運算能力的基本內涵和培養策略

　　數的運算是人們在日常生活中應用最多的數學知識。因此，它歷來是小學數學教學的基本內容。培養小學生的運算能力一直是小學數學教學的主要目的之一，有一定的運算能力也是每個公民具備的基本素養。
　　《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱“課程標準”）在“課程目標”里明確指出：“了解四則運算的意義，掌握必要的運算（包括估算）技能。”在“內容標準”之“數與代數”中，明確把“數的運算”作為第一、二學段的主要內容，并具體提出了“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應減少單純的技能性訓練，避免繁雜計算和程式化地敘述‘算理’”。
　　《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》具體提出了“運算能力”的概念，即“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力還有助于學生理解算理，能夠尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”。
　　一、運算教學的具體目標是什么
　　《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出了關于運算教學的具體目標。
　　第一學段：
　　（1）結合具體情境，體會四則運算的意義。
　　（2）能熟練地口算20以內的加減法和表內乘除法，會口算百以內的加減法。
　　（3）能計算三位數的加減法，一位數乘三位數、兩位數乘兩位數的乘法，三位數除以一位數的除法。
　　（4）會計算同分母分數（分母小于10）的加減運算以及一位小數的加減運算。
　　（5）能結合具體情境進行估算，并解釋估算的過程。
　　（6）經歷與他人交流各自算法的過程。
　　（7）能靈活運用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結果的合理性進行判斷。
　　第二學段：
　　（1）會口算百以內一位數乘、除兩位數。
　　（2）能筆算三位數乘兩位數的乘法，三位數除以兩位數的除法。
　　（3）能結合現實素材理解運算順序，并進行簡單的整數四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。
　　（4）探索和理解運算律，能應用運算律進行一些簡便運算。
　　（5）在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系。
　　（6）會分別進行簡單的小數、分數（不含帶分數）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。
　　（7）會解決有關小數、分數和百分數的簡單實際問題。
　　（8）在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養成估算的習慣。
　　（9）能借助計算器進行較復雜的運算，解決簡單的實際問題，探索簡單的數學規律。
　　二、如何建立四則運算概念
　　首先，應注重在具體情境中體會運算的意義。四則運算是小學數學最基礎的知識，在小學階段，對加法的定義是：“把兩個數合并成一個數的運算。”減法的定義是：“已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算。”乘法的定義是：“求相同加數的和的簡便運算。”除法的定義是：“已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。”這些運算定義雖然在表述上已經比較直觀，但對于低年級的小學生來說，仍是十分抽象的。心理學研究表明，當一個數的運算與代表情境中的物體相聯系時，才能在學生的頭腦中獲得真正的意義。情境可以賦予數以意義，從而使抽象的數成為具體的物體。因此，“結合具體情境”的要求，是符合學生的心理特點和認知規律的。
　　案例1 《加法》的教學（一年級）
　　教材創設了學生熟悉的活動情境圖“折紙游戲”：已經折了1只紅色的紙鳥，2只藍色的紙鳥。
　　教學時，可以組織學生觀察，并說：紅色紙鳥的只數可以用“1”表示，藍色紙鳥可以用“2”表示，一共折的紙鳥只數可以用“3”表示。要求一共有多少只紙鳥，可以把“1”和“2”合并起來，在數學上把這種運算叫做“加法”，寫成“1＋2＝3”。然后讓學生聯系情境說一說“1”“2”“3”和“＋”各表示什么含義。最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學生動手擺學具等活動，逐步形成對加法意義的認識。
　　這樣的教學過程，學生對加法含義的理解，建立在豐富的感性積累基礎之上，在頭腦中形成鮮明的動態表象，從而獲得關于加法運算意義的準確理解。
　　其次，應淡化概念形式，注重數學本質。
　　案例2 《乘法》的教學（二年級）
　　教材通過情境圖，首先讓學生在具體活動中感知“幾個幾”：兔有3個2，雞有4個3；再讓學生用已經學過的連加進行計算：2＋2＋2＝6，3＋3＋3＋3＝12。
　　接著通過操作學具和觀察花片等活動，使學生進一步體驗“幾個幾”：3個5可以寫成5＋5＋5＝15，5個3可以寫成3＋3＋3＋3＋3＝15。
　　然后通過計算桌子上電腦的臺數：2＋2＋2＋2＝8，讓學生懂得“4個2相加，可以寫成2×4＝8或4×2＝8”。同時結合教學乘號、乘數、積等名稱和乘法算式的讀法。
　　這樣的編排和教學，改變了傳統教學中強調“相同加數”“相同加數的個數”“每份數”“份數”“被乘數”“乘數”等形式化的概念，以及設置所謂被乘數和乘數不能調換位置的人為障礙，強化了乘法的本質——同數相加。學生認識乘法的過程，成為了快樂的學習體驗過程，成了理解數學概念本質的過程。
　　三、如何重視口算教學
　　口算也稱心算，是一種不借助計算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結果的計算方式。口算基于個人對數的基本性質和算術運算的理解，口算不僅是筆算的基礎，而且是運算中獨立的一部分，同時口算在日常生活中有著很高的應用價值。因此，口算不僅有實踐意義，而且是數感發展過程中的一個重要部分，口算可以發展高層次的數學思維以及培養解決實際問題的能力。
　　在教學中具體落實“重視口算”的目標，應注重如下兩點：
　　1.在數形結合中理解口算原理
　　數的運算，其實質是對現實生活中物體的個數進行運算，可以說小學階段的每個算式都可以在生活中找到實例。在讓學生理解口算的算理時，除了要與實際情境相結合，還要逐步過渡到數學的語言符號。
　　案例 《整百數加、減整百數》的教學（二年級）
　　首先創設“買電器”的情境：洗衣機500元，電冰箱1200元，電視機800元，電風扇160元。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機和一臺電視機共要多少錢？”列式：500＋800。
　　接著通過呈現具體的人民幣（都是面值百元），引發學生思考：5加8等于13，500＋800＝1300。
　　然后又通過計數器演示：5個百加8個百是13個百，也就是1300。
　　最后讓學生敘說自己的思考和計算過程。
　　這樣的編排和教學，由具體實物（百元人民幣形象地表示計數單位“百”）的操作過渡到半形象半抽象的計數器（百位上算珠操作）演示，再通過學生在頭腦中的表象運演，使學生逐步理解口算的算理（5個百加8個百是13個百，就是1300）。這樣的教學符合學生的思維發展規律：直觀動作思維→具體形象思維→抽象邏輯思維。
　　2.科學合理訓練，強化基本口算
　　在小學階段的口算內容中，兩個一位數相加與其相對應的減法和表內乘法與其相對應的除法是四則運算中的基本口算，俗稱“四張九九表”。這“四表”是一切計算的基礎，務必使學生達到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學中，除了讓學生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓練的科學合理。
　　首先，應重視基本口算方法的教學。小學生口算的方法一般存在三個層次：逐一重新計數→借數加算或減算→按數群運算。在教學基本口算時，要重視讓學生逐步掌握按數群運算的方法。所謂數群，是指學生在計數時能將最后說出的數作為所數過的一群對象的總體來把握。所謂按群計數，就是計數時不以某個物體為單位，而是以數群為單位，如兩個兩個數、五個五個數等等。同時，我們還應該注意，在教學初期為了達到算法指導下的正確計算，可不作計算速度的要求。
　　
　　其次，應注重退位減法與表內除法的思路教學。小學生正處于“具體運算階段”，思維的可逆性剛剛出現，只能進行初步的邏輯推理。而20以內退位減法和表內除法口算在很大程度上依賴于學生的逆向思維。因此，教學口算方法時，要特別強化退位減法和表內除法的基本計算思路（算減想加、算除想乘）的教學，以幫助學生掌握基本方法，同時有意識地培養學生的逆向思維能力。
　　再次，應注意口算訓練科學化。要提供訓練材料，選擇訓練時機，注意訓練方法，考慮訓練周期，做到適時、適量、適度。具體說來，一要注意加強課堂練習，采用講練結合的方式及時鞏固所學口算內容；二要注意練習的針對性，抓住難點反復練習，不能平均用力，甚至出現易題多練、難題少練的現象；三要注意練習形式的多樣化，提高學生口算的積極性，避免簡單的機械重復。
　　四、如何加強估算意識
　　估算具有重要的應用價值，是學生應該具有的重要的計算技能。隨著計算技術的進一步發展，大量的計算并不要求進行精確的計算，一個人在日常活動中進行估算的次數，遠比精確計算的次數多得多。在小學階段的計算教學中，與估算相關的內容很多，如估計商的近似值、試商、估計小數乘法的結果、用估算進行驗算等等。要體現《標準》中“加強估算”的要求，可以著力于以下兩方面：
　　1.培養數感
　　數感是對數和數的關系的一種良好的直覺。在估算中數感主要表現在能在具體情境中把握數的相對大小關系，能為解決問題而選擇適當的算法，能對結果的合理性作出解釋。估算可以發展學生對數的認識，并對數感的培養具有重要的意義，同時，良好的數感又是學生進行估算的必要基礎。除了在教學《數的認識》時要加強數感的培養，在數的運算過程中更應結合具體計算培養學生的數感。
　　2.掌握估算方法，養成估算習慣
　　有研究表明，小學生最常使用的估算方法主要有三種：簡約、轉換和補償。所謂“簡約”，是學生在估算時先把數簡化成比較簡單的形式。例如，估算“495＋310”，把495看做500，把310看做300，這樣估算時即想比較簡單的形式“500＋300”即可。所謂“轉換”，是學生在估算時把一種問題轉換成另一種問題來思考。例如，估算“602＋597＋589”時，把加法問題轉換為乘法問題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所謂“補償”，則是學生在進行簡約或轉換時，進行一些調整，以補償前面運算中的不足，使估算比較準確。例如，“估算‘602＋597＋589’”這一問題，學生在轉換時可能會進一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800，因為我在將每一個數都簡化成600時，用加的部分比用減的更多一些。”
　　此外，還要培養學生的估算習慣。我們在教學中也常常發現，有些學生在計算時會出現一些莫名其妙的錯誤。對此，我們應讓學生養成及時估算檢查的習慣，每做完一道題目，可以先估計一下答案，然后與實際計算所得的答案比較，及時察覺出錯誤并加以更正。
　　五、如何體現算法多樣化
　　《課程標準》在第一學段的“教學建議”中指出：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”要體現“算法多樣化”的思想，應注重以下三方面：
　　1.理解算法多樣化的內涵
　　所謂算法就是指解決各種數學問題的程序與方法，具體包括運算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規則組成，運算方法與解題策略有共性，但兩者也有區別。前者更偏重于技能，可以通過練習獲得，并進而成為技巧，而后者雖然也可進行訓練，但由于問題的信息復雜要有更多的思維。兩者無本質區別，只有層次之差。
　　2.找準算法多樣化的前提
　　現代學習心理學研究表明，實施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎上，否則多樣化就會導致泛化。以學生思維憑借的依據看，可以分為基于動作的思維、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應該提倡優化，而且必須優化，只是優化的過程應是學生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制規定和主觀臆斷的過程，應讓學生逐步找到適合自己的最優算法。
　　3.把握算法優化的標準
　　過去我們僅僅用成人認為唯一合理的方法作為基本算法教給學生。現在我們認為的基本算法是什么呢？其實，基本算法并不是唯一算法，基本算法應該是指同一思維層次上的方法群。以此為基礎，這里提出判定基本算法的三個維度：一是從心理學維度看，多數學生喜歡的方法；二是從教育學維度看，教師易教，學生易學的方法；三是從學科維度看，對掌握后續知識有價值的方法。理想的基本算法是三位一體的，在小學階段，隨著年級的升高對學科維度要求會逐漸增強。
　　從某種意義上說，算法多樣化應是一種態度，是一個過程，算法多樣化不是教學的最終目的，不能片面追求形式化。老師不必煞費苦心“索要”算法的多樣化，也不必為了體現多樣化，刻意引導學生尋求“低思維層次算法”。即使有時是教材編排的算法，但在實際教學中學生中沒有出現，即學生已經超越了的“低思維層次算法”，教師可以不再出示，沒有必要走回頭路。
　　總之，運算是一種智力操作技能，而知識轉化為技能是需要過程的，運算技能的形成具有自身獨特的規律。學生運算技能的形成一般要經歷四個階段，即：認知階段、分解階段、組合階段、自動化階段。認知階段主要是讓學生理解算理、明確算法，這比較容易做到，而后面三個階段常常被老師們忽視。一般說來，復雜的計算技能總是可以分解為單一技能，對分解的單一技能進行訓練并逐漸組合，才能形成復合技能，再通過綜合訓練就可以達到自動化階段。在進行運算教學時，應該從數學教育本質的角度出發，在大膽創新的同時，吸取傳統教學的優勢，促進運算教學的深入改革，為切實提高學生的運算能力和數學素養打下基礎。