微積分在初等數學中的應用

　　導數是微積分的一部分，是微積分中的一個重要概念，是以極限為基礎的.在初等數學中給出了極限、導數的概念和一些相關的結論，但并沒有用系統(tǒng)的理論知識推導及證明.但導數在初等數學中確實處于特殊的地位，也可以說是一種解決某些問題的重要工具.本文就是利用導數的基本知識來解決初等數學中的幾個問題.在教學中，有機結合教材，適當講授一些用導數解決一些數學題，不僅能夠鞏固和加深學生對導數概念的理解，而且對培養(yǎng)學生開闊思路，提高解題能力也是有益的.
　　一、判斷函數的單調性
　　函數的單調性是函數最基本的性質之一，是我們研究函數所要掌握的最基本的知識.它在中學數學中的用處是非常廣泛的，用導數知識來判斷函數的單調性既快捷又容易掌握.
　　例1：討論y=f（x）=x-3x-9x+41的單調性（x∈R）.
　　解：（1）y′=3x-6x-9=3（x-2x-3）=3（x-3）（x+1）
　　（2）令f′（x）=3（x-3）（x+1）>0?圯x>3或x<-1
　　∴當x>3或x<-1時，f（x）單調遞增
　　（3）令f′（x）=3（x-3）（x+1）<0?圯-1　　∴當-1　　例2：求證：當x<0時，arctanx>x.
　　證明：令f（x）=arctanx-x
　　∵f′（x）=-1=<0
　　∴當x<0時，f（x）單調遞減
　　∴當x<0時，f（x）>f（0）=0
　　∴當x<0時，arctanx-x>0?圯arctanx>x
　　二、證明不等式
　　例3：求證：e＞1+x（x>0）
　　分析：本題通過導數與函數單調性的關系，自然地將導數與不等式結合在一起，靈活考查了學生全面分析解決問題的能力.先構造函數f（x）=e-1-x，再對f（x）進行求導，得到f'（x）.然后觀察得到當x＞0時，f′（x）＞0，即f（x）在x＞0時是增函數.最后可得當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即e＞1+x.
　　解：令f（x）=e-1-x，則
　　f′（x）=e-1＞0
　　∴f（x）在（0，+∞）上是增函數.
　　∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，
　　即e＞1+x（x>0）.
　　三、函數的極值（極大值、極小值）
　　1.定義：y=f（x）在x處取極值，且可導，則f′（x）=0，x叫做極值點.
　　2.求極值（利用一階導數列表求極值）
　　（1）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x，x（駐點）
　　（2）找出f′（x）不存在的點x
　　（3）列表：
　　如果f′（x）的符號如上表所示：
　　所以當x=x時，y=f（x）
　　當x=x時，y=f（x）
　　當x=x時，y=f（x）
　　3.求極值（利用二階導數求極值）
　　（1）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x
　　（2）求f″（x）
　　（3）將x代入f″（x）中，求f″（x）的值，若f″（x）>0，則在x取極小值;若f″（x）<0，則在x取極大值;若f″（x）＝0，無法確定.
　　注：函數不存在導數值不存在的點時，利用二階導數求極值，否則只能用列表法求極值；如利用二階導數求極值時出現無法確定的情況時，也只能用列表法來求極值.
　　例4:求y=f（x）=x-3x-9x+11的極值.
　　解：（1）y′=f′（x）=3x-6x-9=3（x-3）（x+1）
　　令3（x-3）（x+1）＝0，得解x＝3，x＝-1
　　（2）y″=6x-6=6（x-1）
　　（3）當x=3時，f″（3）=12>0，所以當x=3時，y極小=-16;
　　當x=-1時，f″（-1）=-12<0，所以當x=-1時，y極大=16.
　　四、求函數的最值
　　最值問題是高中數學的一個重點，也是一個難點.它涉及到高中數學知識的各個方面，要解決這類問題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑.用導數解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，學生也好掌握.
　　例5：設某商品每周生產x單位時總成本C（x）=100+2x，該產品的需求函數為x=800-100P，求能使利潤最大的P值.
　　解：（1）∵L=R-C，R=xP，∴R=-100P+800P
　　∵C（x）=100+2x，x=800-100P，∴C=-200P+1700
　　∴L=-100P+800P+200P-1700=-100P+1000P-1700
　　（2）L′=-200P+1000，令L′=0?圯P=5
　　（3）L″=-200<0，∴P=5時，L=L
　　∴能使利潤最大的P值為5.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”