淺論函數的對稱性

　　函數是中學數學的核心內容，也是中學數學教學的主線.函數的性質是歷年數學競賽試題和高考數學試題的重點與熱點，其中函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系滲透于各種自然科學和數學問題之中.下面通過同一函數的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來討論函數的對稱性.
　　一、同一函數的對稱性
　　性質1.若函數f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則圖像關于點A（a，b）對稱.
　　證明：（必要性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，∵點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖像上，∴2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.
　　（充分性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，則y=f（x）.
　　∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.
　　故點P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P'關于點A（a，b）對稱，充分性得證.
　　推論：（1）若函數f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，則圖像關于原點對稱；
　　（2）若函數f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=0，則圖像關于點（a，0）對稱；
　　（3）若函數f（x）滿足f（x）+f（-x）=2b，則圖像關于點（0，b）對稱；
　　性質2.若函數f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x），則圖像關于（，0）對稱.
　　性質3.若函數f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則圖像關于直線x=對稱.
　　推論：（1）若函數f（x）滿足f（x）=f（-x），則圖像關于y軸對稱;
　　（2）若函數f（x）滿足f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x），則圖像關于直線x=a對稱.
　　性質4.若函數f（x）圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且周期為2|a-b|.
　　性質5.若函數f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b）則y=f（x）是周期函數，且周期為2|a-b|.
　　性質6.若函數f（x）圖像既關于點A（a，c）成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且周期為4|a-b|.
　　證明：∵函數y=f（x）圖像關于點A（a，c）成中心對稱，
　　∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：
　　f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c（*）
　　又∵函數y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，
　　∴f（2b-x）=f（x），代入（*）得：
　　f（x）=2c-f［2（a-b）+x］（**），用2（a-b）-x代x得
　　f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］代入（**）得：
　　f（x）=f［4（a-b）+x］，故y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.
　　二、不同函數的對稱性
　　性質1.函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱.
　　性質2.函數y=f（x）與y=-f（x）的圖像關于x軸對稱.
　　性質3.函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a成軸對稱.
　　性質4.函數y=f（x）與y=2b-f（x）的圖像關于直線y=b成軸對稱.
　　性質5.函數yf（x）與y=f（x）與的圖像關于直線x-y=0成軸對稱.
　　性質6.函數y=f（x）與y=-f（x）與的圖像關于直線x+y=0成軸對稱.
　　性質7函數y=f（a+x）與y=f（b-x）的圖像關于直線x=成軸對稱.
　　三、三角函數的對稱性
　　性質1.函數y=sinx的圖像的對稱中心為（kπ，0），對稱軸為x=kπ+.
　　性質2.函數y=cosx的圖像的對稱中心為（kπ+，0），對稱軸為x=kπ.
　　性質3.函數y=tanx和y=cotx的圖像的對稱中心為（，0）.
　　性質4.函數y=sin（ωx+φ）的圖像若關于y軸對稱，則φ=kπ+，若關于原點對稱，則φ=kπ.
　　性質5.若函數y=cos（ωx+φ）的圖像若關于y軸對稱，則φ=kπ，若關于原點對稱，則φ=kπ+.
　　四、應用舉例
　　例1.若非常值函數f（x）滿足：f（8+x）為偶函數，且f（4+x）=f（4-x），則f（x）一定是（）
　　（A）既是偶函數，又是周期函數（B）是偶函數，但不是周期函數（C）既是奇函數，又是周期函數（D）是奇函數，但不是周期函數
　　解：∵f（8+x）為偶函數，∴f（8+x）=f（8-x），又f（4+x）=f（4-x）∴f（x）是以8為周期的周期函數∴f（x）=f（x+8），即f（x）是偶函數.故選（A）.
　　例2設定義域為R的函數f（x）、g（x）存在反函數，并且f（x-1）和g（x-2）函數的圖像關于直線y=x對稱，若g（8）=2011，那么f（7）=（）
　　（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013
　　解：∵y=g（x-2）反函數是y=f（x-1）又y=g（x-2）的反函數是：y=g（x）+2，∴f（x-1）=g（x）+2，∴f（8-1）=2+g（8）=2013，故f（7）=2013，應選（D）.
　　例3設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2+x）=f（2-x），當-1≤x≤0時，f（x）=2x+1，則f（9）=?搖?搖?搖?搖
　　解：∵f（x）是奇函數，又f（2+x）=f（2-x）∴f（x）關于直線x=2對稱.故y=f（x）是以8為周期的周期函數，∴f（9）=f（8+1）=f（1）=-f（-1）=1.
　　例4.已知函數f（x）=，函數y=g（x）的圖像與y=（x+1）的圖像關于直線y=x對稱，求g（11）的值.
　　解：∵函數y=g（x）與y=f（x+1）互為反函數，又∵函數y=f（x+1）的反函數為y=f（x）-1，∴g（x）=f（x）-1=，∴g（11）=.
　　例5.函數y=sinxcosx+cosx-的圖像的一個對稱中心為（）
　　（A）（，-） （B）（，-）
　　（C）（-，） （D）（，-）
　　解：∵y=sin（2x+）-
　　∴2x+=kπ即x=-
　　∴選（B）
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