利用數學習

　　摘 要： 數學習題課教學是深化理解、掌握課本知識的重要手段，教師在教學中將“封閉題”變成靈活的“開放題”，變習題、變解法、變思維角度、變代數為幾何所用、變一問為多問。不僅使學生能牢固掌握知識，而且可以培養學生的發散思維、求異思維、創造性思維、廣闊性思維等，對學生的發展起著重大作用。
　　關鍵詞： 習題教學 思維能力 培養方法
　　
　　學習除了學習知識外，還要培養學生的思維能力，進而培養學生的創新意識和創造能力。數學中的習題教學就是培養學生思維能力的良好土壤。現在的教材并沒有提供足夠的探究題，那么能培養學生思維能力的好習題從哪里來？實際教學中我從以下幾個方面進行了探索與嘗試。
　　一、變換習題
　　它是指變換題目的條件或結論，變換題目的形式，而題目的實質不變。如：
　　例1.若a，b∈R，則（a+b）（+）≥4
　　推廣1：若a，b，c∈R，則（a+b+c）（++）≥3
　　推廣2：若a∈R（i=1，2，…，n），則（a+a+…+a）（++…+）≥n
　　通過對習題的推廣，可以使學生由淺入深地逐步解決問題，形成多層次的活動經驗系統，使學生的數學思維能力向更深層次發展，增強學生尋求數學規律的意識。
　　二、變換思維角度
　　學習中我們的思維會有一定的定勢，想當然的將題目的一些條件理解為我們慣用的條件，這樣就會忽視條件的可變性，導致問題考慮不全面。如：
　　例2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AC上一點，∠ABD=2∠DBC，且△ABD是等腰三角形，求∠A的度數.
　　［分析說明］題中條件“△ABD是等腰三角形”在利用時，就要注意屬于可變性條件。變化就在于△ABD的哪個角是頂角，哪條邊為腰，可以這樣分類討論：
　　1.若∠A是底角，AB是底邊，則AD和BD為腰；
　　2.若∠A是底角，AD是底邊，則AB和BD為腰；
　　3.若∠A是頂角，則AB是腰，另一腰必為AC，此時D與C重合，不合題意，舍去。
　　綜上所述，對題中條件的可變性分析提高了學生思維的發散度［２］。考慮各種可能的情況，并給出相應的圖形，是解一些幾何習題的關鍵。所以在教學中應加強對學生發散思維能力的訓練和分類討論等數學思想方法的滲透，提高思維的變通性。
　　三、變代數為幾何所用
　　平面幾何中一些常見的幾何量，如面積、長度等，兼有“數”和“形”兩方面的特性，解題時如能善于抓住圖形中的數量關系，就可有效地利用代數知識解決幾何問題。［１］
　　例3.四年一度的國際數學家大會于2002年8月20日在北京召開，大會會標如圖，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形。若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積。（2003年山東煙臺市中考題）
　　［分析說明］由題意，直角三角形邊長為定值，但是它的直角邊的取值是可變的。我們用字母a，b表示直角邊長，由條件列出關于a，b的方程，進而計算小正方形的面積。
　　解：設直角三角形的兩邊長分別為a，b（其中a﹥b），則小正方形邊長為a-b，且a+b=5a+b=13
　　∴小正方形的面積（a-b）=2（a+b）-（a+b）=2×13-5=1
　　由形思數，以數輔形，從圖形開始聯想，構造出與之對應的數量模型，充分發揮數形結合的作用，巧妙求解。
　　四、變一問為多問
　　教師給出特定的問題，先讓學生解答，再由學生自己編制習題，就可使題目中的“一問”變為學生自己的“多問”。［３］在“線面垂直的證明與應用”一課中，我先和學生一起解決了如下的問題：
　　例4.如右圖，在邊長為1的正方形ABCD—ABCD中，證明：B0⊥平面ABCD.
　　在學生解完問題以后，根據題目的結論學生自己編的題目有：
　　1.求點B到平面ABCD的距離；
　　2.求直線BC到平面ABCD的距離；
　　3.求直線BD與平面ABCD所成的角，等等。
　　此題中，學生對原有信息進行了合理的猜想和推理，推陳出新中，為題目注入了新的活力，發散思維和求異思維得到了進一步的培養。
　　對習題一系列的“變”就形成了一系列的探究，課堂變得開放，學生的探索變得主動，思考變得積極，在“變”中發散思維等都得到了啟發和發展，學生所表現出來的主動性、創造欲、應變力明顯增強，對學生將來學習能力的提高和學習興趣的培養起到了有力的推動作用。
　　
　　參考文獻：
　　［1］周圣東.代數方法在幾何問題中的應用［J］.初中數學教與學，2005，（11）：10.
　　［2］謝景力.數學變式教學的認識與實踐研究［D］.湖南師范大學，2006.65.
　　［3］曹文靜.新課標下數學習題教學的探索［J］.中學數學教學參考，2009.9.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文