概率與統(tǒng)計(jì)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析

　　摘 要： 概率與統(tǒng)計(jì)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要部分，也是學(xué)生的難點(diǎn)之一，本文作者就概率與統(tǒng)計(jì)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，以引導(dǎo)學(xué)生正確理解和運(yùn)算。
　　關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué) 概率與統(tǒng)計(jì) 錯(cuò)誤剖析
　　
　　一、對(duì)各事件概念理解不透徹，濫用公式
　　例1.拋擲一均勻的正方體玩具（各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3”，求P（A+B）.
　　錯(cuò)解：∵P（A）＝=，P（B）＝=.
　　∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＋＝1.
　　剖析：出現(xiàn)1或3時(shí)，事件A、B同時(shí)發(fā)生，故事件A、B并不互斥.
　　正解：將A+B分成出現(xiàn)“1、2、3”與“5”這兩個(gè)事件，記出現(xiàn)“1、2、3”為事件C，出現(xiàn)“5”為事件D，則C與D兩事件互斥，故P（A+B）＝P（C+D）＝P（C）+P（D）＝+=.
　　例2.某種產(chǎn)品100件，其中有5件是次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，求恰有1個(gè)次品的概率.
　　錯(cuò)解：由題意知，這種產(chǎn)品的次品率為5%，且每次抽取相互獨(dú)立，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，得5件產(chǎn)品中恰有1件次品的概率為P（1）=C（1-）=0.2036.
　　剖析：從100件產(chǎn)品中任取5件，可當(dāng)作抽了5次，每次抽1個(gè)，但無(wú)論每次抽到次品還是正品，都影響到下一次抽到次品或正品的概率，故該試驗(yàn)不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
　　正解：設(shè)恰有1個(gè)次品為事件A，則P（A）==0.2214.
　　二、混淆“互斥”與“獨(dú)立”，張冠李戴
　　例3.有10件產(chǎn)品分三個(gè)等級(jí)，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，從10件產(chǎn)品中任取2件，求取出的２件產(chǎn)品同等級(jí)的概率．
　　錯(cuò)解：分別記“取出2件一等品”、“取出2件二等品”、“取出2件三等品”為事件A、A、A，依題意知，事件A、A、A相互獨(dú)立，
　　∴P（A）=P（A?A?A）=P（A）?P（A）?P（A）=??=.
　　剖析：本題錯(cuò)解的原因是把互斥事件當(dāng)成相互獨(dú)立事件來(lái)考慮，實(shí)際上，A、A、A不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件.
　　正解：P（A）=P（A+P+A）=P（A）+P（A）+P（A）=++=.
　　點(diǎn)評(píng)：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A、Ｂ叫做互斥事件.若事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）的發(fā)生沒(méi)有影響，則A、B叫做相互獨(dú)立事件.一般情況下，互斥與相互獨(dú)立是兩個(gè)互不等價(jià)，完全不同的概念．
　　三、審題時(shí)思維欠嚴(yán)密，或重或漏
　　例4.甲、乙兩個(gè)單位分別獨(dú)立地從10名應(yīng)聘人員中招聘工作人員各2名，那么至少有1人被甲乙兩個(gè)單位都錄用的概率是多少？
　　錯(cuò)解1：設(shè)至少有1人被兩個(gè)單位都錄用的事件為A.則基本事件總數(shù)為CC，事件A包含的結(jié)果有個(gè)CCC，這里C是確定被兩個(gè)單位都錄用的方法數(shù)，而CC是在剩下的9人中兩單位獨(dú)立招1人的方法數(shù).故P（A）==.
　　錯(cuò)解2：事件A包含的結(jié)果有CA個(gè)，這里A表示從9人中任選兩人分別進(jìn)甲、乙兩單位，故P（A）==.
　　剖析：錯(cuò)解1中，事件A所包含的結(jié)果出現(xiàn)重復(fù)，比如：若C確定的是a，而CC時(shí)兩個(gè)單位都選中b，與若C確定的是b，而CC時(shí)兩個(gè)單位都選中a，是同一種結(jié)果.
　　錯(cuò)解2中，事件A所包含的結(jié)果是有且僅有1人被兩個(gè)單位同時(shí)錄用.遺漏恰有2人被兩個(gè)單位同時(shí)錄用的情況.
　　正解：事件A包含的結(jié)果有CA+C個(gè)，恰有1人被兩個(gè)單位同時(shí)錄用的結(jié)果有CA個(gè)，恰有2人被兩個(gè)單位同時(shí)錄用的結(jié)果有C個(gè)，所以P（A）==.
　　四、忽視隨機(jī)變量取值范圍，畫蛇添足
　　例5.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為
　　錯(cuò)解：由分布列的性質(zhì)知9a-a+3-8a=1，解得a=或.
　　剖析：上述解法中應(yīng)用性質(zhì)P（i=1，2，…）時(shí)，忽略了另一性質(zhì)0≤P≤1（i=1，2，…），當(dāng)a=時(shí)，3-8a=-＜0，不符合后一條性質(zhì)，必須舍去.
　　正解：9a-a+3-8a=10≤9a-a≤10≤3-8a≤1，解得a=.
　　五、誤讀隨機(jī)變量取值的實(shí)際意義，盲目下手
　　例6.某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.15，現(xiàn)該射手連續(xù)向某目標(biāo)進(jìn)行射擊，如果命中目標(biāo)，則射擊停止，否則繼續(xù)射擊，直到命中目標(biāo)，但射擊次數(shù)最多不超過(guò)10次，設(shè)該射手射擊次數(shù)為，則P（η=10）=?搖?搖?搖?搖?搖.
　　錯(cuò)解：P（η=10）=0.85×0.15.
　　剖析：本題錯(cuò)解的原因是沒(méi)有明確隨機(jī)變量η取值的實(shí)際意義，由于射擊次數(shù)不超過(guò)10次，因此η=10表示前9次射擊未中目標(biāo)且第10次可能擊中也可能未擊中目標(biāo)兩種情況，而錯(cuò)解只考慮到第10次擊中這種情形．
　　正解：P（η=10）=0.85×（0.15+0.85）=0.85.故應(yīng)填0.85.
　　六、忽視抽樣方法的本質(zhì)，勞而無(wú)功
　　例7.某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所在行業(yè)分為10類，然后每個(gè)行業(yè)抽1000個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣是（ ）
　　A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣
　　C.分層抽樣D.不屬于以上幾類抽樣
　　錯(cuò)解：C.
　　剖析：由于每類家庭數(shù)不同，所以每個(gè)行業(yè)抽1000個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查，每個(gè)家庭被抽到的概率也不同，而A、B、C這三種抽樣均是等概率抽樣.
　　正解：D.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文