高考數學中數列通項的求解方法

　　摘 要： 求數列通項是每年高考數學中的一個重要考查點，它能考查學生對數學知識的綜合運用能力和對數學基本思想方法的掌握程度。本文主要對其中一類數列問題的類型與求解方法進行探討。
　　關鍵詞： 數列通項 高考數學 數學歸納法
　　
　　數列問題是每年高考數學中的熱點和難點內容，它能考查學生對數學知識的綜合運用能力和對數學基本思想方法的掌握程度。縱觀歷屆有關數列的考題，形式多樣，解法不一。但透過現象看本質，我們依然可以對各種題型進行歸類，尋找規律，對它們的解法進行探討.數列中第n項a與前n項和S的關系式S=a（n=1）S-S=a（n≥2）是一個基本關系式，它常與遞推關系一起出現在各種考題中，下面我們就這一類數列問題的類型與求解進行詳細的探究.
　　類型一：給定數列前n項和S，求通項a.
　　例1：若S是數列{a}的前n項和，且S=n，則{a}是（）.
　　A.等比數列，但不是等差數列
　　B.等差數列，但不是等比數列
　　C.等差數列，而且也是等比數列
　　D.既非等差數列，又非等比數列
　　解析：這類題較為簡單，一般出現在填空題或選擇題中，利用a與S的關系就可直接得出.
　　a=S=1，
　　當n≥2時，
　　a=S-S=n-（n-1）=2n-1
　　即a=2n-1（n∈N），故選B.
　　類型二：給定數列前n項和S的遞推關系，求通項a.
　　例2：已知數列{a}的前n項和S為，S=1，且S=S（n≥2），求通項a.
　　解析：常用方法是由S的遞推關系式求出S，再由a與S的關系求出通項a.
　　S=S
　　S=S
　　S=S
　　……
　　S=S
　　上面各式左右兩邊分別相乘得：S=
　　所以a=S=1，
　　當n≥2時，
　　a=S-S=-=
　　即a=（n∈N）
　　類型三：給定含有S與a的混合型關系式.
　　這一類問題較前面兩種要更為復雜，是常見的綜合題型之一.這類題型的求解要結合類型一和類型二的解題思想來處理，常用的方法有以下三種.
　　（1）變形為關于S的遞推關系轉化成類型二求解.
　　例3：在各項均為正數的數列{a}中，數列前n項和S滿足S=（a+），求通項a.
　　解析：可利用a=S-S（n≥2），將所給的遞推關系式變為只含有S和S，求出S后再求出a.
　　由a=S，S=（a+）得S=1，
　　當n≥2時，
　　將a=S-S代入S=（a+）得：
　　S=［（S-S）+］
　　即S-S=1
　　所以數列{S}是首項為S=1，公差為1的等差數列，得：
　　S=1+（n-1）?1=n
　　因為a＞0，所以S＞0，