巧用數形結合解題

　　義務教育階段數學《課標》的總體目標規(guī)定：“通過數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗），以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”數學思想方法主要有：符號思想方法，分類討論思想方法，化歸思想方法，數形結合思想方法，函數思想方法，方程思想方法，隨機思想方法，等等。本文著重探討數形結合思想。
　　數與形是現實世界中客觀事物的抽象和反映，同時也是數學的基石。數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”可見數形結合的重要。在中學數學教材中，從始至終都貫穿著數形結合的思想，因此，在數學教學中，數形結合的結果，更有利于學生理解數學知識，一旦學生形成了數形的思想方法，處理數學問題的能力就會更強。
　　1.圖像法
　　數和形是同一事物的兩個方面，數是形的高度抽象，形是數的具體體現，數和形可以互相轉化。一般說來，依形想數，可使幾何問題代數化；由數想形，可使代數問題幾何化，這樣數形結合相輔相成，既有利于培養(yǎng)解題思想，又有利于發(fā)展思維能力。
　　例1：二次函數 y=ax+bx+c （a≠0）的圖像如圖所示，下列結論：
　　①a＜0②b＞0③a+b+c＞0 ④＜0
　　其中正確的有（）
　　A.1個 B.2個C.3個 D.4個
　　分析：由圖像及函數的性質知：拋物線開口向下得出a＜0 ，由對稱軸x=-=1知b＞0；當x=1時，頂點的縱坐標y＞0 ，則a+b+c＞0.
　　由拋物線與橫軸有兩交點知：b-4ac＞0.故本題選C.
　　變式：根據圖像判斷點P（a+c，b）在第?搖?搖?搖?搖象限.
　　分析：由圖像知，a＜0，c＜0， b＞0， a+c＜0. 因此，點P在第二象限.
　　2.面積法
　　例2：計算：+++++……+
　　這道題是等比數列題，要直接算有點難，但把它轉化為下列圖形，便一目了然：
　　就是把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，依此進行下去，便可得：
　　+++++……+＝1-
　　3.聯(lián)想法
　　數形結合是初中數學中的一種重要的思想方法，有些代數問題看似無從下手，而一旦與圖形聯(lián)系起來考慮，常能得到非常新穎、巧妙的解法.
　　例3：已知a、b、c、x、y、z、m均為正數，且a+x=b+y=c+z=m，求證：ay+bz+cx＜m.
　　分析：觀察求證的結論，使我們聯(lián)想到矩形和正方形的面積公式，便可構造以m邊長的正方形ABCD，如下圖：
　　由圖可得：
　　S=m，
　　S=ay+bz+cx
　　即：S＜S
　　∴ay+bz+cx＜m.
　　4.圖表法
　　即把表格數值信息與圖形給出的信息有機結合，從而使問題獲解。
　　例4：把立方體的六個面涂上六種不同顏色，并畫上朵數不等的花，各面上的顏色與花的朵數情況列表如下：
　　
　　現將上述大小相同，顏色、花朵分布完全一樣的四個立方體拼成一個水平放置的長方體，如上圖所示，那么長方體的下面共有?搖?搖?搖?搖朵花.
　　分析：本題應抓住立方體大小相同、顏色、花朵分布完全一樣，推測出最右邊一個立方體看不見的三個面的顏色.
　　解：觀察圖形可推知從右至左算：右邊第一個立方體的左面是綠色，右面是紅色，下面是白色，后面是紫色；第二個左黃右紫下綠后藍；第三個左藍右白下黃后綠；第四個左綠右紅下紫后藍.由此可知下底面由白、綠、黃、紫四色構成：4+6+2+5=17（朵）.
　　5.構造法
　　根據三角函數的幾何意義及圖像，促使我們利用圖形解決某些三角函數問題.實際上，恰當構造幾何圖形，對于其他三角問題的解決是很有效的方法.
　　例5：求tan75°的值.
　　分析：由于75°角與15°角互余，又15°角的二倍角30°的三角函數值是特殊的.因此，可構造有15°角的直角三角形.
　　解：如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB到D，使BD=AB，則∠D=15°，∠DAC=75°.
　　設AC＝x，則BD＝AB＝2x，
　　∴BC＝x，
　　∴CD＝（2+）x ，
　　∴tan75°===2+.
　　像這樣利用構造法求75°角的三角函數值，有助于掌握數形結合的數學方法，還有助于開發(fā)智力，培養(yǎng)數學思維的靈活性.
　　6.圖示法
　　例6:已知線段AB，在AB的延長線上取一點C，使CA=3AB.（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？
　　分析：本題若不畫圖，不好得到數量關系，但只要把圖畫出，其數量關系就一目了然。由圖可知：（1）2倍；（2）二分之三.
　　例7：如圖1，一只小螞蟻從立方體的頂點A沿表面爬到頂點B，聰明的小螞蟻很快就到達了目的地.問：它共有幾條路線可爬行？
　　分析：將立方體的表面展開成如圖2的平面圖形，畫出對角線AB與不同棱相交于M，N，P，然后將它折回立方體，根據“兩點之間線段最短”，可知折線A—M—B，A—N—B，A—P—B即是小螞蟻爬行的三條最短路線.由“對稱性”，還有一條如圖3中A—Q—B的路線，所以共有4條.
　　數形結合，不僅是一種重要的解題方法，而且是一種重要的思維方法，它在中學數學中占有重要的地位.“數”和“形”是數學研究的兩個側面，它們互相滲透，相互轉化，使得以代數法研究幾何，以幾何法研究代數成為可能.若能把“數”與“形”很好地結合起來，那么一些看似復雜的問題就會迎刃而解.
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