與電子感應(yīng)加速器相關(guān)的一道題的原理及解法

　　在高二的物理練習(xí)中有這樣一個問題：有一個垂直紙面向里的磁場，一個帶正電的離子在紙面內(nèi)做勻速圓周運動（沿逆時針方向，如圖1），現(xiàn)使磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增大，求此離子的動能將如何變化？
　　在教學(xué)的過程中，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)拿到該題后束手無策，都認(rèn)為盡管磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度在增加，可是洛倫茲力總是不對粒子做功，粒子的動能怎么會增加呢？部分同學(xué)認(rèn)為動能變化，但為什么變化？如何變化？還是不能理解。
　　其實，這道題的原理是麥克斯韋電磁場理論中的一條：變化的磁場產(chǎn)生電場——渦旋電場，其“母題”源自是物理教材（人教版選修3—2，2007年1月第二版）P19的電子感應(yīng)加速器，但教材對于電子感應(yīng)加速器的原理語焉不詳，學(xué)生很難理解。我就這一問題進(jìn)行了分析，以求拋磚引玉。
　　1.電子感應(yīng)加速器的結(jié)構(gòu)簡介
　　電子感應(yīng)加速器是由美國物理學(xué)家克斯特（D.W.Kerst）在1940年利用渦旋電場加速電子以獲得高能的一種裝置。
　　圖2中N、S為繞有勵磁線圈的圓形電磁鐵的兩極，在其間隙中安放一個環(huán)形真空室。當(dāng)勵磁線圈中通以頻率為幾十赫茲的交變電流時，電磁鐵便在真空室區(qū)域內(nèi)激發(fā)隨時間變化的交變磁場，使兩磁極間任意閉合回路的磁通量發(fā)生變化，從而在環(huán)形真空室內(nèi)激發(fā)感生電場。當(dāng)電子槍將電子沿回路的切線方向注入真空室，它們在感生電場的作用下便被加速。同時電子還要受到磁場對它的洛倫茲力作用，所以電子將在環(huán)形真空室內(nèi)做圓周運動。
　　2.電子感應(yīng)加速器的原理
　?。?）由于勵磁線圈中通以正弦式交變電流，因此產(chǎn)生的磁場的方向也是不斷改變的（如圖3），故產(chǎn)生的感生電場的方向也是不斷改變的，那么如何使電子在圓形軌道上被加速而不至減速呢？
　　根據(jù)麥克斯韋電磁場理論，變化的磁場產(chǎn)生電場，這個結(jié)論與磁場中是否存在閉合回路無關(guān)。如果磁場中存在閉合回路，導(dǎo)線中的自由電子便在電場力的作用下發(fā)生定向移動進(jìn)而形成電流，為此感應(yīng)電流的方向即為感生電場的方向，因此由楞次定律判斷出感應(yīng)電流的方向，感生電場的方向就明確了。
　　圖3中我們把磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間變化的一個周期分成四個階段，并根據(jù)楞次定律判斷出感生電場方向。為使電子在如圖2所示的情況下加速，感生電場應(yīng)是順時針方向；同時為了使電子得到指向圓心的洛倫茲力，也只有在第一個1/4周期內(nèi)才能做到。綜合這兩個因素，為達(dá)到加速粒子的目的，必須在第一個1/4周期結(jié)束時將電子引出射到靶上。
　?。?）如何使得電子在固定的圓形軌道上穩(wěn)定地加速？
　　當(dāng)電子在軌道上做勻速圓周運動時，洛倫茲力提供向心力，設(shè)電子軌道所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則有：evB=。但當(dāng)電子被加速后，所需向心力將大于磁場提供的洛倫茲力，電子要做離心運動，半徑R將變大，而電子感應(yīng)加速器的軌道半徑是給定的，那么如何才能使電子在固定的圓軌道上加速運動呢？
　　由evB=得：mv=ReB（1）
　　可見，要是電子沿給定軌道做圓周運動，必須使電子動量隨磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增加。如何實現(xiàn)這個條件呢？
　　設(shè)感生電動勢為ε，感生電場為E，則閉合導(dǎo)體回路L上產(chǎn)生的電動勢為：
　　ε=E?dl（2）
　　根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律又有：ε=-（負(fù)號表示感應(yīng)電動勢的方向與磁通量變化的關(guān)系）（3）
　　由（2）（3）可得感生電場為：E=-?
　　根據(jù)牛頓第二定律有：=-eE=?（4）
　　則得：d(mv)=?（5）
　　設(shè)開始加速時，φ=0，電子速率v=0，對（5）式兩邊積分得
　　mv=φ=?πR=eR（6）
　　上式中，φ為穿過電子圓形軌道所包圍面積的磁通量，為電子圓形軌道內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的平均值。比較（1）和（6）式，可得：B=或者=（7）
　　（7）式表明，當(dāng)真空環(huán)形室內(nèi)電子運動軌道所在處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的增加率為電子運動軌道所包圍面積內(nèi)磁場的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間增加率的1/2時，電子能在穩(wěn)定的圓形軌道上被加速。
　　3.本題的解答
　　通過以上分析，我們可以知道，當(dāng)垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度增加時，由楞次定律可知，產(chǎn)生逆時針方向的感生電場，使正離子加速，同時離子運動的軌道半徑將增加（離心運動）。
　　我們還可以讓學(xué)生思考：如果要使該正離子減速，磁場應(yīng)如何變化？
　　可見，隨著新課程改革的不斷深入，與科技相聯(lián)系的實際問題越來越多地出現(xiàn)在我們的考查中，解題的關(guān)鍵是突破新情境，在已掌握知識的基礎(chǔ)上，通過提煉建構(gòu)正確的物理模型，并將知識遷移到新情境、新模型中去。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］王少杰，顧牡.大學(xué)物理學(xué).同濟(jì)大學(xué)出版社，2006.