新計(jì)算技術(shù)條件下的高等數(shù)學(xué)競賽

　　摘 要： 本文作者分析了2011年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽的試題，結(jié)合Maple給出解答過程，從新計(jì)算技術(shù)條件下分析了高等數(shù)學(xué)競賽中運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件的深度和廣度。
　　關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)競賽 數(shù)學(xué)軟件 Maple 圖形計(jì)算器
　　
　　由浙江省高等數(shù)學(xué)教育研究會(huì)組織的高等數(shù)學(xué)競賽于2011年5月28日在全省舉行.競賽分學(xué)科進(jìn)行，共分成四個(gè)專業(yè)，即數(shù)學(xué)類、經(jīng)管類、工科類和文專類.時(shí)代的發(fā)展伴隨著計(jì)算技術(shù)的飛速進(jìn)步，現(xiàn)代的各種計(jì)算工具早已經(jīng)進(jìn)入學(xué)校教學(xué)環(huán)節(jié).本文使用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple輔助求解2011年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）試題，通過對(duì)這些試題的求解給高等數(shù)學(xué)競賽一些建議，希望能對(duì)高等數(shù)學(xué)競賽有所幫助.
　　一、數(shù)學(xué)軟件，以及計(jì)算硬件教學(xué)
　　隨著計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展，各種數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算硬件應(yīng)運(yùn)而生，其中軟件以Mathematica［１］、Maple、Matlab為代表，而計(jì)算硬件則以TI-92Plus和HP圖形計(jì)算器為代表［２］.這些數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算硬件將現(xiàn)代的各種計(jì)算技術(shù)封裝在內(nèi)部，只要掌握了它們提供的語句命令，就可以快速準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題，可以說這些計(jì)算軟件和硬件是面向任務(wù)的計(jì)算機(jī)語言.當(dāng)然，計(jì)算軟件不是萬能的，有很多數(shù)學(xué)問題它們也無能為力.然而，這些計(jì)算語言的運(yùn)用將我們從例行性的繁瑣計(jì)算中解脫出來，能有更多的時(shí)間和精力從事創(chuàng)造性的工作和學(xué)習(xí).正是由于這樣的優(yōu)勢，在各個(gè)高校已經(jīng)普遍開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也就是在新的技術(shù)條件下開展高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革.
　　在北京、上海和廣州這樣的大城市已經(jīng)開始在中學(xué)使用圖形計(jì)算器進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)改革試點(diǎn)，以上海交通大學(xué)為代表的高等院校也開始了相關(guān)的研究［３］，這種圖形計(jì)算器是一種固化的數(shù)學(xué)軟件.清華大學(xué)在2000年起允許圖形計(jì)算器進(jìn)入考場［３］.可以說現(xiàn)代計(jì)算手段已經(jīng)慢慢成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本工具，而且是大勢所趨，在美國和澳大利亞的數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)推薦每個(gè)數(shù)學(xué)教師使用圖形計(jì)算器進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)［２］.
　　二、使用Mathematica輔助求解2011年高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）試題
　　（一）計(jì)算題.
　　1.求ln1-
　　運(yùn)用求極限命令
　　limit（sum（ln（k-1）-ln（k）+ln（k+1）-ln（k），k=2..n），n=infinity）;
　　可以直接得到結(jié)果-ln（2）.
　　2.計(jì)算?蘩|x-t|dx
　　用解不等式命令solve將積分區(qū)間分割solve（x^2＞t，{x}）;
　　得到結(jié)果x＞，即當(dāng)x＞時(shí)x＞t，因此分別計(jì)算兩段積分
　　int（t-x^2，x=0..sqrt（t））+int（x^2-t，x=sqrt（t）..1）;
　　結(jié)果t+-t（1-），接著計(jì)算導(dǎo)數(shù)diff（%，t）;
　　得到2-1，再求駐點(diǎn)
　　solve（%=0，t）;
　　唯一的駐點(diǎn)是x=1/4，繼續(xù)計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)diff（%%，t）;
　　二階導(dǎo)數(shù)是1/，由于1/＞0，t∈（0，1），因此函數(shù)在駐點(diǎn)處取極小值，最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取到，比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小max（int（x^2，x=0..1），int（1-x^2，x=0..1））;
　　最后結(jié)果是2/3.
　　3.設(shè)狄利克雷函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，f（x）=xD（x），問f′（0）是否存在?若存在，請(qǐng)求其值.
　　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義把問題化成極限問題xD（x）.因?yàn)?≤D（x）≤1，因此先規(guī)定變量Dx的范圍，再求極限assume（Dx＜=1，Dx＞=0）;
　　limit（x*Dx，x=0）;
　　結(jié)果是0.
　　4.求?蘩m(xù)ax（1，x）dx
　　用分段函數(shù)定義被積函數(shù)
　　f:=x-＞piecewise（x＜1，1，x）;
　　計(jì)算不定積分
　　int（f（x），x）;
　　得到結(jié)果x，x＜1+，x≥1，補(bǔ)充上積分常數(shù)即可.
　　5.已知f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值為2，求a的值.
　　通過解方程求駐點(diǎn)
　　solve（diff（x^4-4*x^2-a，x）=0，x）;
　　得到駐點(diǎn)x=0，，-，最值只可能在駐點(diǎn)和端點(diǎn)處取到，因此2=max{|a|，|4+a|}，求解這個(gè)方程
　　solve（max（abs（a），abs（a+4））=2，a）;
　　得到結(jié)果-2.
　　（二）設(shè)f可導(dǎo)，且x≤f（x）≤（x），求f′（x）.
　　由于沒有給出f的解析式，無法直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)，先做出y=x，y=（x+1）的圖形
　　plot（［x，（x^2+1）/2］，x=0.8..1.2）;
　　因此y=（x+1）在x=1處的切線就是y=x，而y=f（x）介于兩者之間，因此y=f（x）的切線也是y=x，于是f′（x）=1.用夾逼定理的方法見文獻(xiàn)［４］.
　　（三）［x］表示不大于x的最大整數(shù)，求?蘩［x-x+1］cosxdx.
　　先做出［x-x+1］的圖形
　　plot（floor（x^2-x+1），x=0..Pi/2）;
　　因此［x-x+1］在（0，1）之間是0，在［1，π/2］之間取值1，將積分分段后積分求和int（0*cos（x），x=0..1）+int（1*cos（x），x=1..Pi/2）;
　　得到結(jié)果是1-sin（1）.
　　（四）設(shè)y＞0，求g（y）={ln（x+2）-xy}的解析式.
　　先計(jì)算導(dǎo)數(shù)
　　diff（ln（x+2）-x*y，x）;
　　得到結(jié)果-y，接著計(jì)算駐點(diǎn)solve（%=0，x）;
　　得到唯一駐點(diǎn)-2，繼續(xù)計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)solve（%%，x）;
　　結(jié)果是-，由于二階導(dǎo)數(shù)小于零，因此在唯一駐點(diǎn)處取到最大值，將x=-2代入ln（x+2）-xy即可得到所求解析式.
　　（五）設(shè)f（x）≠常數(shù)，若存在常數(shù)a∈（0，1），對(duì)x，y∈R有f（）=af（x）+（1-a）f（y），求a的值.
　　因?yàn)閤與y地位對(duì)稱，所以
　　f（）=（1-a）f（x）+af（y）
　　兩式相減得到0=（1-2a）f（x）+（2a-1）f（y），如果a≠，則f（x）=f（y），這與f（x）≠常數(shù)矛盾，因此a=.
　　三、高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）試題的分類
　　通過使用Maple輔助求解2011年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽（文專類）試題的深度，以及廣度可以對(duì)試題進(jìn)行如下分類.
　　（一）用軟件直接求解的試題.
　　這是一種純粹考察計(jì)算技巧性的試題，由于現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)軟件幾乎把手工掌握的這些計(jì)算技巧都固化在了軟件內(nèi)部，所以一般的直接計(jì)算題能夠用一個(gè)命令就得到結(jié)果.這種試題有:第一題（1，4）.
　　（二）能用數(shù)學(xué)軟件解決大部分問題的試題.
　　這類問題需要借助數(shù)學(xué)知識(shí)，輔助以數(shù)學(xué)軟件才能方便地求解出問題，單純依靠數(shù)學(xué)軟件不能得到解.例如第一題（2，3，5），第3題和第4題.
　　（三）很少或者幾乎不能用數(shù)學(xué)軟件的試題.
　　這類試題由于抽象性或者計(jì)算的復(fù)雜性不能使用數(shù)學(xué)軟件得到解，必須依賴于數(shù)學(xué)知識(shí)才能正確求解.比如第2題和第5題.
　　四、給高等數(shù)學(xué)競賽試題的建議
　　根據(jù)《浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽章程》，“競賽旨在激發(fā)我省大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，推動(dòng)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革”.考查繁瑣的計(jì)算技巧性的題目與競賽的宗旨不符，學(xué)生在復(fù)習(xí)知識(shí)的時(shí)候也沒有熱情和動(dòng)力，應(yīng)盡可能避免這樣的試題.
　　既然競賽宗旨是要提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，那么競賽的試題應(yīng)該是考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)中比較困難問題的能力，同時(shí)更要體現(xiàn)一種創(chuàng)新思維的過程，出一些需要把現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行類比，推廣等得到新結(jié)論的試題，這樣才能真正起到一種競賽的作用.
　　這里產(chǎn)生了一個(gè)問題，就是將來的數(shù)學(xué)競賽能否使用計(jì)算機(jī)軟件或者圖形計(jì)算器的問題.我的觀點(diǎn)是贊成使用.競賽的宗旨是要看學(xué)生的創(chuàng)新能力，那在競賽過程中就不能把寶貴的時(shí)間花費(fèi)在繁瑣的計(jì)算過程中，有了數(shù)學(xué)軟件或者圖形計(jì)算器可以給學(xué)生預(yù)留出更多的時(shí)間和精力完成需要?jiǎng)?chuàng)新思維的活動(dòng)中，競賽的作用才能彰顯.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］Stephen Wolfram.The Mathematica Book（Fourth Edition）［M］.Cambridge University Press，March 15，1999.
　　［2］史炳星.談?wù)剤D形計(jì)算器對(duì)我國數(shù)學(xué)教育的影響［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，（1）：39-42.
　　［3］汪靜.用圖形計(jì)算器在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的探討［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2002，（5）：40-41.
　　［4］田增鋒.浙江省高等數(shù)學(xué)競賽題的幾何思考［J］.考試周刊，2011，（40）：13-14.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文