例談微元法在高中物理解題教學(xué)中的巧妙運(yùn)用

章智達(dá)

【摘要】本文針對微元法在高中物理解題教學(xué)中的運(yùn)用為研究對象，同時(shí)分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】微元法 高中物理 解題教學(xué)

微元法是分析與解決物理問題的一個(gè)常用方法，也是從部分到整體的一種思維方法，即為在整個(gè)問題中找到部分有價(jià)值且細(xì)微部分作為分析對象，利用從微處入手來解決物理問題的一種方式.

1 巧妙運(yùn)用微元法解答運(yùn)動(dòng)學(xué)試題

運(yùn)動(dòng)學(xué)屬于高中物理課程體系中的基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)生步入高中以后，最先接觸的部分就是運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，雖然難度一般，但是與初中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)之間的跨度較大，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)難度較大，教材中通過圖示方式指出v－t圖像中的陰影部分面積即為總位移，部分同學(xué)往往理解存在偏差，運(yùn)用時(shí)錯(cuò)誤頻頻，教師可引領(lǐng)他們借助微元法，使其優(yōu)化解題思路[1].

例1 有一只狐貍在速度v1不變的情況下沿著直線AB進(jìn)行逃跑，獵犬則以速度v2不變的情況下進(jìn)行追趕，其運(yùn)動(dòng)方向一直同狐貍保持一致.某時(shí)刻，當(dāng)狐貍位于F處時(shí)，獵犬位于D處，且FD⊥AB，F(xiàn)D＝L，如圖1（甲）所示，那么獵犬的加速度大小是什么？

分析 因?yàn)楂C犬的運(yùn)動(dòng)方向一直同狐貍保持一致，以速度v2保持不變，這說明獵犬在做勻速曲線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合向心加速度公式a=v22/r可知，r為獵犬所在的曲率半徑，因?yàn)閞是在不停變化著的，那么獵犬的加速度方向與大小同樣持續(xù)變化，求獵犬位于D處時(shí)的加速度大小，就需要求解處此時(shí)的曲率半徑.

詳解 因?yàn)楂C犬是在做勻速曲線運(yùn)動(dòng)，大小與方向均不停變化，那么在所求時(shí)刻開始一段很短的時(shí)間Δt內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)軌跡能夠視為一個(gè)圓弧，此時(shí)設(shè)圓弧半徑是R，則獵犬的加速度大小是a=v22/R，因?yàn)楂C犬的加速度方向與速度方向是垂直關(guān)系，如圖1（乙）所示，在Δt時(shí)間內(nèi)，當(dāng)狐貍位于F′處時(shí)，獵犬位于D′處，其速度方向變化的角為α=v2Δt/R，狐貍跑過的距離是v1Δt≈αL，所以v2Δt/R≈v1Δt/L，R=v2/v1L，所以獵犬的加速度大小是a=v22/R=v1v2/L.

2 巧妙運(yùn)用微元法解答功和能試題

在高中物理課程教學(xué)中，能量守恒定律作為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的關(guān)鍵定律之一，一些題目中通常以變力做功的形式出現(xiàn)，以研究功與能的關(guān)系為主，不少學(xué)生見到此類題目都不知所措，難以確定解題方案，教師可指導(dǎo)他們結(jié)合功和能量之間的轉(zhuǎn)化進(jìn)行研究，使其借助微元法且結(jié)合函數(shù)相關(guān)知識(shí)制定解題方案，最終進(jìn)行理性作答，快速、準(zhǔn)確的得到試題結(jié)果[2].

例2 某人以初速度v0將一個(gè)質(zhì)量為m的小球沿著豎直方向往上拋出，假如該小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力同速度為正比關(guān)系，其中速度與時(shí)間之間的變化規(guī)律如圖2所示，當(dāng)這個(gè)小球往上運(yùn)動(dòng)t1時(shí)間時(shí)處于最高位置，之后就開始勻速下落，落地時(shí)的速度為v1，求（1）這個(gè)小球從拋出去一直到落地整個(gè)過程中克服空氣阻力所做的功是多少？（2）該小球被拋出時(shí)的瞬間加速度是多大？（3）這個(gè)小球達(dá)到的最大高度是多少？

分析 該題目中的前兩問可直接套用公式推導(dǎo)解決，不多加贅述，第（3）問應(yīng)結(jié)合牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律找出加速度的表達(dá)式，隨后利用微元法解決，對時(shí)間t取“微元”.

詳解 （3）結(jié)合牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律能夠得知小球上升時(shí)的加速度a=－g－kv/m，對時(shí)間t取“微元”，即為Δt，則速度變量為Δv，Δv=aΔt=－gΔt－k/mvΔt，而且vΔt=Δh，通過對公式兩邊對等進(jìn)行求和，可以得到∑Δv=－g∑Δt－k/m∑Δh，整理以后求和，可以得到小球上升的最大高度是H=（v0－gt1）v1/g.

3 巧妙運(yùn)用微元法解答動(dòng)量類試題

動(dòng)量是經(jīng)典力學(xué)中的重要概念之一，是對質(zhì)量和速度之間乘積的表示.針對高中物理解題教學(xué)來說，學(xué)生往往會(huì)碰見部分變速?zèng)_擊類的試題，由于難以準(zhǔn)確找到因?yàn)樗俣茸兓鴮?dǎo)致動(dòng)量中對質(zhì)量的分析產(chǎn)生偏差，自然無法正確解題，教師可指引他們巧妙應(yīng)用微元法達(dá)到“化變?yōu)楹恪钡淖饔茫蛊渫ㄟ^時(shí)間取“微元”將變速?zèng)_擊問題轉(zhuǎn)化為恒定速?zèng)_擊問題.

例3 某地有一根質(zhì)量為M、長度為L的鐵鏈，豎直懸掛起來時(shí)，尾部剛好與地面水平接觸，然后將鐵鏈松開自由落地，設(shè)鐵鏈下落長度為x，此時(shí)鐵鏈對地面產(chǎn)生多大的壓力？

分析 當(dāng)這根鐵鏈自由落地時(shí)，對地面產(chǎn)生的壓力主包括自身重量和落地過程中出現(xiàn)的壓力，根據(jù)牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律可知，鐵鏈對地面產(chǎn)生的沖擊力同地面對鐵鏈的反作用力大小一樣，這個(gè)力會(huì)在鐵鏈不斷下落和長度增加過程中發(fā)生變化，對地面產(chǎn)生的沖擊力也隨著時(shí)間變化動(dòng)量會(huì)不斷改變，取時(shí)間“微元”能把變速?zèng)_擊轉(zhuǎn)變成恒速?zèng)_擊.

詳解 如果這根鐵鏈剛開始下落的時(shí)刻為t=0，此時(shí)落到地面上的長度為x，沒有同地面接觸部分的速度為v，設(shè)鐵鏈密度為ρ，當(dāng)鐵鏈落地后速度變?yōu)?，取時(shí)間“微元”Δt，那么在Δt內(nèi)，這根鐵鏈落到地面上的質(zhì)量為ΔM=ρΔx，地面對ΔM產(chǎn)生的沖量為（F－ΔMg）Δt=Δρ=ρvΔx，以此求出沖力大小，然后結(jié)合鐵鏈在t時(shí)刻下落長度為x的瞬時(shí)速度，并根據(jù)v=Δx/Δt，即可求得鐵鏈對地面產(chǎn)生的壓力大小為N=3Mgx/L.

4 巧妙運(yùn)用微元法解答電磁學(xué)試題

電磁學(xué)在高中物理教學(xué)中是難點(diǎn)之一，教師可引領(lǐng)學(xué)生巧妙應(yīng)用微元法，對題目中一些復(fù)雜或者龐大的電磁事物進(jìn)行分割或拆解，由此降低試題難度，助推他們輕松解答電磁學(xué)試題[3].

例4 一個(gè)圓環(huán)的帶電量為+Q，圓環(huán)外存在一個(gè)點(diǎn)電荷，其帶電荷量為+q，而且點(diǎn)電荷的位置是在穿越圓環(huán)中心的一直線之上，設(shè)該圓環(huán)的圓心點(diǎn)為O，過圓心直線為AO，點(diǎn)電荷與圓心之間的距離為L，那么點(diǎn)電荷受到的電場力是多大？

分析：本題能夠直接采用微元法，先將帶電圓環(huán)“分割”成若干個(gè)點(diǎn)電荷，再根據(jù)每一個(gè)點(diǎn)電荷上面的電荷量大小求出具體的電場力.

詳解 假設(shè)帶電圓環(huán)上每一個(gè)“元過程”的帶電量都為N，那么點(diǎn)電荷是q'=Q/N，結(jié)合庫侖定律可知，各個(gè)微元電荷與q之間的庫侖力水平分量的和，從而可以求得點(diǎn)電荷受到的電場力大小為k=QqL/（L2+R2）3/2.

5 結(jié)語

總而言之，在高中物理解題教學(xué)實(shí)踐中，微元法是一個(gè)既常用、又簡便的解題方法，有著廣泛的應(yīng)用空間，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體題目內(nèi)容巧妙運(yùn)用微元法，使其把握好微元法的精髓，找準(zhǔn)題目中的細(xì)微之處，從“微”視角切入，達(dá)到從“微”到大的解題效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉洋.解題有法 游刃有余——微元法在高中物理解題中的妙用[J].理科愛好者，2022（06）：33-35.

[2]臧凱泉.微元法在高中物理解題中的有效應(yīng)用研究[J].數(shù)理化解題研究，2022（21）：70-72.

[3]張立強(qiáng).“微元法”在高中物理解題中的應(yīng)用探索[J].數(shù)理化解題研究，2022（21）：73-75.