發現 歸納 運用

　　摘 要： 因式分解就整個數學而言，它是打開整個代數寶庫的一把鑰匙。教學之初應著重闡述兩個方面：一是因式分解的概念，二是與整式乘法的相互關系。在學生掌握整式乘法的基礎上來討論因式分解概念，通過因式分解學習和訓練為后面學習分式、解方程，以及代數式的恒等變形做鋪墊。
　　關鍵詞： 發現法 因式分解 數學教學 新知
　　
　　因式分解知識有承上啟下的作用。教學時要采用啟發式、發現法等教學方法，培養學生分析問題、解決問題的能力。
　　第一環節：創設情境，引出新知
　　先出示幾個整式乘法的練習，讓學生做。教師巡視。
　　例如：（1）計算：①（a-2）（a+2a+4） ②（2x-y）（4x+2xy+y）
　　（2）上面的計算結果很簡潔，你能發現一個新的公式嗎？（請用含a、b的字母表示）
　　（3）下列各式能用你發現的公式計算的是（C）
　　A.（a-3）（a-3a+9）
　　B.（2m-n）（2m+2mn+n）
　　C.（4-x）（16+4x+x）
　　D.（m-n）（m+2mn+n）
　　（4）直接用公式寫出計算結果：（3x-2y）（9x+6xy+4y）
　　學生完成后，教師引導：把上述等式逆過來看一看還成立。
　　安排以上練習，一是復習整式的乘法，激活學生原有整式乘法的認知結構，滿足“溫故而知新”的教學原理。二是為教學目標的完成做好鋪墊。
　　第二環節：分析問題，探究新知
　　問題是數學的心臟，而一個好的問題的提出，將會使學生產生求知欲，引發教學高潮，是學生知識及能力獲得發展的有效動力。
　　運用整式乘法公式計算：（1）1001×999+1 （2）20102-2011×2009
　　分析：（1）把所求式子中1001變形為（1000+1）和999變形為（1000-1），得到兩數之和與兩數之差的積滿足平方差公式的特點，從而利用平方差公式計算即可求出值。
　　（2）把所求式子中的2001變形為（2000+1），2009變形為（2000-1），得到兩數之和與兩數之差的積滿足平方差公式的特點，從而利用平方差公式計算即可求出值。
　　解：（1）1001×999+1=（1000+1）×（1000-1）+1=1000-1+1=1000000
　　（2）2010-2011×2009=2010-（2010+1）×（2010-1）=2010-（2010-1）=1
　　運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方。此題采用“拆數”的方法變形為滿足平方差公式的結構，進而運用平方差公式達到簡化計算的目的。
　　第三環節：師生互動，運用新知
　　為了讓學生進一步理解因式分解是整式乘法的逆運算，培養學生逆向思維，我特設兩道例題，這幾個題目完全放手讓學生自主解答，充分暴露學生的思維過程，使學生真正成為學習的主人。
　　例1.下列的變形中，正確的是（C）
　　A.x-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
　　B.m+56m+16=（2m+1）（3m+1）
　　C.y+（a+b）?y+ab=（y+a）
　　D.（x-3x）-2（x-3x）-8=（x-1）（x-2）（x+4）（x-1）（y+b）
　　例2.閱讀解答題：有些大數值問題可以通過用字母代替數轉化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題。
　　若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，試比較x、y的大小。
　　解：設123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a-a-2，y=a（a-1）=a-a
　　∵x-y=（a-a-2）-（a-a）=-2＜0，∴x＜y。
　　看完后，你學到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準行。
　　問題：計算1.345×0.345×2.69-1.345-1.345×0.345
　　分析：本題中0.345和2.69都與1.345有關系，可設1.345=x，那么0.345=x-1，2.69=2x，然后進行計算。
　　解答：解：設1.345=x，原式=x（x-1）?2x-x-x（x-1）=（2x-2x）-x-x（x-2x+1）=2x-2x-x-x+2x-x=-1.345
　　本題考查了單項式乘多項式，完全平方公式，讀懂題目信息，找出其運算方法是解題的關鍵。
　　通過例1，羅列一些似是而非、容易產生錯誤的對象讓學生辨析，讓學生進一步體會整式乘法與因式分解的互逆關系。促使他們認識概念的本質、確定概念的外延，從而形成良好的認知結構。通過例2，體會用分解因式解決相關復雜問題的解題技巧。
　　第四環節：強化訓練，掌握新知
　　數學家華羅庚先生曾說：“學數學而不練，猶如入寶山而空返。”適當的鞏固性、應用性練習是學習和掌握新知識所必不可少的。
　　例如：下列因式分解中，結果正確的是（ ）
　　A.x-4=（x+2）（x-2）
　　B.1-（x+2）=（x+1）（x+3）
　　C.2mn-8n=2n（m-4n）
　　D.x-x+14=x（1-x+14x）
　　分析：根據平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，對各選項分析判斷后利用排除法求解。
　　解答：A.x-4=（x+2）（x-2），正確；
　　B.應為1-（x+2）=（-1-x）（x+3），故本選項錯誤；
　　C.應為2mn-8n=2n（m-4n）=2n（m+4n）（m-4n），故本選項錯誤；
　　D.應為x-x+14=（x-12），故本選項錯誤。故選A。
　　要注意在因式分解時要分解到無法繼續分解為止，并且注意分解因式是整式的變形。
　　總之，因式分解與整式乘法關系是：一個多項式→幾個整式+積→因式分解。因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式。兩項一般考慮運用平方差公式；三項要考慮運用完全平方公式。要注意的是：因式分解是對多項式而言的一種變形；因式分解的結果仍是整式；因式分解的結果必是一個積；因式分解與整式乘法正好相反。通過歸納，讓學生進一步理解因式分解是整式乘法的逆運算，培養學生逆向思維。