走在多向思維的大道上

　　數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程，傳統(tǒng)的應(yīng)試性教學(xué)過程不能代替知識(shí)形成過程的教學(xué)，多向性思維教學(xué)既能體現(xiàn)概念的形成過程，活躍課堂的教學(xué)氣氛，又能使學(xué)生學(xué)得輕松，這里我結(jié)合實(shí)例談?wù)勛约旱膶?shí)踐與體會(huì)。
　　一、走出單向思維的誤區(qū)
　　在課外活動(dòng)時(shí)，我引用了一道趣味題：將厚度為0.1mm的紙對(duì)折30次后，有多厚？多數(shù)同學(xué)認(rèn)為我是在開玩笑，即答，這是一種典型的單向思維的表現(xiàn)，可謂走入了單向思維的誤區(qū)。但當(dāng)時(shí)，我并沒有糾正，而作“不反應(yīng)”的態(tài)度。這樣，同學(xué)們進(jìn)行了反思，原來它既是一道與數(shù)列相關(guān)的問題，又涉及對(duì)數(shù)計(jì)算問題。
　　為什么會(huì)走入“誤區(qū)”，或者是不經(jīng)意，或者是對(duì)題意“對(duì)折”的概念搞不清，這些都是單向思維的習(xí)慣性反應(yīng)，類似的實(shí)例，在教學(xué)中常碰到。
　　二、踏上多向思維的大道
　　例1.設(shè)x、x∈R，且x≠x試確定x+xx+x的正負(fù)性.
　　貌似簡(jiǎn)單的命題，最能激發(fā)學(xué)生的興趣，多數(shù)同學(xué)有如下解法：
　　解法一：
　?、偃魓x=0由于x≠x，所以x與x中有且僅有一個(gè)為0.
　　∴x+xx+x＞0；
　　②若xx＞0，顯然x+xx+x＞0；
　?、廴魓x＜0，由于x+xx+x=（x+x）-xx＞0，即
　　x+xx+x＞0；
　　由①②③可知，總有x+xx+x＞0.
　　上解法的③用了配方法，能否只用配方法解決原命題？有：
　　解法二：
　　x+xx+x=（x+）+x.（下解略）這種解法比解法一簡(jiǎn)便。
　　再問：x≥0，x≥0，則x+x有什么結(jié)果？
　　解法三：
　　x+xx+x＞2|xx|+xx（討論去絕對(duì)值符號(hào)得解）.
　　解法四：
　　∵x≠x∴x+x＞2|xx|≥|xx|≥-xx，x+x+xx＞0.
　　同學(xué)們熱情高漲，說：原來原命題是這樣“編”出來的。
　　我再問：難道我們的眼光就只在“數(shù)”x、x上轉(zhuǎn)嗎？把“數(shù)”放回“大本營(yíng)”——函數(shù)中去.
　　解法五：
　　令f（x）=x+xx+x，由于△=x-4x=-3x＜0（x≠0），因此f（x）＞0.
　　三、提高多向思維的能力
　　1.看。集中精力看題材，反復(fù)多次默題，仔細(xì)理解題意，特別注意命題中的關(guān)聯(lián)詞、句、符號(hào)的意義（一般地，“，”與“{”表示求交集的意思，“、”與“；”表示求并集的意思）。要高觀察能力，“看”是前提。
　　例2是：設(shè)a＜b，c＜d，2a+3b=2c+3d，d-c≤b-a則a、b、c、d大小排列順序是?搖?搖?搖?搖.
　　“直看”此題，還真有點(diǎn)眼花，如果按如下重排命題：
　　a＜b，c＜d，2（a-c）=3（d-b），a-c≤b-d，
　　看起來簡(jiǎn)單多了。
　　由以上方程組可以推出：
　　a＜b，c＜d，（d-b）≤b-d，a-c≤（a-c），?圯a＜b，c＜d，d≤b，a≤c，?圯b≥d＞c≥a.
　　例3:已知a，b∈R，且a+4b=1，求a+4b的最小值.
　　初看此題，是純代數(shù)求最值的問題，易得：
　　解法一：將a=1-4b代入a+4b中，得f（b）=20b-8b+1，則f（b）的值即為所求（下解略）.
　　引導(dǎo)同學(xué)：a、b是兩個(gè)變化的量，則
　　解法二：令x=a，y=2b，
　　則a+4b=x+y=.又觀察上式的外表：這是原點(diǎn)的直線x+2y-1=0的距離的平方d=（）=，則即為所求.
　　再把原命題進(jìn)一步充實(shí)，略改已知：a、b∈R，則有
　　解法三：∵a+4b=1，故令a=sinx，4b=cosx，則
　　a+4b=sinx+4×=（4sinx+cosx）
　　=（5sinx-2sinx+1），當(dāng)sinx=-=時(shí)，（a+4b）=.
　　2.實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)歸納法中，結(jié)論一般從有限次的實(shí)驗(yàn)中得來的。
　　例4：在則2?2小方塊組成的大正方形內(nèi)，挖去一小方塊
　　
　　后，總能用由三小塊組成的“”形塊鋪滿，試證之.
　　
　　面對(duì)命題，學(xué)生大多束手無策。此時(shí)，我要求學(xué)生做n=1，2的兩種情況的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)本命題是一道有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法證明的習(xí)題，但對(duì)這樣的應(yīng)用題要用數(shù)學(xué)歸納法證明，他們會(huì)感到生疏，一時(shí)不知從何下手。這時(shí)我指出：由于圖形的對(duì)稱性，n=2時(shí)有且僅有如下三種情況（如圖所示）。這時(shí)，學(xué)生的思維活躍起來（圖中陰影部分表示挖去那小塊）。
　　假設(shè)2?2塊正方形中，依題意能夠鋪滿，如何進(jìn)一步證明2?2塊的正方形中也能鋪滿呢？難點(diǎn)暴露了，我卻袖手旁觀，學(xué)生議論紛紛。片刻，我提示說：“事物總是存在矛盾的兩方面‘鋪’、‘挖’不是完成這道習(xí)題的兩個(gè)方面嗎？”同時(shí)指出2?2=4（2?2）學(xué)生對(duì)右圖中的A部分依題設(shè)先挖去一塊由假設(shè)可鋪滿，但B、C、D三部分只要用一塊“L”形塊（如圖雙影表示）先鋪好，那么B、C、D等待再鋪的情況與A（假設(shè)）完全相同了。這里用“鋪”代表“挖”的巧妙實(shí)施，對(duì)開發(fā)和提高學(xué)生的多向思維能力，可以起到非凡的作用。
　　3.小結(jié)。抽象概念的獲得與鞏固，除了要很好地了解概念的形成過程外，還要挖掘概念的外延的對(duì)象。小結(jié)有利于智力的開發(fā)，有利于提高多向思維能力。華羅庚所說的“善于把書讀薄”就是這個(gè)道理。
　　如本文例3是同一個(gè)問題可以覆蓋不同的類型的知識(shí)點(diǎn)，例4實(shí)際是“2-1能被3整除”的實(shí)際應(yīng)用題，解決了問題，上升為理論，養(yǎng)成這樣的“小結(jié)”習(xí)慣，多向思維也會(huì)成為習(xí)慣。
　　四、優(yōu)化選擇多向思維的對(duì)象
　　對(duì)同一道習(xí)題存在的多種解法中，選擇最優(yōu)的一種（或幾種）加以凈化，能夠給多向思維帶來新的樂趣。
　　如課本中有這樣一道習(xí)題：求證“兩橢圓bx+ay-ab=0，ax+by-ab=0的交點(diǎn)在以原點(diǎn)為中心的圓周上，并求此圓方程，用解方程組的方法求出四個(gè)交點(diǎn)和用兩個(gè)方程直接相加的方法都可以求其軌跡方程，但前者繁，后者簡(jiǎn)。本文例3的解法三，如果不將“a、b∈R”改成“a、b∈R”本命題就不適用了。
　　優(yōu)化多向思維的成果不單是“哪種解法簡(jiǎn)便的問題”，更主要的是得出一些經(jīng)驗(yàn)，并用以開發(fā)新的領(lǐng)域，如用圖像的基本知識(shí)，去解某些含參數(shù)的不等式，很方便。
　　例5：（1）解關(guān)于x的不等式|x|＞ax，（a∈R）.
　　（2）若a＞0，使不等式|x+4|+|x-3|＜a，在R上解集為空集的常數(shù)a的取值范圍是?搖?搖 ?搖?搖.
　　在這兩道習(xí)題中，如果用絕對(duì)值的定義去解，比較麻煩，但在（1）中作y=|x|，y=ax（直線系方程）的圖像；在（2）中作y=|x-4|+|x-3|和y=a的圖像（圖略）作答就很方便了。答案：（1）①-1＜a＜1時(shí)，x∈R且x≠0;②a≥1時(shí)，x＜0;③a≤-1時(shí)，x＞0.（2）0＜a≤1.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文