映射\\逆映射與函數方法探析

　　摘要：映射、函數是數學中最基本、最重要的概念，通過從映射、函數的定義出發，指出它們的區別與聯系，結合實例以更好地理解映射和函數的概念。
　　關鍵詞：對應；映射；函數；區別與聯系
　　
　　為了使初學者更好地認識映射、函數的概念。本文將從定義出發，找出它們間的區別和聯系，以求對初學者有所幫助。
　　一、對應
　　在數學本身及日常生活中，許多數的對象和事物之間都可以看成一種對應。
　　如：實數與數軸上的點；坐標平面內的點與一對有序數（x，y）；某一學生與他的學號；某劇院觀眾與其所在的座位等都可以看成是一種對應。
　　對于兩個集合A與B對應是其中一種對應。對于A中每一個元素有以下三種情況：
　　⑴B中有唯一元素與之對應；⑵B中有不止一個元素與之對應；⑶B中設有元素與之對應。
　　同樣對于B中的每一個元素也有以上三種情況。
　　二、映射
　　映射包括了一一映射和一一映射逆映。
　　映射：一般地設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的任何元素，在集合B中都有唯一元素和它對應，這樣對應叫做集合A到B的映射。記為f：A→B。
　　而一一映射，盡管也是映射，但它和映射還是有一定的區別。一一映射是在映射的條件下還須具備以下兩個條件：一是集合A中不同的元素在B中有不同的像；二是集合B中的每一個元素在集合A中都要有原像。從而集合A與B間的元素就構成了一一對應。這種映射叫做一一映射，顯然一一映射是映射下的一種特殊情形。
　　映射的概念可以理解為下述三點：
　　⑴集合A中每一個元素必須是唯一的；⑵對于A中不同的元素，在B中可以有相同的像；⑶允許B中元素沒有原像。
　　在映射中必須要引起注意的是：
　　⑴映射中集合A與B可以是數集也可以是點集，也可以是物，也可以是其他；⑵A中兩個（或N個）元素可允許有相同的像；⑶集合A與B也可以是同一個集合。
　　舉例說明：
　　例1 設A=｛X∈ X∈R+｝，B=｛Y｜ Y∈R｝，f：x→y=是否為A到B的映射？
　　解：因為對于A中任一元素X都有B中的兩個元素與與之對應，所以根據上面⑵，故它們不是映射。
　　這是根據映射的概念，只要對于集合A中都有B中唯一的元素與之對應即可。也就是說在映射中是允許“多對一”，但不允許“一對多”。
　　例2 設集合A=｛a，b｝，B=｛c，d｝，從A到B可以建立多少種不同的映射？
　　解：用圖示法。
　　以上四個圖都滿足映射的條件，所以它們可以建立4種不同的映射。
　　逆映射：在一一映射下，集合A與B間的元素之間構成了一一對應的關系。我們要注意到，對于這一種對應就可以構成兩個映射：一個是由A到B的映射，一個是由B到A的映射。
　　對于這樣的兩個映射，其中一個映射是另一個映射的逆映射。逆映射有時也稱為“反演”，通常記為f-1：B→A。
　　例3 試證明：f：X→Y=1+lgX，A=R+，B=R，是從集合B的一一映射，并給出逆映射。
　　證明：
　　(1)設X∈R+，則Y=1+lgX∈R，且唯一確定，∴f：R+→R構成映射。
　　(2)設任意的X1，X2∈R+，且X1≠X2，由f可得：Y1=1+lgX1，Y2=1+lgX2，
　　而Y1-Y2=lgX1-lgX2=lg≠0，∴Y1≠Y2，即A中不同的元素在B中有不同的像。
　　(3)設Y3∈R，令Y3=1+lgX3，得X3=10y3-1∈R+。
　　這說明B中的一個元素在A中都有原像。由(1)(2)(3)可知，f:X→Y=1+lgX是從集合A到集合B的一一映射。
　　逆映射為：f-1：Y→X=10Y-1Y∈R，X∈A。
　　當然，并不是任何數學對象或其他事物及現象的對象都能構成映射的關系。
　　由映射的概念，映射一般地應具備以下的條件：
　　⑴映射f必須是兩類數學或其他對象之間的一一對應關系。
　　⑵映射f必須是可定映的，也即目標映象能通過確定的有限多個數學手續從映象關系結構系統中尋求出來。
　　⑶相對的逆映射，必須具有能行性。也即通過目標映像能將目標原像的某種需要的性態，經過有限次的步驟確定下來。
　　三、函數
　　函數的定義可分為傳統的定義和近代的定義。為了與前面的映射的概念更好聯結，這里只介紹函數的近代定義。
　　函數的（近代）定義：設A、B都是非空的數集，f是從A到B的一個對應法則，那么，A到B上的映射f：A→B就稱為A到B上的函數。記作Y=f（X），其中X∈A，Y∈B，原像集合A叫做函數f（X）的定義域，像集合叫做函數f（X）的值域。
　　兩個集合A、B要構成函數關系，必須具備以下三個要素：
　　⑴定義域A；⑵值域C；⑶對應法則f三要素缺一不可。可見，函數是一種特殊的映射。但函數必須滿足A、B是非空集合，其次函數Y=f（X）其像的集合不一定是B，其像的集合應該是B的子集。
　　四、映射與函數的區別與聯系
　　相同點：⑴A中的元素具有任意性，B中的元素具有唯一性；⑵函數和映射都是兩個非空集合的對應關系。
　　不同點：⑴映射中的兩個集合的元素除了數之外還可以是其他的對象，函數的元素必須是數；⑵類似于映射，對于集合A中的元素X，B中的元素Y，X與Y也不一定存在著函數的關系。
　　如：問Y=1n（-X2）是函數嗎？為什么？
　　答：由對數的定義可知對于任何的X所確定的數值，Y都沒有確定的數值與之對應。或者說，要使Y有意義，必須-X2＞0，這是不可能的。所以Y=1n（-X2）不符合函數的定義，故不是函數。
　　映射、函數是數學中的重點內容，后續課程的學習都是以映射和函數為基礎展開，進行更廣泛的函數領域的討論，因此在學習中一定要掌握一定的學習方法。由于函數是映射的一種特殊情況，在學習中只有學會對概念的比較，善于歸納共同點和不同點，才能更好地理解和掌握。
　　
　　參考文獻：
　　[1]黃翔.數學方法論選論[M].重慶：重慶大學出版社，1995.
　　
　　 （金華廣播電視大學）