培養發散思維的一例“一題多解”題

　　摘要：重視“一題多解”問題，培養發散思維。
　　關鍵詞：學生；發散思維；一題多解
　　
　　發散思維是指人們解決問題時，從某一特定目標出發，思維向外輻射，沿著各種不同的途徑和方向，從多角度、多方面思考、想象，從而探索出多種多樣的設想和解決問題的辦法，即產生出大量的獨特的新思想。發散思維可以使人的思路活躍，提出各種各樣的待選方案，特別是它能提出出乎意料的獨特見解。發散思維要求善于聯想、思路寬闊；要求善于分解組合、引申推導、靈活變通。
　　在數學教學中，教師應重視用各種方式對學生進行發散思維能力的培養。對典型習題采用“一題多解”教學，對鞏固基礎知識，提高基本技能，溝通知識的聯系，激發學生濃厚的學習興趣，調動學生學習思維積極性，培養學生發散性思維，能起到立竿見影的作用。對典型習題通過“一題多解”教學，不僅能改變教師講什么學生就用什么思考的思維定式，拓寬學生的思路，去尋求多種途徑的解法，而且能促使學生多方位、多層次地思考和分析。因此，教師對典型習題應用“一題多解”教學時，要引導學生對多種方法進行比較，優化解題方法，并注意找出同一問題存在各種解法的條件與原因，挖掘其內在規律。
　　在數學教學中，教師只有重視并在平時多提供“一題多解”的問題，才能有利于發散思維能力的培養。下面，我們就舉一例“一題多解”題進行分析。
　　例題：設f(x)=，a，b∈R且a≠b。求證：|f(a)-f(b)|＜|a-b|。
　　1. 利用不等式證明中常用的分析法、綜合法、放縮法等進行證明
　　解法一：分析法。欲證：|f(a)-f(b)|＜|a-b|，
　　只需證(-)2<(a-b)2，
　　 即1+a2+1+b2-2　　 1+ab<， 又∵1+ab≤|1+ab|，
　　只需證|1+ab|≤，
　　 兩邊平方得 1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2，
　　 即證2ab　　 而 a≠b時，上式顯然成立。
　　 故原不等式成立。
　　 解法二：綜合法。∵a≠b，∴2ab　　 可得1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2，
　　 有|1+ab|≤，又∵1+ab≤|1+ab|，
　　 ∴ 1+ab<，
　　 可得1+a2+1+b2-2　　 ∴(2-2)2<(a-b)2，
　　 即 |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立。
　　 解法三：放縮法。
　　 |f(a)-f(b)|=|-|
　　 =<
　　 =≤=|a-b|，
　　 ∴ |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立 。
　　 2. 利用平面解析幾何知識進行證明
　　解法五：解析法。在平面直角坐標系內取點C（1，0），在y軸上取點A（0，a），B(0，b)，由于 a≠b因此A、B、C三點構成三角形。
　　在△ABC中，||AC|－|BC||＜|AB|，
　　即|-|<|a-b|，
　　∴ |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立。
　　3. 利用復平面中復數的知識進行證明
　　解法六：復數法。設α=1+1+ai，β=1+bi，由于a，b∈R且a≠b，因此復數α、β在復平面內所對應的點與原點O不共線。
　　 故有||α|-|β||＜|α-β||。
　　 而|α|=，|β|=，|α-β|=|(a-b)i=|a-b|，
　　 ∴ |-|<|a-b|，
　　 即 |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立。
　　4. 利用三角知識進行證明
　　解法七：三角法。設a=tanα，b=tanβ，α≠β，