a＜3，1＜c＜7得出的9a-c的范圍太大了.這就是錯(cuò)誤的真正原因.而在第二種解法中直接運(yùn)用a-c和4a-c的范圍，依據(jù)同向不等式相加的性質(zhì)求出f（3）=9a-c的范圍，這里的解法是正確的.在不等式的8條性質(zhì)中有些條件可以推出結(jié)論，但由結(jié)論得不出條件，這一條就是其中之一，運(yùn)用這些性質(zhì)解題時(shí)一定要注意.
　　而第三種解法是利用線性規(guī)劃的知識(shí)來(lái)解的：作出可行域，移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)，求出最優(yōu)解.這種解法是正確的，因?yàn)椋翰坏仁舰佗诖_定了一個(gè)平面區(qū)域（如圖）由圖可以看出，a和c并不是相互獨(dú)立的關(guān)系，而是由不等式組決定的相互制約關(guān)系。a取得最大（小）值時(shí)，c并不能同時(shí)取得最大（小）值；c取得最大（小）值時(shí)，a并不能同時(shí)取得最大（小）值。而學(xué)生解法的問(wèn)題正在于此，由于忽略了a和c的相互制約關(guān)系，所得出的取值范圍比實(shí)際的范圍要大.利用線性規(guī)劃來(lái)解，整體上保持了a和c的相互制約關(guān)系，因而得出的范圍是準(zhǔn)確的.但是一定要注意約束條件變化時(shí)要進(jìn)行等價(jià)變換.
　　上面的這個(gè)案例給了我太多的思考，“新課標(biāo)”提出的教學(xué)目標(biāo)就是：在平時(shí)的教學(xué)課堂中既要重視知識(shí)與技能的傳授，又要注重情感態(tài)度與價(jià)值觀的培養(yǎng)，更要注意讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)一步掌握求解問(wèn)題的一般方法.