因勢利導巧作

　　“因勢利導”的典故出自《史記?孫子吳起列傳》，說的是戰國初期齊魏兩國交戰時，效力齊國的軍事家孫臏，利用魏將龐涓傲慢輕敵的心理，制造齊軍落荒而逃的假象，將龐涓誘到山谷中。龐涓中了埋伏，兵敗自刎。
　　因：循；勢：趨勢；利導：引導。因勢利導即順著事情發展的趨勢，加以引導。
　　一次全市的等比數列公開課上，我從等差數列與等比數列的定義出發，對兩者的有關概念（公差與公比、等差中項與等比中項）、通項公式等進行類比，學生積極思考，意猶未盡。順勢引導學生推導出等比數列的前n項求和公式，公開課氣氛熱烈而又緊張。
　　順理成章地，我準備執行下一步教學計劃。但學生凱舉手問：“等差中項與等比中項字面上聯系一致，但表達式相差太遠，能否有一個統一的解釋？”凱平時成績一般，但思維活躍，也敢于提問。我略一停頓，把探究的目光投向學生，并作提示：“注意所得結果。”學生的討論有了答案。虹答：“等差中項C是A、B的算術平均，而等比中項G是A、B的幾何平均，對了，應該是G的絕對值。”虹的回答得到了大家的肯定。
　　隨著知識聯系的進一步拓展，課堂求知氣氛更加濃烈，但考慮到時間問題，我想趕緊回到預計軌道上來。誰知，學生銘漲紅了臉但很堅決地舉手問：“既然等差中項與等比中項有那么多的類似之處，我猜想這兩者的求和公式也有一個合理的統一解釋。因為等差數列的前n項求和公式是S=，能否把等比數列的前n項求和公式寫為“S=±？”顯然，他受了剛才討論的啟發和影響。銘是一個好思考的學生，既敢于猜想，又善于發現。他這一問問得突然，不僅我備課時沒有考慮到，而且教參中也沒有提到過此類猜想，就是今天，該問題還折磨著我而一直沒有一個令人信服的解答。此問一出，聽課的老師和同學頓時炸了鍋，不一會又齊刷刷地靜下來，50多雙學生的眼睛在盯著我，還有20多雙同行的眼睛在等著我的裁決。這可不是一堂平常的課，我心想：不好，課要上砸了。不過我也知道我完全可以用“此問題與高考無關，同學們可以在課后討論完成”來搪塞過去。但是學生的猜想難能可貴。如果這樣說不與我一貫鼓勵學生要大膽探究相矛盾嗎？是我去驗證還是讓全班學生一起做？是在課堂上還是在課后進行？課上進行，我心中無底；課后進行呢，會打擊學生探究問題的熱情，盡管同學們可以理解我上公開課的成敗之重，但我從此留給學生的就是一個對待困難缺乏勇氣的形象，從而影響他們探求真理的毅力，以后他們還會去大膽猜想、大膽設問嗎？畢竟學生思維的火花一閃而過，稍縱即逝。
　　該是打破沉默的時候了，我主意已定：“銘的猜想是有些道理的，從等差數列的通項公式a=a+（n-1）d到等比數列的通項公式a=aq，由等差中項到等比中項±，由等差數列的前n項求和公式S=到等比數列的前n項求和公式S=±，銘的猜想是合情推理，但到底對不對呢？我們該怎樣判斷呢？”
　　學生們聽后開始思考，并相互討論起來。后面聽課的老師也竊竊私語，一方面是考慮問題的結果，另一方面是為我捏一把汗。但整個課堂沉浸在濃郁的探究氛圍中，大多數人把銘的猜想公式與等比數列的前n項求和公式先相等，然后嘗試證明，不過，演算很復雜。這時，有一個學生建議說：“不如我們找一個實例分別代入計算一下。”這個建議得到大家的一致認同，約定：a=1，q=2，n=4，答案應該是15，而銘的猜想公式算出來卻是±64。大家都笑銘：“你真是的，自己沒搞清楚，弄個錯誤的命題來浪費我們的時間。”銘的臉一下子漲得通紅。
　　看到這些，我心里不禁一愣，這樣的話，以后誰還敢在課堂上提猜想，更不用說去猜想了。我口氣稍強硬地說：“哥德巴赫猜想至今無人給出證明而只是一個猜想，但無人否定它的偉大，因為提出猜想的意義超越猜想本身，有了猜想才會有創新。”我略一停頓，接著說：“我們今天首先感謝銘，是他的猜想引起了我們的思考，鍛煉了我們的思維。”我舒緩了口氣：“這節課我們又一次靈活應用了舉反例來判斷命題的真假，也體驗了研究問題的一個基本方法：猜想→證實猜想或證偽猜想→改進猜想。那么，我們是否還能改進銘的猜想呢？讓我們結合等差數列的前n項求和公式和等比數列的特點再來探究。由等差數列的求和公式中出現(a+a)的形式類推到等比數列的求和公式中會有（aa）是合情推理。大家看看會有什么發現？”
　　一學生：“我發現，兩數列的定義決定了等差數列有(a+a)=(a+a)=…=定值，而有等比數列aa=aa=…=定值。”
　　另一學生：“那=（aa）=（aa）（aa）…（aa）=（a?a…a)（a?a…a），不就是說（aa）=S′，這里S′是指項的積而不是項的和。”同學們和我不約而同地釋懷，盡管還沒能解決銘提出的猜想，但改進了他提出的猜想公式，也算是一種發現。
　　下課鈴聲響了，我和所有的老師和同學帶著多個疑問結束了這節公開課。
　　大半節課都在被銘提出的猜想牽著鼻子走，教學計劃被徹底打亂了，預定的教學任務沒有完成，花一節課讓學生討論一個不屬于高考范圍的問題是否有價值？下一節課又該怎么上？大家又會如何評價這節課？結果，大家對課的評價出乎我的預料：“教師應變自然，對學生猜想的肯定引出了學生積極探索真理的欲望……值得提倡。”
　　教學并不總像鏡子反射預設的軌道。因為學生不是盛載知識的容器，而是積極主動的建構者，他們以現有的知識和經驗，用個人特有的思維方式建構對事物的理解、檢驗與批判，不同的人看到事物的不同方面。因此教學中很有可能學生要越過教師事先“預設”的思維軌道空間。面對學生的“節外生枝”，教師絕不能以“自衛”的本能加以回避、壓制、排斥，而應該欣然接納，大為鼓勵，積極營造一個寬松、民主、開放、愉快的教學氛圍，因為學生“異類信息”往往孕育著創新的火花，是教學相長的最佳契機。