走在多向思維的大道上

　　數學教學的本質是思維過程，傳統的應試性教學過程不能代替知識形成過程的教學，多向性思維教學既能體現概念的形成過程，活躍課堂的教學氣氛，又能使學生學得輕松，這里我結合實例談談自己的實踐與體會。
　　一、走出單向思維的誤區
　　在課外活動時，我引用了一道趣味題：將厚度為0.1mm的紙對折30次后，有多厚？多數同學認為我是在開玩笑，即答，這是一種典型的單向思維的表現，可謂走入了單向思維的誤區。但當時，我并沒有糾正，而作“不反應”的態度。這樣，同學們進行了反思，原來它既是一道與數列相關的問題，又涉及對數計算問題。
　　為什么會走入“誤區”，或者是不經意，或者是對題意“對折”的概念搞不清，這些都是單向思維的習慣性反應，類似的實例，在教學中常碰到。
　　二、踏上多向思維的大道
　　例1.設x、x∈R，且x≠x試確定x+xx+x的正負性.
　　貌似簡單的命題，最能激發學生的興趣，多數同學有如下解法：
　　解法一：
　　①若xx=0由于x≠x，所以x與x中有且僅有一個為0.
　　∴x+xx+x＞0；
　　②若xx＞0，顯然x+xx+x＞0；
　　③若xx＜0，由于x+xx+x=（x+x）-xx＞0，即
　　x+xx+x＞0；
　　由①②③可知，總有x+xx+x＞0.
　　上解法的③用了配方法，能否只用配方法解決原命題？有：
　　解法二：
　　x+xx+x=（x+）+x.（下解略）這種解法比解法一簡便。
　　再問：x≥0，x≥0，則x+x有什么結果？
　　解法三：
　　x+xx+x＞2|xx|+xx（討論去絕對值符號得解）.
　　解法四：
　　∵x≠x∴x+x＞2|xx|≥|xx|≥-xx，x+x+xx＞0.
　　同學們熱情高漲，說：原來原命題是這樣“編”出來的。
　　我再問：難道我們的眼光就只在“數”x、x上轉嗎？把“數”放回“大本營”——函數中去.
　　解法五：
　　令f（x）=x+xx+x，由于△=x-4x=-3x＜0（x≠0），因此f（x）＞0.
　　三、提高多向思維的能力
　　1.看。集中精力看題材，反復多次默題，仔細理解題意，特別注意命題中的關聯詞、句、符號的意義（一般地，“，”與“{”表示求交集的意思，“、”與“；”表示求并集的意思）。要高觀察能力，“看”是前提。
　　例2是：設a＜b，c＜d，2a+3b=2c+3d，d-c≤b-a則a、b、c、d大小排列順序是?搖?搖?搖?搖.
　　“直看”此題，還真有點眼花，如果按如下重排命題：
　　a＜b，c＜d，2（a-c）=3（d-b），a-c≤b-d，
　　看起來簡單多了。
　　由以上方程組可以推出：
　　a＜b，c＜d，（d-b）≤b-d，a-c≤（a-c），?圯a＜b，c＜d，d≤b，a≤c，?圯b≥d＞c≥a.
　　例3:已知a，b∈R，且a+4b=1，求a+4b的最小值.
　　初看此題，是純代數求最值的問題，易得：
　　解法一：將a=1-4b代入a+4b中，得f（b）=20b-8b+1，則f（b）的值即為所求（下解略）.
　　引導同學：a、b是兩個變化的量，則
　　解法二：令x=a，y=2b，
　　則a+4b=x+y=.又觀察上式的外表：這是原點的直線x+2y-1=0的距離的平方d=（）=，則即為所求.
　　再把原命題進一步充實，略改已知：a、b∈R，則有
　　解法三：∵a+4b=1，故令a=sinx，4b=cosx，則
　　a+4b=sinx+4×=（4sinx+cosx）
　　=（5sinx-2sinx+1），當sinx=-=時，（a+4b）=.
　　2.實驗。數學歸納法中，結論一般從有限次的實驗中得來的。
　　例4：在則2?2小方塊組成的大正方形內，挖去一小方塊
　　
　　后，總能用由三小塊組成的“”形塊鋪滿，試證之.
　　
　　面對命題，學生大多束手無策。此時，我要求學生做n=1，2的兩種情況的實驗，學生很快發現本命題是一道有關數學歸納法證明的習題，但對這樣的應用題要用數學歸納法證明，他們會感到生疏，一時不知從何下手。這時我指出：由于圖形的對稱性，n=2時有且僅有如下三種情況（如圖所示）。這時，學生的思維活躍起來（圖中陰影部分表示挖去那小塊）。
　　假設2?2塊正方形中，依題意能夠鋪滿，如何進一步證明2?2塊的正方形中也能鋪滿呢？難點暴露了，我卻袖手旁觀，學生議論紛紛。片刻，我提示說：“事物總是存在矛盾的兩方面‘鋪’、‘挖’不是完成這道習題的兩個方面嗎？”同時指出2?2=4（2?2）學生對右圖中的A部分依題設先挖去一塊由假設可鋪滿，但B、C、D三部分只要用一塊“L”形塊（如圖雙影表示）先鋪好，那么B、C、D等待再鋪的情況與A（假設）完全相同了。這里用“鋪”代表“挖”的巧妙實施，對開發和提高學生的多向思維能力，可以起到非凡的作用。
　　3.小結。抽象概念的獲得與鞏固，除了要很好地了解概念的形成過程外，還要挖掘概念的外延的對象。小結有利于智力的開發，有利于提高多向思維能力。華羅庚所說的“善于把書讀薄”就是這個道理。
　　如本文例3是同一個問題可以覆蓋不同的類型的知識點，例4實際是“2-1能被3整除”的實際應用題，解決了問題，上升為理論，養成這樣的“小結”習慣，多向思維也會成為習慣。
　　四、優化選擇多向思維的對象
　　對同一道習題存在的多種解法中，選擇最優的一種（或幾種）加以凈化，能夠給多向思維帶來新的樂趣。
　　如課本中有這樣一道習題：求證“兩橢圓bx+ay-ab=0，ax+by-ab=0的交點在以原點為中心的圓周上，并求此圓方程，用解方程組的方法求出四個交點和用兩個方程直接相加的方法都可以求其軌跡方程，但前者繁，后者簡。本文例3的解法三，如果不將“a、b∈R”改成“a、b∈R”本命題就不適用了。
　　優化多向思維的成果不單是“哪種解法簡便的問題”，更主要的是得出一些經驗，并用以開發新的領域，如用圖像的基本知識，去解某些含參數的不等式，很方便。
　　例5：（1）解關于x的不等式|x|＞ax，（a∈R）.
　　（2）若a＞0，使不等式|x+4|+|x-3|＜a，在R上解集為空集的常數a的取值范圍是?搖?搖 ?搖?搖.
　　在這兩道習題中，如果用絕對值的定義去解，比較麻煩，但在（1）中作y=|x|，y=ax（直線系方程）的圖像；在（2）中作y=|x-4|+|x-3|和y=a的圖像（圖略）作答就很方便了。答案：（1）①-1＜a＜1時，x∈R且x≠0;②a≥1時，x＜0;③a≤-1時，x＞0.（2）0＜a≤1.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文