中學數學競賽中的參數問題

　　參數問題是目前中學數學教學的熱門課題，常常出現在各類考試和競賽中.本文以數學競賽中有關參數的題目為實例，歸納總結在含參不等式、函數、方程中，求解參數取值范圍問題的基本解法，并對其中滲透的數學思想方法進行簡單的探索研究.對于有些競賽題，如果利用參數解題，有時會顯得十分靈活便利.本文還對參數在解數學競賽題中的輔助作用進行簡單的分析，并對引入參數解題的題型進行簡單的概括.
　　1.參數的取值問題
　　求解參數取值范圍的這類問題涉及的知識面廣，內容豐富.下面從含參數不等式、函數、方程三方面對求參數的解法進行討論.
　　1.1含參數的不等式.
　　1.1.1利用基本不等式≥（a≥0，b≥0），它常用于證明不等式，以及求某些函數的最大值或最小值.
　　例1：（2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區復賽）已知不等式（x+y）+≥9對于任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為（）。
　　（A）2 （B）4 （C）6 （D） 8
　　解：因為（x+y）+＝1+a++≥1+a+2，所以1+a+2≥9恒成立，即（）≥9，解得a≥4.
　　1.1.2構造輔助函數.
　　構造輔助函數是解不等式問題的常用方法，就是從新的角度，用新的觀點觀察分析對象，依據已知條件的特點，構造出一種新的形式，使問題中隱蔽的關系和性質清楚地展現出來，從而簡捷地解決問題.將不等式問題通過變形轉化為函數問題，利用函數的相關性質比如單調性、周期性，以及函數的圖像來研究，從而解決不等式問題.
　　例2：（第12屆“希望杯”高二培訓題）已知a∈R，則|a|≤1使不等式x+（a-4）x+4-2a>0，對于所有的a都成立的x的取值范圍是?搖?搖?搖?搖.
　　分析：原不等式即為（x-2）a+x-4x+4>0.
　　令g（a）=（x-2）a+x-4x+4，則g（a）>0對a∈［-1，1］恒成立.
　　∴ g（1）>0g（-1）>0，解得x>3或x<1.
　　觀察例2，發現對于有些問題，若經過簡單變形后，把參數分離出來使其為主元，構造出以原式中的未知數為自變量的函數，再抓住函數的結構特征得出結論.
　　若分離出的參數恒大于（或小于）某個函數，則可設法求出該函數的最值，進而確定參數的范圍;若分離出的參數可表示為主變量的函數，則可以求考慮該函數的值域，從而得到參數的取值范圍;若分離出的參數具有明顯的幾何意義，則可以用數形結合來解題.
　　1.1.3構造方程，利用方程的性質求解.
　　例3：（同例2）
　　解：構造二次方程x+（a-4）x+4-2a=0，則其根為x=2，x=2-a.
　　因為-1≤a≤1，所以1≤x≤3.
　　因為不等式x+（a-4）x+4-2a>0對于滿足-1≤a≤1的一切實數恒成立，故所求的x范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）.
　　1.2含參數的函數
　　求函數的解析式中或區間上的參數的值是一類難度較大的題型，下面通過幾個例題分析求解策略.
　　1.2.1利用函數的相關性質解題，使函數的重要性質（如單調性、奇偶性、周期性、最值、凹凸性）有用武之地.
　　例4：（2008年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽）已知函數f（x）=-2x+bx+c在x=1時有最大值1，0　　解：由題意有f（x）=-2（x-1）+1，則f（x）≤1?圯≤1?圯m≥1.故f（x）在［m，n］上單調遞減.所以，f（m）=-2（m-1）+1=，且f（n）=-2（n-1）+1=.
　　所以，m，n是方程f（x）=-2（x-1）+1=的兩個解，解得x=1，，.
　　又1　　1.2.2利用不等式.
　　例5:（2007全國高中數學聯賽天津賽區）已知a，b（a≤b）為正整數，實數x，y滿足x+y=4（+）.若x+y的最大值為40，則滿足條件中的數對（a，b）的個數為（）.
　　分析：x+y=4（+）≤4，
　　故（x+y）-32（x+y）-32（a+b）≤0，x+y≤16+4，
　　得16+4=40，可知a+b=10.下略.
　　1.2.3利用導數.
　　例6：（2007年“希望杯”試題）已知奇函數f（x）=在區間（-∞，-1）上單調遞增，且f（1）=2，f（2）<4，則c=?搖?搖?搖?搖，b的取值范圍是?搖?搖?搖?搖.
　　解：因為f（x）=是奇函數，所以=-.
　　于是c=0.由f（1）=2得，=2，即a=2b-2.
　　由f（2）<4，f（2）===4-<4，所以b>0.
　　又因為f（x）在區間（-∞，-1）上單調遞增，所以f′（x）==->0在x∈（-∞，-1）上恒成立.即當x∈（-∞，-1）時，b>1+恒成立，所以b≥2.故c=0，b的取值范圍是［2，+∞）.
　　1.3含參數的方程
　　1.3.1直接利用求根公式.
　　1.3.2利用判別式.
　　例7:（2008年上海市杯高二數學競賽）設分別投擲A、B兩顆骰子所得的點數順次為a、b，則使得關于x的二次方程x-2（a-3）x-b+9有實數解的數對（a，b）共有?搖?搖?搖?搖個.
　　分析:由方程有實數解知Δ≥0，有a-6a+b≥0，由此得到a、b的關系.
　　因為a、b只可能取1，2，3，4，5，6，所以分別取a=1，2，3，4，5，6，再求出符合條件的b.解得答案為26.
　　對給定的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），則
　　（1）方程有異號兩根的充要條件是ac<0，
　　（2）方程有兩正根的充要條件是Δ=b-4ac≥0，ab<0，ac>0，
　　（3）方程有兩負根的充要條件是Δ=b-4ac≥0，ab>0，ac>0.
　　1.3.3利用韋達定理.
　　方程的根與系數的關系是方程的一個重要性質，它與求（最）值問題、方程的整數根問題，求參數的取值范圍問題、根的分布等都有關系.在求與一元二次方程根有關的問題時，要從整體上把握住兩根之和、兩根之積，然后結合其他知識綜合求解.
　　例8:（2004年第1期數學奧林匹克）求出所有的實數a，使得關于x的一元二次方程5x-5ax+66a-1=0的兩個根都是整數.
　　分析：設方程的兩個整數為x，x（x≤x）.
　　由韋達定理有x+x=axx=.
　　消去a，化簡得5xx=66（x+x）-1.
　　不難得到，（5x-66）（5x-66）=4351=19×229.下略.
　　以上是對在不等式、方程、函數中求解參數范圍的基本解法的概況.當然除了以上介紹的方法外，因問題給出的題設條件不同，還會有其它的一些解法，有待于我們去研究與探索.
　　通過比較前面所介紹的方法，我們不難發現不等式、函數、方程之間緊密相關，可以相互轉化，比如通過構造函數來解決不等式、方程中的參數問題，利用不等式來解決函數中的參數問題等，所以通過總結與比較，下面談談在求參數時數學思想方法的運用.
　　1.4數學思想方法的運用
　　1.4.1函數思想.
　　因為函數、方程、不等書之間有著緊密的聯系，所以在解答不等式、方程的參數問題時，不妨構造適當的函數，利用函數的相關性質來解決，往往有事半功倍的作用.
　　1.4.2換元思想.
　　換元是數學中一種重要的思想方法，將題中的參數有選擇的進行代換，使一些復雜的問題簡單化.
　　1.4.3數形轉化.
　　數和形是數學中最基本的兩大概念，在一定條件下數和形可以相互轉化，借助圖形可以使許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化.運用數形結合的思想，根據參數問題的條件和結論之間的內在聯系，尋找解題思路，使問題化繁為簡，從而得到解決.
　　
　　1.4.4轉化思想.
　　將陌生的問題轉化為熟悉的問題，或對不易直接求解的問題轉化為其等價的命題，從而使問題得到解決，比如將不等式問題轉化為函數問題，利用函數來解決.
　　1.4.5分類思想.
　　所謂分類思想指將被研究的某個數學問題視為一個整體，然后根據一定的劃分標準，將整體分為幾部分，通過對這幾個部分問題的解答，得到原整體問題的解答.通過分類，能把復雜問題化為單一的簡單問題，從而解決問題.
　　2.引入參數解題
　　對于某些競賽題，如果直接來解會顯得比較繁瑣，但是通過恰當地引入參數參與運算，往往可以使思路清晰過程簡便.
　　2.1參數在解競賽題中的幾個輔助作用
　　例9:（2007年全國高中數學聯賽陜西賽區）已知a，b∈，1.求證：+≤.
　　證明：
　　（方法一）∵a，b∈，1，∴b∈，，2b∈［1，2］.
　　∴a≤2b，a≥b，即2a≥b，
　　∴（a-2b）（2a-b）≤0，即2（a+b）≤5ab，
　　兩端同時除以2ab，得+≤.
　　（方法二）令t=，則t∈，2，從而+=t+.
　　因為f（t）=t+在，1上單調遞減，在［1，2］上單調遞增，所以當t=或t=2時，f（x）=，命題得證.
　　以上對例題使用了不同的方法來解答，可以看出如果恰當地引入輔助參數來解題，不僅對揭示題設中的隱蔽條件及各條件的相互關系具有十分重要的作用，而且能很巧妙地解答問題.由此可以概括出以下內容.
　　2.1.1簡化作用.
　　通過用參數去替換局部或整體，使命題結構發生改變，把一些復雜的結構簡單化，抽象的問題具體化，這樣有利于思考和解決問題.
　　2.1.2橋梁作用.
　　引入參數，恰到好處地溝通已知與未知條件之間的聯系，為我們順利地解答問題提供了線索，巧妙地將問題轉移，比如在證明不等式問題中，可以通過引入參數，把證明問題轉化成對參數的討論來解決.
　　2.1.3轉化作用.
　　參數可以改變原來問題的形式和要求，將原命題等價地轉化成另一個命題，向我們熟悉的方向轉化，有利于我們解決問題.
　　2.2應用參數解題的題型
　　通過分析，可以看出參數在解題的過程中具有十分顯著的功效，那么，在什么類型的題目中采用參數來解題會更加方便呢？
　　2.2.1在有關分式問題中，不妨先考慮運用參數.
　　（1）題設中的分式是以連比的形式出現.例如：
　　若==，求的值.
　　（2）題設中有兩個分式互為倒數.
　　（3）對于有些較復雜的分式，如果采用通分變形會使問題變得更加復雜，為了方便計算簡化過程，可以用字母代替變量進行換元.部分換元是以新的變量代換原題中的某一部分，將原題轉化為另一種形式；整體代換是從整體角度考慮問題，抓住問題與其它知識的聯系，以新的變量代換原命題.
　　2.2.2證明不等式的問題.雖然不等式的證明方法因題而異，靈活多樣，技巧性強，但是利用參數證明不等式卻是其中相對來說比較簡便的.
　　2.2.3若通過采用換元引參降低變元次數或將無理式有理化，則可以設參數解題.例如：
　　計算時，可以令x=，
　　則x=6+=6+x.
　　2.2.4若題設中涉及到曲線方程，則可以先考慮設參數方程，利用參數方程可以求動點的軌跡方程、變量的范圍及最值問題等.
　　幾種常見的參數方程：
　　（1）一般曲線的參數方程：x=f（t）y=f（t）（t為參數）
　　（2）過定點p（x，y），傾斜角為α的直線的參數方程是：x=x+tcosαy=y+tsinα（t為參數）
　　（3）圓C：（x-x）+（y-y）=r的參數方程是：x=x+rcosαy=y+rsinα（α為參數）
　　（4）橢圓C：b（x-x）+a（y-y）=ab的參數方程是：x=x+acosθy=y+bsinθ（θ為參數）
　　2.2.5求函數的值域問題.
　　2.2.6在某些應用題中常常有多個未知量，但并非都是題目要求的，有的未知量只起到動態描述的作用，卻同要求的未知量密切相關，這種未知量叫做動態未知量.解這類含有動態未知量的應用時就要采用參數法，一般將動態未知量設為參數.
　　以上是對參數法在解題時的應用的簡單分析，可見參數法不僅是一種數學方法，而且是一種數學思想，有著不容忽視的意義.
　　綜上所述，可以看出參數問題涉及了多方面的知識，內容豐富，有利于培養學生的創造性思維.通過對求解參數范圍問題基本方法的概括，對滲透的數學思想方法的簡單的探索研究，以及對參數在解數學競賽題中輔助作用的分析，不只能對基礎知識加以鞏固，同時還能加深對參數的理解，從而更好地應對競賽中的相關參數范圍問題.
　　
　　參考文獻：
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”