線性代數(shù)中有關(guān)二次型問題的題型及解法

　　摘 要： 線性代數(shù)中的二次型在當(dāng)今社會各個領(lǐng)域都有廣泛的運(yùn)用，關(guān)于二次型的問題也是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究生考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于二次型問題與線性代數(shù)知識存在著密切的聯(lián)系，分析和研究二次型問題的題型和解法對深入學(xué)習(xí)線性代數(shù)具有重要的基礎(chǔ)作用。本文以高等數(shù)學(xué)試題中提供的關(guān)于二次型問題為例探討了二次型題型的一般類型，以及相應(yīng)的解法，為高校學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)提供一些參考。
　　關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 二次型 題型 解法
　　
　　二次型理論產(chǎn)生的背景和存在的意義在于解析幾何中為了能夠更加清楚地分析曲線和二次曲線的幾何性質(zhì)，常常需要把二次曲線和二次曲面的一般形成轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形.從運(yùn)用角度看，二次型理論在日常中的數(shù)理統(tǒng)計、物理學(xué)、力學(xué)，以及日益興趣的現(xiàn)代控制理論等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.高等數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》教學(xué)大綱把二次型作為教學(xué)重點(diǎn)，如二次型及其矩陣表示、用配比法、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，還有正定二次型與正定矩陣的概念及其判別法，等等.這些內(nèi)容都涉及了線性代數(shù)中有關(guān)二次型問題的題型，以及存在的幾種解法.研究生考試的參考書目高數(shù)1和高數(shù)3都對二次型問題題型及其解法提出了要求，本文以研究生考試試題為例探討了二次型問題題型，以及存在的解法.
　　一、什么是二次型
　　含n個變量x，x，…，x的二次齊次多項(xiàng)式f（x，x，…，x）=ax+2axx+2axx+…+2axx+ax+2axx+…+2axx+…+ax稱為x，x，…，x的一個n元二次型函數(shù)，簡稱二次型。而二次型矩陣表為：
　　設(shè)a（i，j=1，2，…，n；i≤j）均為實(shí)常數(shù)，稱關(guān)于n個實(shí)變量x，x，…，x的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)
　　f（x，x，…，x）=ax+2axx+2axx+…+2axxax
　　+2axx+…+2axx+…+ax
　　=ax+2axx
　　為一個n元實(shí)二次型，簡稱為n元二次型。
　　令a=a，則2axx=axx+axx，再令矩陣A=（a），x=（x，x，…，x），則A為實(shí)對稱矩陣，且可將二次型寫成
　　f（x，x，…，x）=axx
　　=（x，x，…，x）a a … aa a … a a a … axxx或f（x）=xAx
　　稱此式右端為二次型的矩陣表達(dá)式，稱實(shí)對稱矩陣A為二次型f的矩陣，并稱A的秩為二次型f的秩.
　　二、二次型的解法
　　用配比法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的要點(diǎn)是用完全平方公式和兩數(shù)平法差公式逐步消去非平方項(xiàng)并構(gòu)造新的平方項(xiàng).具體而言：
　　（1）如果二次型中含x的平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)，則把含x的交叉項(xiàng)集中，按x配成平方項(xiàng)，對其他變量也做類似處理，直到都配成平方項(xiàng)為止.
　　（2）如果二次型中交叉，但不含x的平方項(xiàng)，則作可逆線變換x=y-y，使二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面的方法配方.
　　三、二次型的正定和負(fù)定性
　　1.二次型正定判別法
　　二次型為正定的充要條件是下列條件之一成了：一是f的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個系數(shù)全為正，二是正慣性指數(shù)p=n，三是對稱矩陣的特征值權(quán)大于0，四是對稱矩陣A的各階順序主子全大于0.
　　有二次型f（x）=xAx，它的秩為r，有兩個滿秩線性變換x=Cy和x=Cz，f經(jīng)上述兩個滿秩線性變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形分別為
　　f=dy+dy+…+dy（d≠0，i=1，2，…，r）
　　f=kz+kz+…+kz（k≠0，i=1，2，…，r）
　　則d，d，…，d中正（負(fù)）數(shù)的個數(shù)與k，k，…，k中正（負(fù)）數(shù)的個數(shù)相等.
　　我們這樣認(rèn)為：稱f的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個數(shù)為f的正慣性指數(shù)，稱f的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個數(shù)為f的負(fù)慣性指數(shù)，由慣性定理可見，f的標(biāo)準(zhǔn)形雖然不唯一，但f的正慣性指數(shù)p及負(fù)慣性指數(shù)r－p（其中r為f的秩）卻是由f本身唯一確定的.它們不隨滿秩線性變換的不同而改變.因此，f的規(guī)范形中系數(shù)為1的平方項(xiàng)的個數(shù)及系數(shù)為－1的平方項(xiàng)的個數(shù)也是由f本身唯一確定的，從這個意義上講，可以說二次型的規(guī)范形是唯一的.
　　假設(shè)定義（正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定及不定二次型）設(shè)有n元二次型f（x）=xAx（A為實(shí)對稱矩陣），如果對任意n維非零向量x，都有：
　　（1）f（x）＞0，則稱f為正定二次型，并稱實(shí)對稱矩陣A為正定矩陣；
　　（2）f（x）≥0，且x≠0，使f（x）=0，則稱f為半正定二次型，并稱實(shí)對稱矩陣A為半正定矩陣；
　　（3）f（x）＜0，則稱f為負(fù)定二次型，并稱實(shí)對稱矩陣A為負(fù)定矩陣；
　　（4）f（x）≤0，則稱f為半負(fù)定二次型，并稱實(shí)對稱矩陣A為半負(fù)定矩陣.
　　2.二次型負(fù)定判別法
　　二次型為負(fù)定的充要條件是下列條件之一成立：一是f的標(biāo)準(zhǔn)形中的n個系數(shù)全為負(fù).二是負(fù)慣性指數(shù)p=n，三是對稱矩陣的特征值全小于0，四是對稱矩陣A的個階順序主子式中，偶數(shù)階全大于0，奇數(shù)階全小于0.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］劉三陽，王世儒等.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)［J］.西安：西安電子科技大學(xué)，2010，（06）.
　　［2］張禾瑞.高等代數(shù)［J］.北京：高等教育出版社，2009，（05）.
　　［3徐仲.理工科線性代數(shù)［J］.西安：西北工業(yè)大學(xué)，2007，（01）.
　　［4］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［J］.北京：高等教育出版社.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文