巧用數形結合解題

　　義務教育階段數學《課標》的總體目標規定：“通過數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗），以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”數學思想方法主要有：符號思想方法，分類討論思想方法，化歸思想方法，數形結合思想方法，函數思想方法，方程思想方法，隨機思想方法，等等。本文著重探討數形結合思想。
　　數與形是現實世界中客觀事物的抽象和反映，同時也是數學的基石。數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”可見數形結合的重要。在中學數學教材中，從始至終都貫穿著數形結合的思想，因此，在數學教學中，數形結合的結果，更有利于學生理解數學知識，一旦學生形成了數形的思想方法，處理數學問題的能力就會更強。
　　1.圖像法
　　數和形是同一事物的兩個方面，數是形的高度抽象，形是數的具體體現，數和形可以互相轉化。一般說來，依形想數，可使幾何問題代數化；由數想形，可使代數問題幾何化，這樣數形結合相輔相成，既有利于培養解題思想，又有利于發展思維能力。
　　例1：二次函數 y=ax+bx+c （a≠0）的圖像如圖所示，下列結論：
　　①a＜0②b＞0③a+b+c＞0 ④＜0
　　其中正確的有（）
　　A.1個 B.2個C.3個 D.4個
　　分析：由圖像及函數的性質知：拋物線開口向下得出a＜0 ，由對稱軸x=-=1知b＞0；當x=1時，頂點的縱坐標y＞0 ，則a+b+c＞0.
　　由拋物線與橫軸有兩交點知：b-4ac＞0.故本題選C.
　　變式：根據圖像判斷點P（a+c，b）在第?搖?搖?搖?搖象限.
　　分析：由圖像知，a＜0，c＜0， b＞0， a+c＜0. 因此，點P在第二象限.
　　2.面積法
　　例2：計算：+++++……+
　　這道題是等比數列題，要直接算有點難，但把它轉化為下列圖形，便一目了然：
　　就是把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，依此進行下去，便可得：
　　+++++……+＝1-
　　3.聯想法
　　數形結合是初中數學中的一種重要的思想方法，有些代數問題看似無從下手，而一旦與圖形聯系起來考慮，常能得到非常新穎、巧妙的解法.
　　例3：已知a、b、c、x、y、z、m均為正數，且a+x=b+y=c+z=m，求證：ay+bz+cx＜m.
　　分析：觀察求證的結論，使我們聯想到矩形和正方形的面積公式，便可構造以m邊長的正方形ABCD，如下圖：
　　由圖可得：
　　S=m，
　　S=ay+bz+cx
　　即：S＜S
　　∴ay+bz+cx＜m.
　　4.圖表法
　　即把表格數值信息與圖形給出的信息有機結合，從而使問題獲解。
　　例4：把立方體的六個面涂上六種不同顏色，并畫上朵數不等的花，各面上的顏色與花的朵數情況列表如下：
　　
　　現將上述大小相同，顏色、花朵分布完全一樣的四個立方體拼成一個水平放置的長方體，如上圖所示，那么長方體的下面共有?搖?搖?搖?搖朵花.
　　分析：本題應抓住立方體大小相同、顏色、花朵分布完全一樣，推測出最右邊一個立方體看不見的三個面的顏色.
　　解：觀察圖形可推知從右至左算：右邊第一個立方體的左面是綠色，右面是紅色，下面是白色，后面是紫色；第二個左黃右紫下綠后藍；第三個左藍右白下黃后綠；第四個左綠右紅下紫后藍.由此可知下底面由白、綠、黃、紫四色構成：4+6+2+5=17（朵）.
　　5.構造法
　　根據三角函數的幾何意義及圖像，促使我們利用圖形解決某些三角函數問題.實際上，恰當構造幾何圖形，對于其他三角問題的解決是很有效的方法.
　　例5：求tan75°的值.
　　分析：由于75°角與15°角互余，又15°角的二倍角30°的三角函數值是特殊的.因此，可構造有15°角的直角三角形.
　　解：如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB到D，使BD=AB，則∠D=15°，∠DAC=75°.
　　設AC＝x，則BD＝AB＝2x，
　　∴BC＝x，
　　∴CD＝（2+）x ，
　　∴tan75°===2+.
　　像這樣利用構造法求75°角的三角函數值，有助于掌握數形結合的數學方法，還有助于開發智力，培養數學思維的靈活性.
　　6.圖示法
　　例6:已知線段AB，在AB的延長線上取一點C，使CA=3AB.（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？
　　分析：本題若不畫圖，不好得到數量關系，但只要把圖畫出，其數量關系就一目了然。由圖可知：（1）2倍；（2）二分之三.
　　例7：如圖1，一只小螞蟻從立方體的頂點A沿表面爬到頂點B，聰明的小螞蟻很快就到達了目的地.問：它共有幾條路線可爬行？
　　分析：將立方體的表面展開成如圖2的平面圖形，畫出對角線AB與不同棱相交于M，N，P，然后將它折回立方體，根據“兩點之間線段最短”，可知折線A—M—B，A—N—B，A—P—B即是小螞蟻爬行的三條最短路線.由“對稱性”，還有一條如圖3中A—Q—B的路線，所以共有4條.
　　數形結合，不僅是一種重要的解題方法，而且是一種重要的思維方法，它在中學數學中占有重要的地位.“數”和“形”是數學研究的兩個側面，它們互相滲透，相互轉化，使得以代數法研究幾何，以幾何法研究代數成為可能.若能把“數”與“形”很好地結合起來，那么一些看似復雜的問題就會迎刃而解.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”